不定式 (数学)

在微积分和数学分析的其他分支中，不定式（英语：Indeterminate form），又称未定式，是指这样一类极限，其在按极限的运算规则进行代入后，还未能得到足够信息去确定极限值。

这个术语最初由柯西的学生穆瓦尼奥（法语：Abbé Moigno）在19世纪中叶提出。常见的不定式有：${\displaystyle {\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~1^{\infty },~\infty -\infty ,~0^{0}{\text{ 和 }}~\infty ^{0}}$。 处理计算未定式的值常见的方法为使用洛必达法则。

例子

0除以0

${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ 是不定式，通常被认为没有定义。

0的0次方

${\displaystyle 0^{0}}$也是不定式。在不同软件中，有不同的处理规则，有些定义为1或0，有些视为“没有定义”。

在数学上，当${\displaystyle x}$趋向${\displaystyle 0^{+}}$，${\displaystyle x^{x}}$的极限是1。

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}0^{x}=0\qquad }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{0}=1\qquad }$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1\qquad }$

在幂级数和微积分中，有时候必须定义${\displaystyle 0^{0}=1}$，等式才会成立。

在二项式定理中，当${\displaystyle x=0}$，右式会出现${\displaystyle 0^{0}}$。

${\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}}$

微分学的幂法则（英语：Power rule），在${\displaystyle n=1}$及${\displaystyle x=0}$的情况下，也会出现${\displaystyle 0^{0}}$。

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}$

物理

在物理学上这是有一定的解释。比如说电阻定义 (欧姆定律)${\displaystyle R={\frac {U}{I}}}$，当电压和电流都为 ${\displaystyle 0}$ 时 ${\displaystyle R}$ 的值存在不确定性。

例如，极限

${\displaystyle \lim _{x\to c}{f(x) \over g(x)}}$ 当${\displaystyle f(c)=g(c)=0\,}$。若 ${\displaystyle f(x)\,}$ 等于 ${\displaystyle g(x)\,}$，极限为1；若 ${\displaystyle f(x)\,}$ 等于 ${\displaystyle g(x)\,}$ 的两倍，则极限为2。

更一般地，${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$ 的极限可以通过洛必达法则求得。

不定式列表

下表中列出了最常见的不定式，可以通过变换来使得它们满足洛必达法则的条件。

不定式	条件	变换到0/0	变换到∞/∞
${\displaystyle 0/0}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	—	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty /\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$	—
${\displaystyle 0\cdot \infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty -\infty }$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!}$
${\displaystyle 0^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$
${\displaystyle 1^{\infty }}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$
${\displaystyle \infty ^{0}}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$