在量子力学里,量子谐振子(英语:quantum harmonic oscillator)是经典谐振子的延伸。其为量子力学中数个重要的模型系统中的一者,因为一任意势在稳定平衡点附近可以用谐振子势来近似。此外,其也是少数几个存在简单解析解的量子系统。量子谐振子可用来近似描述分子振动。
前述的幂级数解虽然直观,但显得相当繁复。阶梯算符方法起自保罗·狄拉克,允许抽像求得能量本征值,而不用直接解微分方程。此外,此法很容易推广到更复杂的问题,尤其是在量子场论中。跟从此方法,定义算符a与其伴随算符(adjoint)a†:
算符a并非厄米算符(Hermitian),因其与伴随算符a†并不相同。
算符a与a†有如下性质:
在推导a†形式的过程中,已用到算符x与p(代表可观测量)为厄米算符这样的事实。这些可观测量算符可以被表示为阶梯算符的线性组合:
x与p算符遵守下面的等式,称之为正则对易关系:
- .
方程中的方括号是常用的标记机器,称为交换子、交换算符或对易算符,其定义为
- .
利用上面关系,可以证明如下等式:
- .
现在,让代表带有能量E的能量本征态。任何右括矢量(ket)与自身的内积必须是非负值,因此
- 。
将a†a以哈密顿算符表示:
- ,
因此。注意到当()为零右括矢量(亦即:长度为零的右括矢量),则不等式饱和而。很直观地,可以检查到存在有一状态满足此条件——前面段落所提到的基态(n = 0)。
利用上面等式,可以指出a及a†与H的对易关系:
- .
因此要是()并非零右括矢量,
- .
类似地,也可以指出
- .
换句话说,a作用在能量为E的本征态,而产生出——还多了一个常数乘积——另一个能量为
的本征态,而a†作用在能量为E的本征态,产生出另一个能量为的本征态。因为这样,a称作降算符而a†称作升算符。两者合称阶梯算符。在量子场论中,a与a†也分别称作消灭算符与创生算符,以其分别摧毁与创造粒子——对应于能量量子。
给定任何能量本征态,可以拿降算符a作用在其上,产生了另一个能量少了的本征态。重复使用降算符,似乎可以产生能量本征态其能量低到E = −∞。不过这样就就与早先的要求相违背。因此,必须有一最底的能量本征态——基态,标示作(勿与零右括矢量混淆),使得
- (即a对作用后产生零右括矢量(zero ket))。
在这情况下,继续使用降算符只会产生零右括矢量,而不是产生额外的能量本征态。此外,还指出了
- 。
最后,透过将升算符作用在上,并且乘上适当的归一化因子,可以产生出一个能量本征态的无限集合使得
- ,这与前段所给的能谱相符合。
这方法也能够用来很快地找到量子谐振子的基态波函数。只要将消灭算符作用于基态,变为
- 。
所以,
- 。
这个方程的解为,经过归一化,
- 。
在双原子分子中,自然频率可以发现为[1] (页面存档备份,存于互联网档案馆):
其中
- 为角频率,
- k是共价键劲度系数
- 是约化质量。
一维谐振子很容易地推广到维。在一维中,粒子的位置是由单一坐标x来指定的。在维中,这由个位置坐标所取代,以标示。对应每个位置坐标有个动量,标示为p1, ..., pN。这些算符之间的正则对易关系为
- .
系统的哈密顿算符为
- 。
从这个哈密顿量的形式,可以发觉,维谐振子明确地可比拟为个质量相同,弹性常数相同,独立的一维谐振子。在这案例里,变数是个粒子的位置坐标。这是反平方连心位势的一个优良的特性,允许位势被分离为个项目,每一个项目只跟一个位置坐标有关。
这观察使得问题的解答变的相当简单。对于一个集合的量子数,一个维谐振子的能量本征函数等于个一维本征函数的乘积:
- 。
采用阶梯算符方法,定义组阶梯算符,
- ,
- 。
类似前面所述的一维谐振子案例,可以证明每一个与算符将能量分别降低或升高。哈密顿量是
- 。
这量子系统的能级是
- ;
其中,正整数是的量子数。
如同一维案例,能量是量子化的。维基态能级是一维基态能级的倍。只有一点不同,在一维案例里,每一个能级对应于一个单独的量子态。在维案例里,除了底态能级以外,每一个能级都是简并的,都对应于多个量子态。
简并度可以很容易地计算出来。例如,思考三维案例,设定。每一个相同的量子态,都会拥有相同的能量。给予,首先选择一个。那么,,有个值,从到,可以选择为的值。的值自动的设定为。因此,简并度是
- 。
对于维案例,
- 。
- 参阅三维均向谐振子
球对称的三维均向谐振子可以用分离变数法来求解。这方法类似于氢原子问题里的方法,只有球对称位势不一样:
- ;
其中,是这问题的质量。由于会被用来标记磁量子数,所以,用来标记质量。
这问题的薛定谔方程为
- 。
薛定谔方程的全部解答写为
- ;
其中,
- 是归一常数,
- 是阶广义拉盖尔多项式 (generalized Laguerre polynomials),是个正整数,
- 是球谐函数,
- 是约化普朗克常数。
能量本征值是
- 。
能量通常可以用一个量子数来描述:
- 。
由于是个正整数,假若是偶数,那么,角量子数也是偶数:
- ;
假若是奇数,那么,角量子数也是奇数:
- 。
磁量子数满足不等式
- 。
对于每一个与,存在个不同的量子态。每一个量子态都有不同的磁量子数。因此,的兼并度是
- ;
其中,总和的指数的初始值是。
这结果与先前的方程相同。
- Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. 2004. ISBN 0-13-111892-7.
- Liboff, Richard L. Introductory Quantum Mechanics. Addison-Wesley. 2002. ISBN 978-0-8053-8714-8.