自由粒子

在物理学里，自由粒子是不被位势束缚的粒子。在经典力学里，一个自由粒子所感受到外来的合力是0。

假若，一个粒子的能量大于在任何地点${\displaystyle x\,\!}$的位势，${\displaystyle E>V(x)\,\!}$，不会被位势束缚，则称此粒子为自由粒子。更强版的定义，还要求位势为常数${\displaystyle V(x)=V_{0}\,\!}$。假若，一维空间分为几个区域，只有在每个区域内，位势为常数；在区域与区域之间，位势不相等，则称此粒子为半自由粒子。自由粒子或半自由粒子的能量大于位势，${\displaystyle E>V(x)\,\!}$，不会被位势束缚，能量不是离散能量谱的特殊值，而是大于或等于${\displaystyle V_{0}\,\!}$的任意值。

本条目只论述强版定义的自由粒子。由于能量与位势都不是绝对值，可以设定位势为0，再根据新旧位势的差额，调整能量。

经典自由粒子

经典自由粒子的特点是它移动的速度${\displaystyle \mathbf {v} \,\!}$是不变的。它的动量${\displaystyle \mathbf {p} \,\!}$是

${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} \,\!}$。

其中，${\displaystyle m\,\!}$是粒子的质量。

能量${\displaystyle E\,\!}$是

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}\,\!}$。

非相对论性的自由粒子

描述一个非相对论性自由粒子的含时薛定谔方程为

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}$；

其中，${\displaystyle \hbar }$是约化普朗克常数，${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$是粒子的波函数，${\displaystyle \mathbf {r} }$是粒子的位置，${\displaystyle t}$是时间。

这薛定谔方程有一个平面波解：

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {k} }$是波矢，${\displaystyle \omega }$是角频率。

将这公式代入薛定谔方程，这两个变数必须遵守关系式

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega \,\!}$。

由于粒子存在的概率等于1，波函数${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)\,\!}$必须归一化，才能够表达出正确物理意义。对于一般的自由粒子而言，这不是问题。因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。

动量的期望值是

${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\langle \Psi |-i\hbar \nabla |\Psi \rangle =\hbar \mathbf {k} \,\!}$。

能量的期望值是

${\displaystyle \langle E\rangle =\langle \Psi |i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Psi \rangle =\hbar \omega \,\!}$。

代入波矢${\displaystyle \mathbf {k} \,\!}$与角频率${\displaystyle \omega \,\!}$的关系方程，可以得到熟悉的能量与动量的关系方程：

${\displaystyle \langle E\rangle ={\frac {\langle p\rangle ^{2}}{2m}}\,\!}$。

波的群速度${\displaystyle v_{g}\,\!}$定义为

${\displaystyle v_{g}={\frac {\mathrm {d} \omega }{\mathrm {d} k}}={\frac {\mathrm {d} E}{\mathrm {d} p}}=v\,\!}$；

其中，${\displaystyle v\,\!}$是粒子的经典速度。

波的相速度${\displaystyle v_{p}\,\!}$定义为

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {E}{p}}={\frac {p}{2m}}={\frac {v}{2}}\,\!}$。

在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数以波包函数表示为

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {K} }A(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\mathrm {d} \mathbf {k} \,\!}$；

其中，积分区域${\displaystyle \mathbb {K} }$是${\displaystyle \mathbf {k} }$-空间。

为了方便计算，只考虑一维空间，

${\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\ \mathrm {d} k\,\!}$；

其中，振幅${\displaystyle A(k)\,\!}$是量子叠加的系数函数。

逆反过来，系数函数表示为

${\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }\Psi (x,\ 0)~e^{-ikx}\,\mathrm {d} x\,\!}$；

其中，${\displaystyle \Psi (x,\ 0)\,\!}$是在时间${\displaystyle t=0\,\!}$的波函数。

所以，知道在时间${\displaystyle t=0\,\!}$的波函数${\displaystyle \Psi (x,\ 0)\,\!}$，通过傅里叶转换，可以推导出在任何时间的波函数${\displaystyle \Psi (x,t)\,\!}$。

相对论性的自由粒子

相对论性的自由粒子的量子行为，需要用特别的方程专门描述：

• 克莱因-戈尔登方程描述中性的，自旋为零的，相对论性的自由粒子的量子行为。
• 狄拉克方程描述相对论性的电子（自旋为${\displaystyle 1/2\,\!}$）的量子行为。

参阅

• 态叠加原理
• 无限深方形阱
• 有限深方形阱
• 有限位势垒
• 球对称位势
• Delta位势阱
• Delta位势垒
• 波包