态叠加原理

在量子力学里，态叠加原理（superposition principle）表明，假若一个量子系统的量子态可以是几种不同量子态中的任意一种，则它们的归一化线性组合也可以是其量子态。称这线性组合为“叠加态”。假设组成叠加态的几种量子态相互正交，则这量子系统处于其中任意量子态的概率是对应权值的绝对值平方。^[1]:316ff

在双缝实验里，从光源${\displaystyle \mathrm {a} }$传播出来的相干光子束，照射在一块刻有两条狭缝${\displaystyle \mathrm {b} }$和${\displaystyle \mathrm {c} }$的不透明挡板${\displaystyle \mathrm {S2} }$。在挡板的后面，摆设了摄影胶卷或某种侦测屏${\displaystyle \mathrm {F} }$，用来纪录到达${\displaystyle \mathrm {F} }$的任何位置${\displaystyle \mathrm {d} }$的光子数据。最右边黑白相间的条纹，显示出光子在侦测屏${\displaystyle \mathrm {F} }$的干涉图样。

从数学表述，态叠加原理是薛定谔方程的解所具有的性质。由于薛定谔方程是个线性方程，任意几个解的线性组合也是解。这些形成线性组合（称为“叠加态”）的解时常会被设定为相互正交（称为“基底态”），例如氢原子的电子能级态；换句话说，这几个基底态彼此之间不会出现重叠。这样，对于叠加态测量任意可观察量所得到的期望值，是对于每一个基底态测量同样可观察量所得到的期望值，乘以叠加态处于对应基底态的概率之后，所有乘积的总和。

更具体地说明，假设对于某量子系统测量可观察量${\displaystyle A}$，而可观察量${\displaystyle A}$的本征态${\displaystyle |a_{1}\rangle }$、${\displaystyle |a_{2}\rangle }$分别拥有本征值${\displaystyle a_{1}}$、${\displaystyle a_{2}}$，则根据薛定谔方程的线性关系，叠加态${\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|a_{1}\rangle +c_{2}|a_{2}\rangle }$也可以是这量子系统的量子态；其中，${\displaystyle c_{1}}$、${\displaystyle c_{2}}$分别为叠加态处于本征态${\displaystyle |a_{1}\rangle }$、${\displaystyle |a_{2}\rangle }$的概率幅。假设对这叠加态系统测量可观察量${\displaystyle A}$，则测量获得数值是${\displaystyle a_{1}}$或${\displaystyle a_{2}}$的概率分别为${\displaystyle |c_{1}|^{2}}$、${\displaystyle |c_{2}|^{2}}$，期望值为${\displaystyle \langle \psi |A|\psi \rangle =|c_{1}|^{2}a_{1}+|c_{2}|^{2}a_{2}}$。

举一个可直接观察到量子叠加的实例，在双缝实验里，可以观察到通过两条狭缝的光子相互干涉，造成了显示于侦测屏障的明亮条纹和黑暗条纹，这就是双缝实验著名的干涉图样。

再举一个案例，在量子运算里，量子比特是的两个基底态${\displaystyle |0\rangle }$与${\displaystyle |1\rangle }$的线性叠加。这两个基底态${\displaystyle |0\rangle }$、${\displaystyle |1\rangle }$的本征值分别为${\displaystyle 0}$、${\displaystyle 1}$。

理论

在数学里，叠加原理表明，线性方程的任意几个解所组成的线性组合也是这方程的解。由于薛定谔方程是线性方程，叠加原理也适用于量子力学，在量子力学里称为态叠加原理。假设某量子系统的量子态可以是 ${\displaystyle |f_{1}\rangle }$或${\displaystyle |f_{2}\rangle }$ ，这些量子态都满足描述这量子系统物理行为的薛定谔方程。则这量子系的量子态也可以是它们的线性组合${\displaystyle |f\rangle =c_{1}|f_{1}\rangle +c_{2}|f_{2}\rangle }$，也满足同样的薛定谔方程；其中，${\displaystyle c_{1}}$、${\displaystyle c_{2}}$是复值系数，为了归一化${\displaystyle |f\rangle }$，必须让${\displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1}$。

假设${\displaystyle \theta }$为实数，则虽然${\displaystyle e^{i\theta }|f_{2}\rangle }$与${\displaystyle |f_{2}\rangle }$标记同样的量子态，他们并无法相互替换。例如，${\displaystyle |f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle }$、${\displaystyle |f_{1}\rangle +e^{i\theta }|f_{2}\rangle }$分别标记两种不同的量子态。但是，${\displaystyle |f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle }$和${\displaystyle e^{i\theta }(|f_{1}\rangle +|f_{2}\rangle )}$都标记同一个量子态。因此可以这样说，整体的相位因子并不具有物理意义，但相对的相位因子具有重要的物理意义。这种相位因子固定不变的量子叠加称为“相干量子叠加”。^[1]:317

电子自旋范例

设想自旋为${\displaystyle 1/2}$的电子，它拥有两种相互正交的自旋本征态，上旋态${\displaystyle |\uparrow \rangle }$与下旋态${\displaystyle |\downarrow \rangle }$，它们的量子叠加可以用来表示量子比特：

${\displaystyle |\psi \rangle =c_{\uparrow }|\uparrow \rangle +c_{\downarrow }|\downarrow \rangle }$；

其中，${\displaystyle c_{\uparrow }}$、${\displaystyle c_{\downarrow }}$分别是复值系数，为了归一化${\displaystyle |\psi \rangle }$，必须让${\displaystyle |c_{\uparrow }|^{2}+|c_{\downarrow }|^{2}=1}$。

这是最一般的量子态。系数${\displaystyle c_{\uparrow }}$、${\displaystyle c_{\downarrow }}$分别给定电子处于上旋态或下旋态的概率：

${\displaystyle p_{\uparrow }=|c_{\uparrow }|^{2}}$、

${\displaystyle p_{\downarrow }=|c_{\downarrow }|^{2}}$。

总概率应该等于1： ${\displaystyle p=p_{\uparrow }+p_{\downarrow }=|c_{\uparrow }|^{2}+|c_{\downarrow }|^{2}=1}$。

这电子也可能处于这两个量子态的叠加态：

${\displaystyle |\psi \rangle ={3i \over 5}|\uparrow \rangle +{4 \over 5}|\downarrow \rangle }$。

电子处于上旋态或下旋态的概率分别为

${\displaystyle p_{\uparrow }=\left|\;{\frac {3i}{5}}\;\right|^{2}={\frac {9}{25}}}$、

${\displaystyle p_{\downarrow }=\left|\;{\frac {4}{5}}\;\right|^{2}={\frac {16}{25}}}$。

再次注意到总概率应该等于1：

${\displaystyle p={\frac {9}{25}}+{\frac {16}{25}}=1}$。

非相对论性自由粒子案例

描述一个非相对论性自由粒子的含时薛定谔方程为^[1]:331-336

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)}$；

其中，${\displaystyle \hbar }$是约化普朗克常数，${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$是粒子的波函数，${\displaystyle \mathbf {r} }$是粒子的位置，${\displaystyle t}$是时间。

这薛定谔方程有一个平面波解：

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {k} }$是波矢，${\displaystyle \omega }$是角频率。

代入薛定谔方程，这两个变数必须遵守关系式

${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega }$。

由于粒子存在的概率等于1，波函数${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$必须归一化，才能够表达出正确的物理意义。对于一般的自由粒子而言，这不是问题。因为，自由粒子的波函数，在位置或动量方面，都是局部性的。在量子力学里，一个自由粒子的动量与能量不必须拥有特定的值。自由粒子的波函数可以表示为很多平面波的量子叠加：

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}\int _{\mathbb {K} }A(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\mathrm {d} \mathbf {k} }$；

其中，积分区域${\displaystyle \mathbb {K} }$是${\displaystyle \mathbf {k} }$-空间。

为了方便计算，只思考一维空间，

${\displaystyle \Psi (x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }A(k)~e^{i(kx-\omega (k)t)}\ \mathrm {d} k}$；

其中，振幅${\displaystyle A(k)}$是量子叠加的系数函数。

逆反过来，系数函数表示为

${\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\,\infty }\Psi (x,0)~e^{-ikx}\,\mathrm {d} x}$；

其中，${\displaystyle \Psi (x,0)}$是在时间${\displaystyle t=0}$的波函数。

所以，知道在时间${\displaystyle t=0}$的波函数${\displaystyle \Psi (x,0)}$，通过傅里叶变换，可以推导出在任何时间的波函数${\displaystyle \Psi (x,t)}$。

参见

• 叠加原理
• 波函数
• Delta 位势阱
• Delta 位势垒

参考文献

1. French, Anthony, An Introduction to Quantum Physics, W. W. Norton, Inc., 1978, ISBN 978-0-393-09106-9

• Bohr, N. (1927/1928). The quantum postulate and the recent development of atomic theory, Nature Supplement 14 April 1928, 121: 580–590 （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Cohen-Tannoudji, C., Diu, B., Laloë, F. (1973/1977). Quantum Mechanics, translated from the French by S. R. Hemley, N. Ostrowsky, D. Ostrowsky, second edition, volume 1, Wiley, New York, ISBN 0471164321.
• Dirac, P. A. M. (1930/1958). The Principles of Quantum Mechanics, 4th edition, Oxford University Press.
• Einstein, A. (1949). Remarks concerning the essays brought together in this co-operative volume, translated from the original German by the editor, pp. 665–688 in Schilpp, P. A. editor (1949), Albert Einstein: Philosopher-Scientist （页面存档备份，存于互联网档案馆）, volume II, Open Court, La Salle IL.
• Feynman, R. P., Leighton, R.B., Sands, M. (1965). The Feynman Lectures on Physics, volume 3, Addison-Wesley, Reading, MA.
• Merzbacher, E. (1961/1970). Quantum Mechanics, second edition, Wiley, New York.
• Messiah, A. (1961). Quantum Mechanics, volume 1, translated by G.M. Temmer from the French Mécanique Quantique, North-Holland, Amsterdam.
• Wheeler, J. A.; Zurek, W.H. Quantum Theory and Measurement. Princeton NJ: Princeton University Press. 1983.