量子位元

在量子资讯学中，量子位元（英语：quantum bit），又称Q位元（qubit^[1]）是量子资讯的计量单位。传统电脑使用的是0和1，量子电脑虽然也是使用0跟1，但不同的是，量子电脑的0与1可以同时计算。在古典系统中，一个位元在同一时间，只有0或1，只存在一种状态，但量子位元可以同时是1和0，两种状态同时存在，这种效果叫量子叠加。这是量子电脑计算目前独有的特性。

定义

具有量子特性的系统（通常为双态系统，如自旋1/2粒子），选定两个相互正交的本征态，分别以 $|0\rangle$ （采狄拉克标记右括向量表示）和 $|1\rangle$ 代表。当对此系统做投影式量子测量时，会得到的结果必为这两个本征态之一，以特定几率比例出现。此外，这两个本征态可以复数系数做线性叠加得到诸多新的量子态

|\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle ;\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {C}

，

而从量子力学得知，这些线性叠加态 $|\psi \rangle \,$ 的两个复数系数，必须要求各自绝对值平方相加之和为1，也就是：

|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\,

因为

1=\langle \psi |\psi \rangle =(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )^{\dagger }(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=(\alpha ^{*}\langle 0|+\beta ^{*}\langle 1|)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )

=\alpha ^{*}\alpha \langle 0|0\rangle +\beta ^{*}\beta \langle 1|1\rangle

=|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}\,

，即要求总几率要是1。

和（古典）位元“非0即1”有所不同，量子位元可以“又0又1”的状态存在，所谓“又0又1”即上述无限多种 $(\alpha ,\beta )\,$ 组合的线性叠加态。这特性导致了量子平行处理等现象，并使量子计算应用在某些课题上显著地优于古典计算，甚至可进行古典计算无法做到的工作。

量子位元通常会采用一种几何表示法将之图像化，此表示法称之为布洛赫球面。

按方向所采的诸多表示法

若设置 $|0\rangle$ 、 $|1\rangle$ 顺沿直角坐标系的z方向，则有诸多表示法。可采上述向量形式如狄拉克标记的右括向量，亦可将之表为行矩阵；另外有密度矩阵形式，可表为右括向量乘以左括向量，或表为方块矩阵，可见如下：

z方向

向量：

z_{+}=|0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\quad z_{-}=|1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}

密度矩阵：

z_{+}=|0\rangle \langle 0|={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},

z_{-}=|1\rangle \langle 1|={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}

x方向

向量：

x_{+}=|x_{+}\rangle ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}},\quad x_{-}=|x_{-}\rangle ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}

密度矩阵：

x_{+}=|x_{+}\rangle \langle x_{+}|={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},

x_{-}=|x_{-}\rangle \langle x_{-}|={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}

y方向

向量：

y_{+}=|y_{+}\rangle ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}},\quad y_{-}=|y_{-}\rangle ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}

密度矩阵：

y_{+}=|y_{+}\rangle \langle y_{+}|={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {i}{2}}\\{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},

y_{-}=|y_{-}\rangle \langle y_{-}|={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {i}{2}}\\-{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}

量子三位元

量子三位元（qutrit）是量子位元的推广，有些应用采取之。量子三元以狄拉克标记右括向量表示可写为 $|0\rangle$ 、 $|1\rangle$ 、 $|2\rangle$ 。一个自旋为1的粒子，其自旋自由度有三，所对应的本征值为+1, 0, -1，此粒子即可用作量子三元。

参阅

注释

[1]
MA Nielsen, IL Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, Cambridge (2000).

参考文献

Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang: Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, Cambridge 2000, ISBN 0-521-63503-9.
Oliver Morsch: Quantum bits and quantum secrets - how quantum physics is revolutionizing codes and computers. Wiley-VCH, Weinheim 2008, ISBN 978-3-527-40710-1.
Anthony J. Leggett: Quantum computing and quantum bits in mesoscopic systems. Kluwer Academic, New York 2004, ISBN 0-306-47904-4.

外部连接

Qubit.org （页面存档备份，存于互联网档案馆）—cofounded by one of the pioneers in quantum computation, David Deutsch

[1] [1]
MA Nielsen, IL Chuang. Quantum Computation and Quantum Information, Cambridge University Press, Cambridge (2000).

[1]