布洛赫球面

量子力学中，以自旋物理与核磁共振专家费利克斯·布洛赫命名的布洛赫球面是一种对于双态系统中纯态空间的几何表示法。在讨论量子位元的场合上常常运用到。^[1]

布洛赫球面

布洛赫球面诸点与纯态的对应

对量子位元这样的双态量子系统而言，其存在的可能状态${\displaystyle |\psi \rangle }$（采用狄拉克标记的右矢表示）可以由两个互相正交的基底以复数线性叠加所构成，这两个基底可以选用${\displaystyle |0\rangle }$和${\displaystyle |1\rangle }$为代表。在物理实现上，${\displaystyle |0\rangle }$和${\displaystyle |1\rangle }$代表了做投影式量子测量所会得到的唯二结果。

从任意纯态出发：${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha \,|0\rangle +\beta \,|1\rangle }$，其中${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$，且归一化为${\displaystyle \quad |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\,}$。

故可设：

${\displaystyle \alpha =\cos \theta \,e^{i\delta },\quad \beta =\sin \theta \,e^{i(\delta +\phi )}\,}$

${\displaystyle \Rightarrow |\psi \rangle =\cos \theta \,e^{i\delta }\,|0\rangle +\sin \theta \,e^{i(\delta +\phi )}\,|1\rangle =e^{i\delta }(\cos \theta \,|0\rangle +\sin \theta \,e^{i\phi }\,|1\rangle )}$

其中${\displaystyle e^{i\delta }\,}$称作共同相位（global phase），因为对${\displaystyle |0\rangle }$、对${\displaystyle |1\rangle }$都一样影响，而在实验上测量不出来，故可以将之舍弃不看。也因为如此，我们可以令${\displaystyle \cos \theta \,}$为非负实数。

至于相对相位（relative phase）${\displaystyle e^{i\phi }\,}$就不同了，它的影响可以在球面上表现出来。故得：

${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \theta \,|0\rangle +\sin \theta \,e^{i\phi }\,|1\rangle }$

由于${\displaystyle e^{i\phi }\,}$的存在，我们也能令${\displaystyle \sin \theta \,}$非负实数。

由上述条件可定出${\displaystyle \theta \,}$与${\displaystyle \phi \,}$的范围如下：

${\displaystyle 0\leq \theta \leq {\frac {\pi }{2}}\Rightarrow 0\leq 2\theta \leq \pi ,\quad }$

${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi }$

将${\displaystyle 2\theta \,}$和${\displaystyle \phi \,}$的所有分布在三维空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$中画出来，就可以得到一个球面，此即布洛赫球面，如同图1。

${\displaystyle {\begin{matrix}x&=&\sin 2\theta \times \cos \phi \\y&=&\sin 2\theta \times \sin \phi \\z&=&\cos 2\theta \end{matrix}}}$

可以注意到正交（有“垂直，呈90度关系”的意思）的两个基底${\displaystyle |0\rangle }$和${\displaystyle |1\rangle }$在此几何表示法下成为一轴的两端，变成180度关系（${\displaystyle 2\theta \,}$的缘故）。通常设置它们处在${\displaystyle z\,}$轴，即：

• ${\displaystyle |0\rangle }$是${\displaystyle z_{+}:\,(0,0,1)}$、
• ${\displaystyle |1\rangle }$是${\displaystyle z_{-}:\,(0,0,-1)}$，

离球心距离皆是1。

习惯差异

有些学者及书刊对于球面所采用的表示为：

${\displaystyle {\begin{matrix}x&=&\sin \theta \times \cos \phi \\y&=&\sin \theta \times \sin \phi \\z&=&\cos \theta \end{matrix}}}$

角度范围：

${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi ,\quad 0\leq \phi <2\pi }$

是故，其状态${\displaystyle |\psi \rangle }$的定义为：

${\displaystyle |\psi \rangle =\cos {\frac {\theta }{2}}\,|0\rangle +\sin {\frac {\theta }{2}}\,e^{i\phi }\,|1\rangle }$

此种表示法的用意在使布洛赫球面上${\displaystyle (\theta ,\phi )\,}$表示方式和一般 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$中的球面以球坐标 ${\displaystyle (r_{0},\theta ,\phi )\,}$表示方式一致。

布洛赫球与混合态

布洛赫球（Bloch ball）是布洛赫球面的扩展，混合态会出现在球内（离球心距离${\displaystyle <1}$的点）而不是球面上。^[2][3]并可从此推论出球心该点所代表的量子状态是最大混合态（maximally mixed state），用密度矩阵形式及狄拉克标记表示即（另见“量子位元”）：

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\mathbf {I} ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}$${\displaystyle ={\frac {1}{2}}|0\rangle \langle 0|+{\frac {1}{2}}|1\rangle \langle 1|={\frac {1}{2}}z_{+}+{\frac {1}{2}}z_{-}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}x_{+}+{\frac {1}{2}}x_{-}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {i}{2}}\\{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}+{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {i}{2}}\\-{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}y_{+}+{\frac {1}{2}}y_{-}}$。

可以看到这是两个彼此正交的纯态以恰好一半一半的比例构成混合态。

参见

• 居量反转
• 量子电脑

注释

1. Bloch, Felix. Nuclear induction. Phys. Rev. Oct 1946, 70 (7-8): 460–474. Bibcode:1946PhRv...70..460B. doi:10.1103/physrev.70.460.
2. Nielsen, Michael A.; Chuang, Isaac L. Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press. 2004. ISBN 978-0-521-63503-5.
3. 存档副本. [2017-07-25]. （原始内容存档于2015-09-25）.

外部链接

• Density Operator of a Single Qubit: The Bloch Sphere