埃尔米特伴随

数学中，特别是算子理论中，每个内积空间中的线性算子 ${\displaystyle A}$ 都个有一个对应的伴随算子（英语：adjoint operator），记作 ${\displaystyle A^{*}}$，伴随算子可由以下关系定义

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }$

• 数学主题

提示：此条目的主题不是伴随矩阵。

其中 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ 是向量空间中的内积。

算子 ${\displaystyle A}$ 的伴随 ${\displaystyle A^{*}}$ 亦可称作埃尔米特伴随（英语：Hermitian adjoint），以夏尔·埃尔米特命名。在物理学，尤其是量子力学中，算子 ${\displaystyle A}$ 的埃尔米特伴随常被记作 ${\displaystyle A^{\dagger }}$（狄拉克符号记法）。

有限维向量空间中算子可以以矩阵的形式表示，而伴随算子的矩阵等于原矩阵的共轭转置。

泛函分析中，上述对伴随算子的定义可以直接套用于希尔伯特空间中的线性算子。

有界算子

假设${\displaystyle H}$是一个希尔伯特空间，带有内积 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$。考虑连续线性算子${\displaystyle A:H\rightarrow H}$（这与有界算子相同）。

利用里斯表示定理，我们可以证明存在唯一的连续线性算子

${\displaystyle A^{*}:H\rightarrow H}$具有如下性质：

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }$，对所有${\displaystyle x,y\in H}$。

这个算子${\displaystyle A^{*}}$是${\displaystyle A}$的伴随。

这可以视为一个方块矩阵的转置共轭或伴随矩阵推广，在标准（复）内积下具有相似的性质。

性质

马上可得的性质

1. ${\displaystyle A^{**}=A}$
2. 如${\displaystyle A}$可逆，则${\displaystyle A^{*}}$也可逆，且${\displaystyle (A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}}$
3. ${\displaystyle (A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}}$
4. ${\displaystyle (\lambda A)^{*}=\lambda ^{*}A^{*}}$，这里${\displaystyle \lambda ^{*}}$表示复数${\displaystyle \lambda }$的复共轭
5. ${\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}}$

如果我们定义${\displaystyle A}$的算子范数为

${\displaystyle \|A\|_{op}:=\sup\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\}}$

则

${\displaystyle \|A^{*}\|_{op}=\|A\|_{op},}$

而且有

${\displaystyle \|A^{*}A\|_{op}=\|A\|_{op}^{2}}$。

希尔伯特空间${\displaystyle H}$上有界线性算子与伴随算子以及算子范数给出一个C*代数例子。

${\displaystyle A}$的像与它的伴随的核的关系为

${\displaystyle \ker A^{*}=\left(\operatorname {im} \ A\right)^{\bot },}$

${\displaystyle \left(\ker A^{*}\right)^{\bot }={\overline {\operatorname {im} \ A}}}$。

第一个等式的证明：

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}x=0&\iff \langle A^{*}x,y\rangle =0\quad \forall y\in H\\&\iff \langle x,Ay\rangle =0\quad \forall y\in H\\&\iff x\ \bot \ \operatorname {im} \ A\end{aligned}}}$

第二个等式由第一个推出，于两边取正交空间即可。注意到一般地，像未必是闭的，但连续算子的核总是闭的。

埃尔米特算子

有界算子${\displaystyle A:H\rightarrow H}$称为埃尔米特或自伴如果

${\displaystyle A=A^{*}}$

这等价于

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,\forall x,y\in H}$。

在某种意义下，这种算子起着实数（等于他们的复共轭）的作用。他们在量子力学中作为实值可观测量的模型。更多细节参见自伴算子一文。

无界算子的伴随

许多重要的算子不是连续的或只定义在希尔伯特的一个子空间上。在这种情形，我们仍然能定义伴随，在自伴算子一文有解释。

其他伴随

范畴论中，方程

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle }$

形式上类似地定义了伴随函子偶性质，这也是伴随函子得名之由来。

又见

• 数学概念
  • 线性代数
  • 内积
  • 希尔伯特空间
  • 埃尔米特算子
  • 范数
  • 算子范数
  • 线性映射的转置
• 物理应用
  • 对偶空间
  • 狄拉克符号
  • 量子力学
  • 可观测量

参考文献

• Walter Rudin. Functional Analysis(2nd ed.), China Machine Press, 2006