埃尔米特伴随
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數學中,特別是算子理論中,每個內積空間中的線性算子 都個有一個對應的伴隨算子(英語:adjoint operator),記作 ,伴隨算子可由以下關係定義
算子 的伴隨 亦可稱作埃尔米特伴随(英語:Hermitian adjoint),以夏尔·埃尔米特命名。在物理學,尤其是量子力學中,算子 的埃尔米特伴随常被記作 (狄拉克符号记法)。
有界算子
假設是一個希爾伯特空間,帶有內積 。考慮連續線性算子(這與有界算子相同)。
具有如下性質:
- ,对所有。
這個算子是的伴隨。
性质
马上可得的性质
如果我们定义的算子范数为
则
而且有
- 。
希尔伯特空间上有界线性算子与伴随算子以及算子范数给出一个C*代数例子。
- 。
第一个等式的证明:
第二个等式由第一个推出,于两边取正交空间即可。注意到一般地,像未必是闭的,但连续算子的核总是闭的。
埃尔米特算子
有界算子称为埃尔米特或自伴如果
这等价于
- 。
在某种意义下,这种算子起着实数(等于他们的复共轭)的作用。他们在量子力学中作为实值可观测量的模型。更多细节参见自伴算子一文。
无界算子的伴随
其他伴随
范畴论中,方程
形式上类似地定义了伴随函子偶性质,这也是伴随函子得名之由来。
又见
参考文献
- Walter Rudin. Functional Analysis(2nd ed.), China Machine Press, 2006
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