共轭转置

矩阵${\displaystyle A}$的共轭转置（英语：conjugate transpose，又称埃尔米特共轭、埃尔米特转置（英语：Hermitian transpose））${\displaystyle A^{*}}$的定义为：

${\displaystyle (A^{*})_{i,j}={\overline {A_{j,i}}}}$

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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查 论 编

其中${\displaystyle (\cdot )_{i,j}}$表示矩阵i行j列上的元素，${\displaystyle {\overline {(\cdot )}}}$表示标量的复共轭。

这一定义也可以写作：

${\displaystyle A^{*}=({\overline {A}})^{\mathrm {T} }={\overline {A^{\mathrm {T} }}}}$

其中${\displaystyle A^{\mathrm {T} }\,\!}$是矩阵A的转置，${\displaystyle {\overline {A}}\,\!}$表示对矩阵A中的元素取复共轭。

通常用以下记号表示矩阵A的共轭转置：

• ${\displaystyle A^{*}\,\!}$或${\displaystyle A^{\mathrm {H} }\,\!}$，常用于线性代数
• ${\displaystyle A^{\dagger }\,\!}$，普遍用于量子力学，而同时${\displaystyle A^{*}\,\!}$只表示为${\displaystyle A\,\!}$的复数共轭。^[1]
• ${\displaystyle A^{+}\,\!}$（但这一记号通常指矩阵的摩尔－彭若斯广义逆)

注意：某些情况下${\displaystyle A^{*}\,\!}$也指仅对矩阵元素取复共轭，而不做矩阵转置，切勿混淆。

实例

若

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}3+i&5\\2-2i&i\end{bmatrix}}}$ ，

则

${\displaystyle A^{*}={\begin{bmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\end{bmatrix}}}$。

基本评注

如果A的元素是实数，那么A^*与A的转置A^T相等。把复值方块矩阵视为复数的推广，以及把共轭转置视为共轭复数的推广通常是非常有用的。

元素为${\displaystyle a_{ij}}$的方块矩阵A称为：

• 埃尔米特矩阵或自伴矩阵，如果A = A^*，也就是说，${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}^{*}}$ ；
• 斜埃尔米特矩阵或反埃尔米特矩阵，如果A = −A^*，也就是说，${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}^{*}}$ ；
• 正规矩阵，如果A^*A = AA^*。

即使A不是方块矩阵，A^*A和AA^*仍然是埃尔米特矩阵和半正定矩阵。

性质

• (A + B)^* = A^* + B^*。
• (rA)^* = r^*A^*，其中r为复数，r^*为r的复共轭。
• (AB)^* = B^*A^*，其中A为m行n列的矩阵，B为n行p列矩阵。
• (A^*)^* = A 。
• 若A为方阵，则det(A^*) = (det A)^*，且tr(A^*) = (tr A)^* 。
• A是可逆矩阵，当且仅当A^*可逆，且有(A^*)⁻¹ = (A⁻¹)^* 。
• A^*的特征值是A的特征值的复共轭。
• <Ax,y> = <x, A^*y>，其中A为m列n行的矩阵，复向量x为n维行向量，复向量y为m维行向量，<·,·>为复数的内积。

推广

• 从上面给出的最后一个性质可以推出，如果我们把A视为从希尔伯特空间Cⁿ到C^m的线性变换，则矩阵A^*对应于A的自伴算子。于是，希尔伯特空间之间的自伴算子可以视为矩阵的共轭转置的推广。
• 还可以进行另外一种推广：假设A是一个从复值向量空间V到W的线性映射，那么可以定义复共轭线性映射和线性映射的转置，并可以取A的共轭转置为A的转置的共轭复数。它把W的共轭对偶映射到V的共轭对偶。

参见

• 埃尔米特伴随