积测度

数学中，给出可测空间和其上的测度，可以获得积可测空间和其上的积测度。概念上近似于集合的笛卡儿积和两个拓扑空间的积拓扑。

设${\displaystyle (X_{1},\Sigma _{1})}$和${\displaystyle (X_{2},\Sigma _{2})}$是两个测度空间，就是说${\displaystyle \Sigma _{1}}$和${\displaystyle \Sigma _{2}}$分别是在${\displaystyle X_{1}}$和${\displaystyle X_{2}}$上的σ代数，又设${\displaystyle \mu _{1}}$和${\displaystyle \mu _{2}}$是其上的测度。以${\displaystyle \Sigma _{1}\times \Sigma _{2}}$记形如${\displaystyle B_{1}\times B_{2}}$的子集产生的笛卡儿积${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$上的σ代数，其中${\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1}}$及${\displaystyle B_{2}\in \Sigma _{2}}$。

积测度${\displaystyle \mu _{1}\times \mu _{2}}$定义为在可测空间${\displaystyle (X_{1}\times X_{2},\Sigma _{1}\times \Sigma _{2})}$上唯一的测度，适合

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\mu _{2}(B_{2})}$

对所有

${\displaystyle B_{1}\in \Sigma _{1},\ B_{2}\in \Sigma _{2}}$。

事实上对所有可测集E，

${\displaystyle (\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E_{y})\,\mu _{2}(dy)=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\,\mu _{1}(dx)}$，

其中${\displaystyle E_{x}=\{y\in X_{2}|(x,y)\in E\}}$，${\displaystyle E_{y}=\{x\in X_{1}|(x,y)\in E\}}$，两个都是可测集。

这测度的存在性和唯一性是得自哈恩-柯尔莫哥洛夫定理.

欧几里得空间Rⁿ上的博雷尔测度可得自n个实数轴R上的博雷尔测度的积。

参考文献

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