在坡印亭的原始论文和许多教科书中，它通常记作 S 或 N ，定义为[ 3] [ 4]
S
=
E
×
H
{\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }
其中
这种形式通常被称为亚伯拉罕形式。[ 5] [ 6] E 和磁感应强度 B 作为另一种定义。甚至可以把电位移矢量 D 和磁感应强度 B 结合起来得到的坡印亭矢量的闵可夫斯基形式 ，或使用 D 与 H 构成另一种形式。[ 6] [ 7]
坡印亭矢量表示的是电磁能量的能流矢量的特殊情况。然而，空间内任何形式的能量都有其移动方向，也有密度，所以其他形式的能量也可以定义能流矢量，例如机械能 。1874年由尼科莱·乌诺夫 发现的乌诺夫–坡印亭矢量[ 8]
一个由电池 （V ）和电阻 （R ）组成的直流电路，用（S , 蓝电场 为（E , 红磁场 为（H , 绿P 上，能流密度朝向电阻的方向。 电流方向改变时，电场与磁场方向同时改变，能量场方向不变，因此交流电电流方向改变不会影响对负载做功。
根据能量守恒 所得的坡印亭定理 中出现了坡印亭矢量（参见此条目中定理和矢量的推导）：
∂
u
∂
t
=
−
∇
⋅
S
−
J
f
⋅
E
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} -\mathbf {J_{\mathrm {f} }} \cdot \mathbf {E} }
其中 Jf 为自由电荷 的电流密度 而 u 为线性、非色散 材料的电磁场能量密度，即
u
=
1
2
(
E
⋅
D
+
B
⋅
H
)
{\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} \right)}
其中
E 是电场强度；D 是电位移矢量；B 是磁感应强度；H 是磁场强度。[ 9] :258-260 右面的第一项表示流入一个小体积的净电磁能流，而第二项表示自由电流所抵销的功部分（这些功从电磁能转换成耗散能 、热）。在此定义中，在此项中不包括束缚电流，但束缚电流会影响 S 和 u 。
对于线性、非色散 、各向同性 （为了方便分析）材料，本构关系 写作
D
=
ε
E
{\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }
H
=
1
μ
B
{\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu }}\mathbf {B} }
的时候。其中
原则上，这把此形式的坡印亭定理限制于描述场在真空中的行为，或在线性、非色散 材料中的行为。坡印亭定理可以延伸到色散材料中，但必须在方程里添加更多项。[ 9] :262-264
坡印亭矢量通常被解释为能流，但对于某些案例可能会导致佯谬般的结果[ 10] :180 [ 11] 散度 与能量密度的改变有关，这就是说它只能描述空间中能量密度的改变，描述不了能流，换句话说，坡印亭矢量只精确地定义至任意场的旋度 [ 9] :258-260 。在下一节会有更多相关说明。
坡印亭定理中，坡印亭矢量以散度 ∇ ⋅ S 形式出现，因此可在坡印亭矢量S 中任意增添场F 的旋度 而不对其造成影响：[ 9] :258-260
S
′
=
S
+
∇
×
F
⇒
∇
⋅
S
′
=
∇
⋅
S
{\displaystyle \mathbf {S} '=\mathbf {S} +\nabla \times \mathbf {F} \Rightarrow \nabla \cdot \mathbf {S} '=\nabla \cdot \mathbf {S} }
此处应用到矢量关系式：任意场F 之旋度项的散度为零，即∇ ⋅ (∇ × F ) = 0 （细节参见矢量恒等式列表 ）。
此项性质用于类静电学范畴，举例来说，可以用来描述压电材料 中与波动相关的能量传递。在此情形，磁场可以忽略，局部的能量通量主要是由电场项来贡献。以通则来说，我们可用下式来表示坡印亭矢量的散度：[ 12] :27-32
∇
⋅
(
E
×
H
)
=
H
⋅
∇
×
E
−
E
⋅
∇
×
H
{\displaystyle \nabla \cdot \left(\mathbf {E} \times \mathbf {H} \right)=\mathbf {H} \cdot \nabla \times \mathbf {E} -\mathbf {E} \cdot \nabla \times \mathbf {H} }
而麦克斯韦方程组 第四条方程写道：
∇
×
H
=
J
f
+
∂
D
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J_{\mathrm {f} }} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}
其中Jf 是自由电荷所产生的电流密度。
在介电材料 中，方程变为
∇
×
H
=
∂
D
∂
t
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}
将前述两项结果结合可得如下类静电学散度：
∇
⋅
S
=
−
E
⋅
∂
D
∂
t
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}
一个新的“无磁场贡献”的坡印亭矢量可得到相同的散度结果：
S
′
=
−
V
∂
D
∂
t
{\displaystyle \mathbf {S'} =-V{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}
其中V 为静电势 。
平行板电容器 的案例中，相互垂直的S 与S′ 两者皆导致相同的整体能量平衡，此例子由Bondar与Bastien指出。[ 13]
一般普遍认为：采用异于经典坡印亭矢量的其他矢量，会导致相对论 中对电磁场描述的矛盾；因为相对论中，能量与动量是以应力-能量张量 做局域定义的[ 9] :258-260 。然而上方的转换却与量子电动力学 相符，其中光子 没有明确定义的轨迹 ，而只有放射与吸收的概率 [ 14] :139-141 。
在某些情况下，可以更合适地定义坡印亭矢量为
S
=
1
μ
0
E
×
B
{\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }
其中
μ 0 是真空磁导率 ；E 是电场强度；B 是磁感应强度。可以直接从以总电荷和总电流为变量的麦克斯韦方程组 和洛伦兹力 定律导出这种形式。
对应的坡印亭定理 的形式为
∂
u
∂
t
+
∇
⋅
S
=
−
J
⋅
E
{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} }
其中 J 为全 电流密度 ，而能量密度 u 为
u
=
1
2
(
ε
0
E
2
+
1
μ
0
B
2
)
{\displaystyle u={\frac {1}{2}}\!\left(\varepsilon _{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{2}\right)}
其中 ε0 是真空电容率 。
坡印亭矢量的两种定义在真空或非磁性材料中等价，其中B = μ0 H S = 1/μ0 E × B u 是纯辐射性的，因为耗散项−J ⋅ E 包括了总电流，而以H 场所做的定义涵盖了约束电流的贡献，因而缺乏耗散项。[ 15]
推导S = 1/μ0 E × B E 和B ，关于材料性质的假设则可回避掉。是故以此方式定义的坡印亭矢量与坡印亭定理是普遍成立的，不论是在真空中或各式各样的材料中。[ 15]
对于时间周期正弦 电磁场，单位时间内的平均潮流（功率流）往往更有用处，可以通过如下的电场和磁场的解析表示 来求得（下标“a”指的是解析信号 ，带下划线的下标“m”指复振幅 ，而上标“*”指共轭复数 ）：
S
=
E
×
H
=
Re
(
E
a
)
×
Re
(
H
a
)
=
Re
(
E
m
_
e
j
ω
t
)
×
Re
(
H
m
_
e
j
ω
t
)
=
1
2
(
E
m
_
e
j
ω
t
+
E
m
∗
_
e
−
j
ω
t
)
×
1
2
(
H
m
_
e
j
ω
t
+
H
m
∗
_
e
−
j
ω
t
)
=
1
4
(
E
m
_
×
H
m
∗
_
+
E
m
∗
_
×
H
m
_
+
E
m
_
×
H
m
_
e
2
j
ω
t
+
E
m
∗
_
×
H
m
∗
_
e
−
2
j
ω
t
)
=
1
4
[
E
m
_
×
H
m
∗
_
+
(
E
m
_
×
H
m
∗
_
)
∗
+
E
m
_
×
H
m
_
e
2
j
ω
t
+
(
E
m
_
×
H
m
_
e
2
j
ω
t
)
∗
]
=
1
2
Re
(
E
m
_
×
H
m
∗
_
)
+
1
2
Re
(
E
m
_
×
H
m
e
2
j
ω
t
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {S} &=\mathbf {E} \times \mathbf {H} \\&=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E_{\mathrm {a} }} \right)\times \operatorname {Re} \!\left(\mathbf {H_{\mathrm {a} }} \right)\\&=\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}e^{j\omega t}\right)\times \operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{j\omega t}\right)\\&={\frac {1}{2}}\!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}e^{j\omega t}+{\underline {\mathbf {E_{m}^{*}} }}e^{-j\omega t}\right)\times {\frac {1}{2}}\!\left({\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{j\omega t}+{\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}e^{-j\omega t}\right)\\&={\frac {1}{4}}\!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}+{\underline {\mathbf {E_{m}^{*}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}+{\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}+{\underline {\mathbf {E_{m}^{*}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}e^{-2j\omega t}\right)\\&={\frac {1}{4}}\!\left[{\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}+\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)^{*}+{\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}+\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}\right)^{*}\right]\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times \mathbf {H_{m}} e^{2j\omega t}\right)\end{aligned}}}
关于时间的平均为
⟨
S
⟩
=
1
T
∫
0
T
S
(
t
)
d
t
=
1
T
∫
0
T
[
1
2
Re
(
E
m
_
×
H
m
∗
_
)
+
1
2
Re
(
E
m
_
×
H
m
_
e
2
j
ω
t
)
]
d
t
{\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbf {S} (t)\mathrm {d} t={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\!\left[{\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}\right)\right]\mathrm {d} t}
第二项为正弦曲线
Re
(
e
2
j
ω
t
)
=
cos
(
2
ω
t
)
{\displaystyle \operatorname {Re} \!\left(e^{2j\omega t}\right)=\cos(2\omega t)}
其平均为零，于是得到
⟨
S
⟩
=
1
2
Re
(
E
m
_
×
H
m
∗
_
)
=
1
2
Re
(
E
m
_
e
j
ω
t
×
H
m
∗
_
e
−
j
ω
t
)
=
1
2
Re
(
E
a
×
H
a
∗
)
{\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}e^{j\omega t}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}e^{-j\omega t}\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E_{\mathrm {a} }} \times \mathbf {H_{\mathrm {a} }^{*}} \right)}
同轴电缆中的坡印亭矢量，以红色表示。 举例而言，一条同轴电缆 的介电 绝缘体 之中的坡印亭矢量与电缆的轴线几乎平行（假设电缆外无场，且包含直流电在内的波长远长于电缆直径）。输送到负载的电能完全是流经导体 之间的介电质。极少量的能量是经导体流动，因为此处的电场强度接近于零。在导体内的能量流是径向的，成为导体电阻发热的能量散失。无能量流至电缆外，因为内层导体与外层导体所产生的磁场彼此相抵消。
若导体有不小的电阻，则在导体表面附近，坡印亭矢量则会出现歪斜而接触到导体。当坡印亭矢量伸入导体时，其被弯折到几乎与表面垂直的方向。[ 16] 斯涅尔定律 以及导体内部甚慢的光速所造成的结果。关于导体内部光速的定义与计算，参见文献Hayt第402页。[ 17]
在导体内部，坡印亭矢量代表了能量从电磁场 流入电缆，产生了电阻的焦耳发热 。从斯涅尔定律起始的推导，参见文献Reitz第454页。[ 18]
电场矢量随着时间（z-轴）流易而演变。电场矢量以黑色粗线表示，它的x-分量、y-分量分别以红色细线、蓝色细线表示。在基部的图样是矢量的矢端随着时间流易对于xy-平面的投射。
呈线偏振 而以固定频率 传播的电磁正弦 平面波 ，其坡印亭矢量永远指向传播方向，而坡印亭矢量的大小会不停振荡。此大小的时间均值为：
⟨
S
⟩
=
1
2
μ
0
c
E
m
2
=
ε
0
c
2
E
m
2
{\displaystyle \langle S\rangle ={\frac {1}{2\mu _{0}\mathrm {c} }}E_{\mathrm {m} }^{2}={\frac {\varepsilon _{0}\mathrm {c} }{2}}E_{\mathrm {m} }^{2}}
其中E m 是电场大小，c 是自由空间中的光速 。时间均值则称为辐照度 ，在辐射度量学 中标记为E e ；在其他领域又称为强度 ，标记为 I 。
平面电磁波中，E 与B 以及波传递方向总是互相垂直。此外E 大小与B 大小有如下关系式：
B
m
=
1
c
E
m
{\displaystyle B_{\mathrm {m} }={\frac {1}{\mathrm {c} }}E_{\mathrm {m} }}
与时间 及空间 的相依性为
E
(
r
,
t
)
=
E
m
cos
(
ω
t
−
k
⋅
r
)
{\displaystyle E(\mathbf {r} ,t)=E_{\mathrm {m} }\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}
B
(
r
,
t
)
=
B
m
cos
(
ω
t
−
k
⋅
r
)
{\displaystyle B(\mathbf {r} ,t)=B_{\mathrm {m} }\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}
其中ω 为波的角频率 ，而k 为波矢 。
因此与时空变量相依的坡印亭矢量为：
S
(
r
,
t
)
=
1
μ
0
E
m
B
m
cos
2
(
ω
t
−
k
⋅
r
)
=
1
μ
0
c
E
m
2
cos
2
(
ω
t
−
k
⋅
r
)
=
ε
0
c
E
m
2
cos
2
(
ω
t
−
k
⋅
r
)
{\displaystyle S(\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}E_{\mathrm {m} }B_{\mathrm {m} }\cos ^{2}(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )={\frac {1}{\mu _{0}c}}E_{\mathrm {m} }^{2}\cos ^{2}(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )=\varepsilon _{0}\mathrm {c} E_{\mathrm {m} }^{2}\cos ^{2}(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}
在最后一步骤中，使用到等式ε0 μ0 = 1/c2 。既然cos2 (ωt − k ⋅ r ) 的时间平均与空间平均是1/2，则
⟨
S
⟩
=
1
2
μ
0
c
E
m
2
=
ε
0
c
2
E
m
2
{\displaystyle \langle S\rangle ={\frac {1}{2\mu _{0}\mathrm {c} }}E_{\mathrm {m} }^{2}={\frac {\varepsilon _{0}\mathrm {c} }{2}}E_{\mathrm {m} }^{2}}
只要运用电场与磁场分布的资料，即可计算出坡印亭矢量；这样的资料包括了特殊物理情形的边界条件 ，比如偶极天线 的例子。也因此E 场与H 场的分布构成电磁学分析上的主体，而坡印亭矢量则成了有价值的副产物。
电磁场的线动量 密度为S /c2 ，此处S 为坡印亭矢量的大小 ，而c 是自由空间 中的光速 。电磁波对一目标物表面所产生的辐射压 则为：
P
r
a
d
=
⟨
S
⟩
c
{\displaystyle P_{\mathrm {rad} }={\frac {\langle S\rangle }{\mathrm {c} }}}
静场中的坡印亭矢量，其中E 为电场，H 为磁场，而S 为坡印亭矢量。 在静态场考虑坡印亭矢量显示出了麦克斯韦方程组的相对论性，并让我们更加理解了洛伦兹力 q (v × B )
虽然循环的能流看似是无意义或矛盾的，它却证明了保持动量守恒 是绝对有必要的。动量密度与能流密度成正比，所以能量的循环流动包含着角 动量。[ 19]
Julius Adams Stratton. Chap.II Stress and Energy. Electromagnetic Theory First. New York: McGraw-Hill. 1941: 132 . ”first derived by Poynting in 1884 and again in the same year by Heaviside.” Electromagnetism (2nd Edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics, John Wiley & Sons, 2008, ISBN 978-0471927129 Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education, Dorling Kindersley, 2007, ISBN 81-7758-293-3 Umov, N. A. Ein Theorem über die Wechselwirkungen in Endlichen Entfernungen. Zeitschrift für Mathematik und Physik. 1874, XIX : 97.
Wolfgang K. H. Panofsky; Melba Phillips. Classical Electricity and Magnetism: Second Edition. Courier Corporation. 12 July 2012. ISBN 978-0-486-13225-9 Henry Frank Tiersten. Linear Piezoelectric Plate Vibrations: Elements of the Linear Theory of Piezoelectricity and the Vibrations Piezoelectric Plates. Springer. 11 November 2013. ISBN 978-1-4899-6453-3 Hecht, Eugene, Optics 4th, United States of America: Addison Wesley, 2002, ISBN 0-8053-8566-5（英语） Feynman Lectures on Physics, Sections 17-4 and Volume 2, Chapter 17, section 4 and the end of Chapter 27, Section 6.
_With.Phase.Indicators.svg)
.svg)
.svg)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {S} &=\mathbf {E} \times \mathbf {H} \\&=\operatorname {Re} \!\left(\mathbf {E_{\mathrm {a} }} \right)\times \operatorname {Re} \!\left(\mathbf {H_{\mathrm {a} }} \right)\\&=\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}e^{j\omega t}\right)\times \operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{j\omega t}\right)\\&={\frac {1}{2}}\!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}e^{j\omega t}+{\underline {\mathbf {E_{m}^{*}} }}e^{-j\omega t}\right)\times {\frac {1}{2}}\!\left({\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{j\omega t}+{\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}e^{-j\omega t}\right)\\&={\frac {1}{4}}\!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}+{\underline {\mathbf {E_{m}^{*}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}+{\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}+{\underline {\mathbf {E_{m}^{*}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}e^{-2j\omega t}\right)\\&={\frac {1}{4}}\!\left[{\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}+\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)^{*}+{\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}+\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}\right)^{*}\right]\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times \mathbf {H_{m}} e^{2j\omega t}\right)\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05d7916daa7054045c81abdafd3eee149807db44)
![{\displaystyle \langle \mathbf {S} \rangle ={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\mathbf {S} (t)\mathrm {d} t={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}\!\left[{\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}^{*}} }}\right)+{\frac {1}{2}}\operatorname {Re} \!\left({\underline {\mathbf {E_{m}} }}\times {\underline {\mathbf {H_{m}} }}e^{2j\omega t}\right)\right]\mathrm {d} t}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a1bf9ea51a74d9d0793f3e20b22e26485c4d237)
