在静电学 里，电势 （electric potential/ ePtntl）又称电位 （eForce/ eFrc)[ 1] 标量 ，操作型定义为“电场中某处的电势”等于“处于电场 中该位置的单位电荷 所具有的电势能 ”[ 2] 伏特 。
本条目中，矢量 与标量 分别用粗体 与斜体 显示。例如，位置矢量通常用
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
两个同性电荷的电场线和等势线。 电势的数值不具有绝对意义，只具有相对意义，因此为了便于分析问题，必须设定一个参考位置，并把它设为零，称为零势能点。通常，会把无穷远处的电势设定为零。那么，电势可以定义如下：假设检验电荷从无穷远位置，经过任意路径，克服电场力，以缓慢、没有产生加速度的方式移动到某位置，则在这位置的电势，等于因移动检验电荷所做的功 与检验电荷的电荷量 的比值。在国际单位制 里，电势的单位为伏特 （
V
=
J
/
C
{\displaystyle \scriptstyle {{\text{V}}={\text{J}}/{\text{C}}}}
亚历山德罗·伏特 （Alessandro Volta）而命名。
电势必需满足帕松方程 ，同时符合相关边界条件；假设在某区域内的电荷密度 为零，则帕松方程约化为拉普拉斯方程 ，电势必需满足拉普拉斯方程。
在电动力学 里，当含时电磁场 存在的时候，电势可以延伸为“广义电势”。特别注意，广义电势不能被视为电势能每单位电荷。
处于外电场 的带电粒子 会受到外电场施加的作用力 ，称为电场力 ，促使带电粒子加速运动。对于带正电粒子，电场力与电场 同方向；对于带负电粒子，电场力与电场反方向。电场力的数值大小与电荷量、电场数值大小成正比。
作用力 与势能 之间有非常直接的关系。随着物体朝著作用力的方向的加速运动，物体的动能 变大，势能变小。例如，一个石头在山顶的重力势能 大于在山脚的重力势能。随着物体的滚落，重力势能变小，动能变大。
对于某种特别作用力，科学家可以定义其矢量场 和其位势 ，使得物体因为这矢量场而具有的势能，只与物体位置、参考位置之间的距离有关。称这种作用力为保守力 ，这种矢量场为保守场 。
例如，重力 、静电场的电场力，都是保守力。静电场的标势 称为电势 ，或称为静电势 。
电势和磁矢势 共同形成一个四维矢量 ，称为四维势 。从某一个惯性参考系 观察到的四维势，应用洛伦兹变换 ，可以计算出另外一个惯性参考系所观察到的四维势。
由点电荷 Q 所产生的电势，在距离 r 时，可表示为
V
=
1
4
π
ε
0
Q
r
{\displaystyle V={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}}}
其中，ε 0 是真空电容率 。
在无限远处，电势为零。由多个点电荷产生的电势，相等于各点电荷所产生的电势之和。此外，电势场是标量场 ，电场则是矢量场 。
电场遵守叠加原理 ：假设在三维空间里，由两组完全不相交的电荷分布所产生的电场分别为
E
1
{\displaystyle \mathbf {E} _{1}}
E
2
{\displaystyle \mathbf {E} _{2}}
E
t
=
E
1
+
E
2
{\displaystyle \mathbf {E} _{t}=\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2}}
总电势为每单位电荷 克服电场力所做的机械功之和：
ϕ
t
(
r
)
=
−
∫
∞
r
E
t
⋅
d
ℓ
=
−
∫
∞
r
(
E
1
+
E
2
)
⋅
d
ℓ
=
ϕ
1
(
r
)
+
ϕ
2
(
r
)
{\displaystyle \phi _{t}(\mathbf {r} )=-\int _{\infty }^{\mathbf {r} }\mathbf {E} _{t}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-\int _{\infty }^{\mathbf {r} }(\mathbf {E} _{1}+\mathbf {E} _{2})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\phi _{1}(\mathbf {r} )+\phi _{2}(\mathbf {r} )}
所以，电势也遵守叠加原理。当计算一组电荷分布所产生的电势时，只需要知道在电荷分布的每个源位置的单独电荷所产生在检验位置的电势，就可以应用积分运算，得到整个电荷分布所产生在检验位置的电势。
应用积分符号内取微分 方法，电势的梯度 为
∇
ϕ
(
r
)
=
−
∇
∫
∞
r
E
(
r
′
)
⋅
d
ℓ
′
=
−
E
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } \int _{\infty }^{\mathbf {r} }\mathbf {E} (\mathbf {r} ')\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}^{\,\prime }=-\mathbf {E} (\mathbf {r} )}
所以，电场与电势之间的关系为
E
(
r
)
=
−
∇
ϕ
(
r
)
{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} )=-\mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {r} )}
根据高斯定律 的方程，
∇
⋅
E
=
ρ
/
ϵ
0
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}}
其中，
ρ
{\displaystyle \rho }
电荷密度 ，
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
电常数 。
所以，电势满足帕松方程 ：
∇
2
ϕ
=
−
ρ
/
ϵ
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\phi =-\rho /\epsilon _{0}}
假设电荷密度为零，则这方程变为拉普拉斯方程 ：
∇
2
ϕ
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\phi =0}
请注意，假若
∇
×
E
≠
0
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} \neq 0}
保守性 （由于随时间变化的磁场 造成的效应；参阅麦克斯韦方程组 ），则不能使用这些方程。
由于电势乃是标量，而电场是具有三个分量的矢量，所以，很多时候，使用电势来解析问题会省去很多运算工作，带来很大的便利。
在某空间区域内，假设电荷密度 为零，则电势必须满足拉普拉斯方程 ，并且符合所有相关边界条件 。
在静电学里，有三种边界条件：
狄利克雷边界条件 ：在所有边界，电势都已良态给定。具有这种边界条件的问题称为狄利克雷问题 。纽曼边界条件 ：在所有边界，电势的法向导数都已良态给定。具有这种边界条件的问题称为纽曼问题 。混合边界条件：一部分边界的电势都已良态给定，其它边界的电势的法向导数也已良态给定。 根据拉普拉斯方程的唯一性定理
应用分离变数法 来解析拉普拉斯方程，可以将问题的偏微分方程改变为一组较容易解析的常微分方程 。对于一般问题，通常会采用直角坐标系、圆柱坐标系或球坐标系来分离拉普拉斯方程。但是，对于其它比较特别的问题，另外还有八种坐标系可以用来分离拉普拉斯方程。[ 3]
被位于
y
=
0
{\displaystyle y=0}
+ 、y- -半平面的两个导体的电势分别设定为
+
V
{\displaystyle +V}
−
V
{\displaystyle -V}
假设在xy-平面的无限平面导体 被一条位于
y
=
0
{\displaystyle y=0}
+ 、y- -半平面的导体的电势分别设定为
+
V
{\displaystyle +V}
−
V
{\displaystyle -V}
+ -半空间任意位置的电势这问题，由于边界条件的几何形状适合用直角坐标来描述，可以以直角坐标
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
∇
2
ϕ
=
∂
2
ϕ
∂
x
2
+
∂
2
ϕ
∂
y
2
+
∂
2
ϕ
∂
z
2
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0}
因为这案例与x-坐标无关，方程可以简化为
∇
2
ϕ
(
y
,
z
)
=
∂
2
ϕ
∂
y
2
+
∂
2
ϕ
∂
z
2
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\phi (y,z)={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0}
应用分离变数法，猜想解答的形式为
ϕ
(
y
,
z
)
=
Y
(
y
)
Z
(
z
)
{\displaystyle \phi (y,z)=Y(y)Z(z)}
将这公式代入拉普拉斯方程，则可得到
1
Y
(
y
)
d
2
Y
(
y
)
d
y
2
+
1
Z
(
z
)
d
2
Z
(
z
)
d
z
2
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}Y(y)}{\mathrm {d} y^{2}}}+{\frac {1}{Z(z)}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}Z(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}=0}
注意到这方程的每一个项目都只含有一个变量，并且跟其它变量无关。所以，每一个项目都等于常数：
1
Y
(
y
)
d
2
Y
(
y
)
d
y
2
=
C
{\displaystyle {\frac {1}{Y(y)}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}Y(y)}{\mathrm {d} y^{2}}}=C}
1
Z
(
z
)
d
2
Z
(
z
)
d
z
2
=
−
C
{\displaystyle {\frac {1}{Z(z)}}\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}Z(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}=-C}
这样，一个二次偏微分方程被改变为两个简单的二次常微分方程。解答分别为
Y
(
y
)
=
A
1
e
i
k
y
+
A
2
e
−
i
k
y
{\displaystyle Y(y)=A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky}}
Z
(
z
)
=
B
1
e
k
z
+
B
2
e
−
k
z
{\displaystyle Z(z)=B_{1}e^{kz}+B_{2}e^{-kz}}
其中，
A
1
(
k
)
{\displaystyle A_{1}(k)}
A
2
(
k
)
{\displaystyle A_{2}(k)}
B
1
(
k
)
{\displaystyle B_{1}(k)}
B
2
(
k
)
{\displaystyle B_{2}(k)}
当
z
{\displaystyle z}
Z
(
z
)
{\displaystyle Z(z)}
B
1
=
0
{\displaystyle B_{1}=0}
ϕ
(
y
,
z
)
=
∫
0
∞
(
A
1
e
i
k
y
+
A
2
e
−
i
k
y
)
e
−
k
z
d
k
{\displaystyle \phi (y,z)=\int _{0}^{\infty }(A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky})e^{-kz}\mathrm {d} k}
由于在
z
=
0
{\displaystyle z=0}
+ 、y- -半平面的电势分别为
+
V
{\displaystyle +V}
−
V
{\displaystyle -V}
当
y
>
0
{\displaystyle y>0}
∫
0
∞
(
A
1
e
i
k
y
+
A
2
e
−
i
k
y
)
d
k
=
+
V
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }(A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky})\mathrm {d} k=+V}
当
y
<
0
{\displaystyle y<0}
∫
0
∞
(
A
1
e
i
k
y
+
A
2
e
−
i
k
y
)
d
k
=
−
V
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }(A_{1}e^{iky}+A_{2}e^{-iky})\mathrm {d} k=-V}
应用傅里叶变换，可以得到
A
1
(
k
)
=
V
2
π
(
∫
0
∞
e
−
i
k
y
′
d
y
′
−
∫
−
∞
0
e
−
i
k
y
′
d
y
′
)
{\displaystyle A_{1}(k)={\frac {V}{2\pi }}\left(\int _{0}^{\infty }e^{-iky'}\mathrm {d} y'-\int _{-\infty }^{0}e^{-iky'}\mathrm {d} y'\right)}
A
2
(
k
)
=
V
2
π
(
∫
0
∞
e
i
k
y
′
d
y
′
−
∫
−
∞
0
e
i
k
y
′
d
y
′
)
{\displaystyle A_{2}(k)={\frac {V}{2\pi }}\left(\int _{0}^{\infty }e^{iky'}\mathrm {d} y'-\int _{-\infty }^{0}e^{iky'}\mathrm {d} y'\right)}
所以，由
A
1
(
k
)
{\displaystyle A_{1}(k)}
ϕ
1
=
V
2
π
∫
0
∞
d
k
{
∫
0
∞
e
i
k
(
y
−
y
′
)
−
k
z
d
y
′
−
∫
−
∞
0
e
i
k
(
y
−
y
′
)
−
k
z
d
y
′
}
=
−
V
2
π
∫
0
∞
d
y
′
i
(
y
−
y
′
)
−
z
+
V
2
π
∫
−
∞
0
d
y
′
i
(
y
−
y
′
)
−
z
{\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{1}&={\frac {V}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} k\left\{\int _{0}^{\infty }e^{ik(y-y')-kz}\mathrm {d} y'-\int _{-\infty }^{0}e^{ik(y-y')-kz}\mathrm {d} y'\right\}\\&=-\ {\frac {V}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} y'}{i(y-y')-z}}+\ {\frac {V}{2\pi }}\int _{-\infty }^{0}{\frac {\mathrm {d} y'}{i(y-y')-z}}\\\end{aligned}}}
。 类似地，由
A
2
(
k
)
{\displaystyle A_{2}(k)}
ϕ
2
=
V
2
π
∫
0
∞
d
k
{
∫
0
∞
e
−
i
k
(
y
−
y
′
)
−
k
z
d
y
′
−
∫
−
∞
0
e
−
i
k
(
y
−
y
′
)
−
k
z
d
y
′
}
=
−
V
2
π
∫
0
∞
d
y
′
−
i
(
y
−
y
′
)
−
z
+
V
2
π
∫
−
∞
0
d
y
′
−
i
(
y
−
y
′
)
−
z
{\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{2}&={\frac {V}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }\mathrm {d} k\left\{\int _{0}^{\infty }e^{-ik(y-y')-kz}\mathrm {d} y'-\int _{-\infty }^{0}e^{-ik(y-y')-kz}\mathrm {d} y'\right\}\\&=-\ {\frac {V}{2\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} y'}{-i(y-y')-z}}+\ {\frac {V}{2\pi }}\int _{-\infty }^{0}{\frac {\mathrm {d} y'}{-i(y-y')-z}}\\\end{aligned}}}
。 总电势为[ 4]
ϕ
=
V
z
π
∫
0
∞
d
y
′
(
y
−
y
′
)
2
+
z
2
−
V
z
π
∫
−
∞
0
d
y
′
(
y
−
y
′
)
2
+
z
2
=
2
V
π
arctan
(
y
z
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\phi &={\frac {Vz}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} y'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}-\ {\frac {Vz}{\pi }}\int _{-\infty }^{0}{\frac {\mathrm {d} y'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}\\&={\frac {2V}{\pi }}\ \arctan {\left({\frac {y}{z}}\right)}\\\end{aligned}}}
。
包括函数
1
/
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle 1/|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}
G
(
r
,
r
′
)
{\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
格林函数 ，能够满足方程
∇
2
G
(
r
,
r
′
)
=
−
4
π
δ
(
r
−
r
′
)
{\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}
另外，假设函数
H
(
r
,
r
′
)
{\displaystyle H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
∇
2
H
(
r
,
r
′
)
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=0}
则函数
G
′
(
r
,
r
′
)
=
G
(
r
,
r
′
)
+
H
(
r
,
r
′
)
{\displaystyle G'(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
应用这灵活性质，可以更严格地规定格林函数：[ 5]
对于狄利克雷问题 ，当源位置
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
S
′
{\displaystyle {\mathbb {S} '}}
G
D
(
r
,
r
′
)
=
0
{\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=0}
ϕ
(
r
′
)
{\displaystyle \phi (\mathbf {r} ')}
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
ψ
(
r
,
r
′
)
=
G
D
(
r
,
r
′
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
ϕ
(
r
)
=
1
4
π
ϵ
0
∫
V
′
ρ
(
r
′
)
G
D
(
r
,
r
′
)
d
3
r
′
−
1
4
π
∮
S
′
ϕ
(
r
′
)
∂
G
D
(
r
,
r
′
)
∂
n
′
d
2
r
′
{\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ')G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}r'-\ {\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} '}\phi (\mathbf {r} ')\ {\partial G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ') \over \partial n'}\mathrm {d} ^{2}r'}
（2） 对于满足纽曼问题 ，当源位置
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
S
′
{\displaystyle {\mathbb {S} '}}
∮
S
′
∂
G
D
(
r
,
r
′
)
∂
n
′
d
2
r
′
=
−
4
π
S
{\displaystyle \oint _{\mathbb {S} '}{\frac {\partial G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}{\partial n'}}\mathrm {d} ^{2}r'=-{\frac {4\pi }{S}}}
这两种规定都能够唯一地设定格林函数。注意到格林函数是一个几何函数，与整个系统的电荷分布无关。对于任何系统，只要计算出适合其几何形状的格林函数，则不论系统的电荷分布为何，都可以使用同样的格林函数。
位于xy-平面的是一个接地 的无限平面导体。其上方的点电荷
q
{\displaystyle q}
(
0
,
0
,
a
)
{\displaystyle (0,\,0,\,a)}
假设xy-平面是接地 的无限平面导体 ，则对于z+ 半空间、满足狄利克雷边界条件的格林函数为
G
D
(
r
,
r
′
)
=
1
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
+
(
z
−
z
′
)
2
−
1
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
+
(
z
+
z
′
)
2
{\displaystyle {\begin{matrix}G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\cfrac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}\\\qquad \qquad \qquad -\ {\cfrac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z+z')^{2}}}}\\\end{matrix}}}
； 其中，
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,y,z)}
(
x
′
,
y
′
,
z
′
)
{\displaystyle (x',y',z')}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} '}
直角坐标 。
由于接地导体的电势为零，方程（2）的面积分项目等于零，方程（2）变为
ϕ
(
r
)
=
1
4
π
ϵ
0
∫
V
′
ρ
(
r
′
)
G
D
(
r
,
r
′
)
d
3
r
′
{\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ')G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\ \mathrm {d} ^{3}r'}
假设在位置
(
0
,
0
,
a
)
{\displaystyle (0,0,a)}
q
{\displaystyle q}
+ 半空间任意位置的电势为
ϕ
(
r
)
=
1
4
π
ϵ
0
∫
V
′
ρ
(
r
′
)
(
1
x
2
+
y
2
+
(
z
−
a
)
2
−
1
x
2
+
y
2
+
(
z
+
a
)
2
)
d
3
r
′
=
1
4
π
ϵ
0
(
q
x
2
+
y
2
+
(
z
−
a
)
2
−
q
x
2
+
y
2
+
(
z
+
a
)
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}\rho (\mathbf {r} ')\left({\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}}-{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}}\right)\ \mathrm {d} ^{3}r'\\&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z-a)^{2}}}}-{\frac {q}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+(z+a)^{2}}}}\right)\\\end{aligned}}}
。 仔细检察这方程，右手边第一个项目，是在没有平面导体的状况时，点电荷
q
{\displaystyle q}
镜像法 时，镜像电荷
−
q
{\displaystyle -q}
镜像法 条目的点电荷与无限平面导体 段落。
已知函数
1
/
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle 1/|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}
G
(
r
,
r
′
)
{\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
∇
2
G
(
r
,
r
′
)
=
−
4
π
δ
(
r
−
r
′
)
{\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}
在三维无限空间里，
1
/
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle 1/|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}
傅里叶级数 为[ 6]
1
|
r
−
r
′
|
≡
1
2
π
2
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
d
3
k
e
i
k
⋅
(
r
−
r
′
)
k
2
=
1
2
π
2
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
d
k
x
d
k
y
e
i
k
x
(
x
−
x
′
)
+
i
k
y
(
y
−
y
′
)
∫
−
∞
∞
d
k
z
e
i
k
z
(
z
−
z
′
)
k
x
2
+
k
y
2
+
k
z
2
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}&\equiv {\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} ^{3}k{\frac {e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}}{k^{2}}}\\&={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}{\frac {e^{ik_{z}(z-z')}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}\\\end{aligned}}}
。 现在，必需找到格林函数
G
D
(
r
,
r
′
)
=
G
(
r
,
r
′
)
+
H
(
r
,
r
′
)
{\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
G
D
(
(
x
,
y
,
0
)
,
r
′
)
=
0
{\displaystyle G_{D}((x,y,0),\mathbf {r} ')=0}
H
(
r
,
r
′
)
{\displaystyle H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
∇
2
H
(
r
,
r
′
)
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=0}
对于z+ 半空间，
H
(
r
,
r
′
)
{\displaystyle H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
傅里叶级数 扩张为
H
(
r
,
r
′
)
=
1
2
π
2
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
d
k
x
d
k
y
e
i
k
x
(
x
−
x
′
)
+
i
k
y
(
y
−
y
′
)
∫
−
∞
∞
d
k
z
[
B
(
k
,
z
′
)
e
i
k
z
z
+
C
(
k
,
z
′
)
e
−
i
k
z
z
]
{\displaystyle {\begin{aligned}H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')&={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}\left[B(\mathbf {k} ,z')e^{ik_{z}z}+C(\mathbf {k} ,z')e^{-ik_{z}z}\right]\\\end{aligned}}}
对于x-坐标与对于y-坐标的傅里叶级数 扩张，
H
{\displaystyle H}
G
{\displaystyle G}
H
{\displaystyle H}
G
D
(
r
,
r
′
)
{\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}
G
D
(
r
,
r
′
)
=
1
2
π
2
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
d
k
x
d
k
y
e
i
k
x
(
x
−
x
′
)
+
i
k
y
(
y
−
y
′
)
∫
−
∞
∞
d
k
z
[
e
i
k
z
(
z
−
z
′
)
k
x
2
+
k
y
2
+
k
z
2
+
B
(
k
,
z
′
)
e
i
k
z
z
+
C
(
k
,
z
′
)
e
−
i
k
z
z
]
{\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}\left[{\frac {e^{ik_{z}(z-z')}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}+B(\mathbf {k} ,z')e^{ik_{z}z}+C(\mathbf {k} ,z')e^{-ik_{z}z}\right]}
其中，
B
(
k
,
z
′
)
{\displaystyle B(\mathbf {k} ,z')}
C
(
k
,
z
′
)
{\displaystyle C(\mathbf {k} ,z')}
由于
G
D
(
(
x
,
y
,
0
)
,
r
′
)
=
0
{\displaystyle G_{D}((x,y,0),\mathbf {r} ')=0}
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
z
′
{\displaystyle z'}
B
(
k
,
z
′
)
{\displaystyle B(\mathbf {k} ,z')}
C
(
k
,
z
′
)
{\displaystyle C(\mathbf {k} ,z')}
e
−
i
k
z
z
′
k
x
2
+
k
y
2
+
k
z
2
+
B
(
k
,
z
′
)
+
C
k
,
z
′
)
=
0
{\displaystyle {\frac {e^{-ik_{z}z'}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}+B(\mathbf {k} ,z')+C\mathbf {k} ,z')=0}
B
(
k
,
z
′
)
=
B
0
e
−
i
k
z
z
′
k
x
2
+
k
y
2
+
k
z
2
{\displaystyle B(\mathbf {k} ,z')={\frac {B_{0}e^{-ik_{z}z'}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}}
C
(
k
,
z
′
)
=
C
0
e
−
i
k
z
z
′
k
x
2
+
k
y
2
+
k
z
2
{\displaystyle C(\mathbf {k} ,z')={\frac {C_{0}e^{-ik_{z}z'}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}}
其中，
B
0
{\displaystyle B_{0}}
C
0
{\displaystyle C_{0}}
B
0
+
C
0
=
−
1
{\displaystyle B_{0}+C_{0}=-1}
将这些公式代入
G
D
{\displaystyle G_{D}}
G
D
(
r
,
r
′
)
=
1
2
π
2
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
d
k
x
d
k
y
e
i
k
x
(
x
−
x
′
)
+
i
k
y
(
y
−
y
′
)
∫
−
∞
∞
d
k
z
{
(
1
+
B
0
)
k
2
[
e
i
k
z
(
z
−
z
′
)
−
e
i
k
z
(
z
+
z
′
)
]
}
{\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}\left\{{\frac {(1+B_{0})}{k^{2}}}\left[e^{ik_{z}(z-z')}-e^{ik_{z}(z+z')}\right]\right\}}
为了满足方程
∇
2
G
D
(
r
,
r
′
)
=
−
4
π
δ
(
r
−
r
′
)
{\displaystyle \nabla ^{2}G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=-4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}
B
0
=
0
{\displaystyle B_{0}=0}
G
D
(
r
,
r
′
)
=
1
2
π
2
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
d
k
x
d
k
y
e
i
k
x
(
x
−
x
′
)
+
i
k
y
(
y
−
y
′
)
∫
−
∞
∞
d
k
z
{
1
k
2
[
e
i
k
z
(
z
−
z
′
)
−
e
i
k
z
(
z
+
z
′
)
]
}
=
1
|
r
−
r
′
|
−
1
|
r
−
r
″
|
=
1
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
+
(
z
−
z
′
)
2
−
1
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
+
(
z
+
z
′
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')&={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}\left\{{\frac {1}{k^{2}}}\left[e^{ik_{z}(z-z')}-e^{ik_{z}(z+z')}\right]\right\}\\&={\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ''|}}\\&={\cfrac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}-\ {\cfrac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z+z')^{2}}}}\\\end{aligned}}}
； 其中，
r
″
=
(
x
′
,
y
′
,
−
z
′
)
{\displaystyle \mathbf {r} ''=(x',y',-z')}
電勢 . 中华语文知识库. [2016-03-03 ] . （原始内容 存档于2016年3月6日） （中文（中国大陆）） .Halliday, David; Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamental of Physics 7th, USA: John Wiley and Sons, Inc.: pp. 630ff, 2005, ISBN 0-471-23231-9 Beyer, William, CRC Standard Mathematical Table 28th, CRC Press, 1987, ISBN 0-8493-0628-0 pp. 241, formula #43,
pp. 252, formula#165Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics 3rd. Prentice Hall. 1998: pp. 555–557. ISBN 0-13-805326-X 
![{\displaystyle \int _{\mathbb {V} '}\left[\phi (\mathbf {r} ')\nabla ^{2}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)+{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{\epsilon _{0}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right]\mathrm {d} ^{3}r'=\oint _{\mathbb {S} '}\left[\phi \ {\partial \over \partial n'}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)-\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right){\partial \phi \over \partial n'}\right]\mathrm {d} ^{2}r'}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d85701a95584dce0f1b57fb08b286a71b808a8b)
![{\displaystyle \phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\ \mathrm {d} ^{3}r'+{\frac {1}{4\pi }}\oint _{\mathbb {S} '}\left[\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right){\partial \phi \over \partial n'}-\phi \ {\partial \over \partial n'}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\right)\right]\mathrm {d} ^{2}r'}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/264d760bfb803dd1dd72fb799e39894c6b02c15f)
![{\displaystyle {\begin{aligned}H(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')&={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}\left[B(\mathbf {k} ,z')e^{ik_{z}z}+C(\mathbf {k} ,z')e^{-ik_{z}z}\right]\\\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ffb34ffce09728c29b62ab5b3866c46d933589)
![{\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}\left[{\frac {e^{ik_{z}(z-z')}}{k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}}}+B(\mathbf {k} ,z')e^{ik_{z}z}+C(\mathbf {k} ,z')e^{-ik_{z}z}\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/276d3e7d2d0545641910018550914f08e2668426)
![{\displaystyle G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}\left\{{\frac {(1+B_{0})}{k^{2}}}\left[e^{ik_{z}(z-z')}-e^{ik_{z}(z+z')}\right]\right\}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bca583931500f44b518700a7408200f11bfb31d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}G_{D}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')&={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{x}\ \mathrm {d} k_{y}e^{ik_{x}(x-x')+ik_{y}(y-y')}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {d} k_{z}\left\{{\frac {1}{k^{2}}}\left[e^{ik_{z}(z-z')}-e^{ik_{z}(z+z')}\right]\right\}\\&={\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}-{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} ''|}}\\&={\cfrac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}-\ {\cfrac {1}{\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z+z')^{2}}}}\\\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68ab02614b77010f741d6302b3df313fd8b9d117)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\partial G_{D} \over \partial n'}&=-\ {\partial G_{D} \over \partial z'}\\&=-\ {\cfrac {z-z'}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}]^{3/2}}}\ -\ {\cfrac {z+z'}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z+z')^{2}]^{3/2}}}\\&=-\ {\cfrac {2z}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}]^{3/2}}}\\\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75afc05c54454b72455434245d4b8bd27a893391)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} )&={\frac {2z}{4\pi }}\left\{\int _{0+}^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }{\cfrac {V\mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}]^{3/2}}}+\int _{-\infty }^{0-}\int _{-\infty }^{\infty }{\cfrac {-V\mathrm {d} x'\mathrm {d} y'}{[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}]^{3/2}}}\right\}\\&=\ {\frac {zV}{\pi }}\left\{\int _{0+}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} y'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}-\int _{-\infty }^{0-}{\frac {\mathrm {d} y'}{(y-y')^{2}+z^{2}}}\right\}\\&={\frac {2V}{\pi }}\ \arctan {\left({\frac {y}{z}}\right)}\\\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8cabe883bcda4043675000bf274c893cdd89935)
