格林恒等式

格林恒等式（Green's identities）乃是向量分析的一组共三条恒等式，以发现格林定理的英国数学家乔治·格林命名。

格林第一恒等式

设定向量场${\displaystyle \mathbf {F} =\psi \nabla \phi }$；其中，在${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$的某区域${\displaystyle \mathbb {U} }$内，${\displaystyle \phi }$是二次连续可微标量函数，${\displaystyle \psi }$是一次连续可微标量函数，则从散度定理，

${\displaystyle \int _{\mathbb {U} }\nabla \cdot \mathbf {F} \,\mathrm {d} V=\oint _{\partial \mathbb {U} }\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,\mathrm {d} S}$，

可以推导出格林第一恒等式^[1]：

${\displaystyle \int _{\mathbb {U} }(\psi \nabla ^{2}\phi +\nabla \phi \cdot \nabla \psi )\,\mathrm {d} V=\oint _{\partial \mathbb {U} }\psi {\partial \phi \over \partial n}\,\mathrm {d} S}$；

其中，${\displaystyle \partial \mathbb {U} }$是区域${\displaystyle \mathbb {U} }$的边界，${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n}}}$是取于边界面${\displaystyle \partial \mathbb {U} }$的法向导数，即${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial n}}=\nabla \phi \cdot \mathbf {n} }$。

格林第二恒等式

假若在区域${\displaystyle \mathbb {U} }$内，${\displaystyle \phi }$和${\displaystyle \psi }$都是二次连续可微，则可交换${\displaystyle \phi }$与${\displaystyle \psi }$，从${\displaystyle (\psi ,\phi )}$的格林第一恒等式得到${\displaystyle (\phi ,\psi )}$的格林第一恒等式。将这两个恒等式相减，则可得到格林第二恒等式：

${\displaystyle \int _{\mathbb {U} }\left(\psi \nabla ^{2}\phi -\phi \nabla ^{2}\psi \right)\,\mathrm {d} V=\oint _{\partial \mathbb {U} }\left(\psi {\partial \phi \over \partial n}-\phi {\partial \psi \over \partial n}\right)\,\mathrm {d} S}$。

格林第三恒等式

假设函数${\displaystyle G}$是拉普拉斯方程式的基本解（fundamental solution）：

${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$；

其中，${\displaystyle \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$是狄拉克δ函数。

例如，在R³，基本解的形式为

${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')={-1 \over 4\pi \|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\|}}$。

函数${\displaystyle G}$称为格林函数。对于变数${\displaystyle \mathbf {x} }$与${\displaystyle \mathbf {x} '}$的交换，格林函数具有对称性，即${\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')=G(\mathbf {x} ',\mathbf {x} )}$。

设定${\displaystyle \phi =G}$，在区域${\displaystyle \mathbb {U} }$内，${\displaystyle \psi }$是二次连续可微。假若${\displaystyle \mathbf {x} }$在积分区域${\displaystyle \mathbb {U} }$内，则应用狄拉克δ函数的定义，

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )-\int _{\mathbb {U} }\left[G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ')\nabla '^{\,2}\psi (\mathbf {x} ')\right]\,\mathrm {d} V'=\oint _{\partial \mathbb {U} }\left[\psi (\mathbf {x} '){\partial G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ') \over \partial n'}-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} '){\partial \psi (\mathbf {x} ') \over \partial n'}\right]\,\mathrm {d} S'}$；

其中，${\displaystyle dV'}$、${\displaystyle dS'}$分别积分${\displaystyle \mathbf {x} '}$于${\displaystyle \mathbb {U} }$

这是格林第三恒等式。假若${\displaystyle \psi }$是调和函数，即拉普拉斯方程式的解：

${\displaystyle \nabla '^{\,2}\psi (\mathbf {x} ')=0}$，

则这恒等式简化为

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} )=\oint _{\partial \mathbb {U} }\left[\psi (\mathbf {x} '){\partial G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} ') \over \partial n'}-G(\mathbf {x} ,\mathbf {x} '){\partial \psi (\mathbf {x} ') \over \partial n'}\right]\,\mathrm {d} S'}$。

参阅

• 向量恒等式列表
• 数学恒等式列表 (List of mathematical identities)
• 向量微积分恒等式 (Vector calculus identities)

参考文献

1. Strauss, Walter. Partial Differential Equations: An Introduction. Wiley.