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本文介绍拓扑学中的商空间,线性代数中的商空间参见
商空间。
在拓扑学及其相关数学领域,一个商空间(quotient space,也称为等化空间identification space)直观上说是将一个给定空间的一些点等同或“黏合在一起”;由一个等价关系确定哪些点是等同的。这是从给定空间构造新空间的常见方法。
假设X是一个拓扑空间,~是X上一个等价关系。我们能够在商集合X/~(这个集合有所有~的等价类组成)上定义一个拓扑使得:X/~中一个等价集合是开集当且仅当他们的并集在X中是开集。所得的拓扑称为在商集合X/~上的商拓扑(quotient topology)。
商拓扑可以由如下方式等价地定义:设q : X → X/~是将X的任何元素映为它的等价类的投影映射(
)。则X/~上的商拓扑定义为使q 连续的最细拓扑(finest topology)。
给定一个从拓扑空间X到集合Y的满射f : X → Y,我们可以在Y上定义商拓扑为使f连续的最细拓扑。这等价于说集合V ⊆ Y在Y中开当且仅当它的原像f−1(V)在X中开。映射f在X上诱导了一个等价关系,即x1~x2当且仅当f(x1) = f(x2)。这个商空间X/~ 同胚于Y(带着它的商拓扑),同构映射为将x的等价类映为f(x)。
一般地,如果Y具有由一个满连续映射f : X → Y确定的商拓扑,则f称为一个商映射(quotient map)。
- 黏合:通常,拓扑学家讨论将一些点黏合在一起。如果X是一个拓扑空间,点
“黏合”在一起,这意味着我们考虑由等价关系a~b当且仅当a = b或a = x, b = y(或a = y, b = x)得到的商空间。即这两个点被看作一个。
- 考虑一个单位正方形I2 = [0,1]×[0,1]以及由所有边界点等价生成的等价关系~,从而所有边界点等同到一个等价类。则I2/~同构于单位球面S2。
- 黏着空间(Adjunction space):更一般地,假设X是一个空间,A是X的一个子空间。我们可以将A中所有点等同到一个等价类,而A以外的点不变。所得的空间记作X/A。2维球面同构于将单位圆盘的边界等同为一个点D2/∂D2。
- 考虑集合X =
,取通常拓扑的实数集,记x ~ y 当且仅当x−y是一个整数。则商空间X/~同构于单位圆周S1,同构映射为将x的等价类映为 exp(2πix)。
- 上一个例子的一类大量的推广如下:假设一个拓扑群G连续作用在空间X上。我们可以构造X上一个等价关系,如果两点等价当且仅当它们在同一个轨道中。这个关系下的商空间称为轨道空间,记作X/G。上一个例子中G =
通过平移作用在
上。轨道空间
同构于S1。
- 注:记号
有歧义:如果
理解成一个群作用在
上则商空间是圆周;如果
看作
的一个子空间,则商空间是无穷的一束圆在同一个点连接起来。
商映射 q : X → Y是由如下性质刻画的满射:如果Z是任何拓扑空间,f : Y → Z是任何函数,则f连续当且仅当f O q连续。
商空间的特征性质
商空间X/~与商映q : X → X/~一起由如下泛性质刻画。如果g : X → Z是一个连续映射使得:对所有a与b属于X,a~b蕴含g(a)=g(b),则存在惟一连续映射f : X/~ → Z使得g = f O q。我们称 g“下降到商”。
因此定义在X/~商的连续映射恰是由定义在X上与等价关系一致的连续映射(它们将同一个等价类中的元素映到相同的像)诱导的。在研究商空间时,时常使用这个判据。
给定一个连续满射f : X → Y,关于f是否为商映射的判据是有用的。两个充分条件是f为开映射或闭映射。注意这两个条件只是充分条件而不是必要的。容易构造出不开或不闭的商映射例子。
- 分离
- 一般地,商空间关于分离公理的表现都很坏。X的分离性质不必被X/~继承,而X/~可能具有X所没有的分离性质。
- X/~是一个T1空间当且仅当~的任何等价类在X中闭。
- 如果商映射开则X/~是一个豪斯多夫空间当且仅当~是乘积空间X×X的一个子集。
- 连通性
- 如果一个空间是连通的或道路连通,则所有的商空间也是。
- 一个单连通或可缩空间的商空间不必具有同样的性质。
- 紧性
- 如果一个空间紧,则所有商空间也是。
- 一个局部紧空间的商空间不必是局部紧的。
- 维数
- 一个商空间的拓扑维数可能比原空间大(显然也可能比较小),皮亚诺曲线(space-filling curve)提供了这样的例子。
- Stephen Willard, General Topology, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.
- Quotient space. PlanetMath.