群作用

数学上，对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的：群的每个元素作为一个双射（或者对称作用）作用在某个集合上。在这个情况下，群称为置换群（特别是在群有限或者不是线性空间时）或者变换群（特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时）。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示（通常该集合有限），并且可以表述为置换矩阵，一般在有限的情形作此考虑－这和作用在有序的线性空间基上是一样的。

给定一个等边三角形，通过把所有顶点映射到另一个顶点，绕三角形中心逆时针 120°旋转“作用”在这个三角形的顶点的集合上。

定义

令 ${\displaystyle G}$ 为一个群， ${\displaystyle X}$ 为一个集合， ${\displaystyle G}$ 在 ${\displaystyle X}$ 上的一个(左) 群作用 ${\displaystyle \alpha }$ 是一个二元函数

${\displaystyle \alpha :G\times X\rightarrow X}$

该函数满足如下两条公理：

1. 对所有 ${\displaystyle g,h\in G}$ 以及 ${\displaystyle x\in X}$ ，${\displaystyle \alpha (gh,x)=\alpha (g,\alpha (h,x))}$。
2. 对每个 ${\displaystyle x\in X}$ ，有 ${\displaystyle \alpha (e,x)=x}$ ( ${\displaystyle e}$ 为群 ${\displaystyle G}$ 的单位元)。

一般称群 ${\displaystyle G}$ （在左边）作用于集合 ${\displaystyle X}$ 上，或称 ${\displaystyle X}$ 是一个 ${\displaystyle G}$-集合。

为简化在群作用 ${\displaystyle \alpha }$ 上使用的符号，我们可以将其柯里化：令 ${\displaystyle \alpha _{g}:X\rightarrow X}$ 为由单个元素 ${\displaystyle g}$ 给出的映射 ${\displaystyle x\mapsto \alpha (g,x)}$ ，这样可以通过考虑函数集 ${\displaystyle \{\alpha _{g}\mid g\in G\}}$ 来研究群作用。上述两条公理可以写作

1. ${\displaystyle \alpha _{e}(x)=x}$
2. ${\displaystyle \alpha _{g}(\alpha _{h}(x))=(\alpha _{g}\circ \alpha _{h})(x)=\alpha _{gh}(x)}$

其中 ${\displaystyle \alpha _{g}\circ \alpha _{h}}$ 表示两函数的复合。所以第二条公理说明函数的复合可以与群运算互相对应，它们可以组成一个交换图表。该公理甚至可以简写为 ${\displaystyle \alpha _{g}\circ \alpha _{h}=\alpha _{gh}}$ 。

${\displaystyle \alpha (g,x)}$ 一般简写为 ${\displaystyle g\cdot x}$ 或 ${\displaystyle gx}$ 。

由上述两条公理可知，对固定的元素 ${\displaystyle g\in G}$ ，从${\displaystyle X}$映射到${\displaystyle X}$${\displaystyle x\mapsto g\cdot x}$ 是一个双射（单射和满射的条件可以分别通过考虑 ${\displaystyle g^{-1}}$ 和 ${\displaystyle e}$ 给出）。因此，也可以将 ${\displaystyle G}$ 在 ${\displaystyle X}$ 上的群作用定义为从 ${\displaystyle G}$ 到对称群上${\displaystyle S_{X}}$ 的群同态。

右群作用

我们可以类似地定义一个 ${\displaystyle G}$ 在 ${\displaystyle X}$ 上的右群作用为函数${\displaystyle X\times G\rightarrow X}$，满足以下公理：

1. ${\displaystyle x\cdot (gh)=(x\cdot g)\cdot h}$
2. ${\displaystyle x\cdot e=x}$

注意左和右作用的区别仅在于像 ${\displaystyle gh}$ 这样的积在 ${\displaystyle x}$ 上作用的次序。左群作用中， ${\displaystyle h}$ 先作用，然后才到 ${\displaystyle g}$ ，而对于右作用 ${\displaystyle g}$ 先作用，然后才到 ${\displaystyle h}$ 。右作用与群上的逆操作复合可以构造出一个左作用。如果 ${\displaystyle r}$ 为一右作用，则

${\displaystyle l:G\times M\to M:(g,m)\mapsto r(m,g^{-1})}$

是一左作用，因为

${\displaystyle l(gh,m)=r(m,(gh)^{-1})=r(m,h^{-1}g^{-1})=r(r(m,h^{-1}),g^{-1})=r(l(h,m),g^{-1})=l(g,l(h,m))\,}$

而

${\displaystyle l(e,m)=r(m,e^{-1})=r(m,e)=m\,}$

所以我们可以不失一般性地考虑左群作用。

群作用的种类

群G作用在集合X上的作用称为:^[1]

传递性(Transitive)

如果X是一个非空集合，对于每对数对 x,y ${\displaystyle \in }$ X，则存在一个g${\displaystyle \in }$G，使得${\displaystyle g\cdot x=y}$，我们就称此作用为传递性。

忠实性(Faithful)

如果群G嵌入(embbeding)到X的置换群中，我们就称此作用为忠实的。换言之，就是群G到X的置换群之中为单射。

自由性(Free)

如果给定 ${\displaystyle g,h\in G}$，存在${\displaystyle x\in X}$，则有着${\displaystyle g{\cdot }x=h{\cdot }x{\;\;}{\Rightarrow }\;\;\;g=h}$，则称为此作用为自由性。

正则的(Regular)

同时具有自由性以及传递性的作用称为正则的，又称简单传递（英语：simply transitive）。

n-传递性(n-transitive)

如果集合X 至少有 n 个元素, 对所有不同的元素x₁, ..., x_n 和所有不同的y₁, ..., y_n, 存在一个 g 在群G 使得 g⋅x_k = y_k 对所有 1 ≤ k ≤ n ，我们就称其为n-传递性。

本原的(Primitive)

如果传递性作用满足只有trivial区块(block)，那我们称此作用为本原的。可以证明n-传递性皆为本原的。

轨道与稳定化子

轨道

令群 ${\displaystyle G}$ 作用在集合 ${\displaystyle X}$ 上，对 ${\displaystyle X}$ 中的元素 ${\displaystyle x}$ ， ${\displaystyle x}$ 在 ${\displaystyle G}$ 上的轨道是 ${\displaystyle X}$ 的子集，定义为

${\displaystyle \{g\cdot x\mid g\in G\}}$

记作 ${\displaystyle G\cdot x}$ 或 ${\displaystyle Gx}$ 。

集合 ${\displaystyle X}$ 的两个轨道要么相等，要么完全不相交，因此轨道是集合的一个划分。如果两个轨道 ${\displaystyle G\cdot x}$ 和 ${\displaystyle G\cdot y}$ 存在公共元素 ${\displaystyle a}$ ，那么存在两个 ${\displaystyle G}$ 中的元素 ${\displaystyle m}$ 和 ${\displaystyle n}$ ，使得 ${\displaystyle a=m\cdot x\in G\cdot x}$ ， ${\displaystyle a=n\cdot y\in G\cdot y}$ 。因而 ${\displaystyle x=m^{-1}\cdot a=m^{-1}n\cdot y\in G\cdot y}$ ，反之亦可推出 ${\displaystyle y=n^{-1}\cdot a=n^{-1}m\cdot x\in G\cdot x}$ ，所以两个集合相等。

轨道的一个例子是陪集，假若 ${\displaystyle H}$ 是 ${\displaystyle G}$ 的一个子集，且定义 ${\displaystyle G}$ 中元素的惯常运算规则为 ${\displaystyle H}$ 在${\displaystyle G}$ 上的一个作用，那么 ${\displaystyle H}$ 的陪集 ${\displaystyle aH}$ (${\displaystyle a\in G}$)就是 ${\displaystyle a}$ 的轨道。

不变子集

令 ${\displaystyle S}$ 为 ${\displaystyle X}$ 的一个子集，群 ${\displaystyle G}$ 作用在 ${\displaystyle X}$ 上，对于群 ${\displaystyle G}$ 中的所有元素 ${\displaystyle g}$ ，以及所有 ${\displaystyle S}$ 中的元素 ${\displaystyle s}$ ，有 ${\displaystyle g\cdot s\in S}$，则我们会说 ${\displaystyle S}$ 在 ${\displaystyle G}$ 的作用下是封闭的。

若${\displaystyle x}$是${\displaystyle \mathrm {X} }$的一个元素，对于群${\displaystyle \mathrm {G} }$中的所有元素${\displaystyle g}$而言，都有${\displaystyle g\cdot x=x}$，那么就称${\displaystyle x}$是${\displaystyle \mathrm {G} }$-不变的（${\displaystyle \mathrm {G} }$-invariant）。

不动点与稳定子群

令 ${\displaystyle g\in G}$ 和 ${\displaystyle x\in X}$ ，如果 ${\displaystyle g\cdot x=x}$ ，则 ${\displaystyle x}$ 是关于 ${\displaystyle g}$ 的一个不动点。

对 ${\displaystyle X}$ 的元素 ${\displaystyle x}$ ，所有令 ${\displaystyle g\cdot x=x}$ 的 ${\displaystyle G}$ 中的元素 ${\displaystyle g}$ 构成的集合称为 ${\displaystyle G}$ 关于 ${\displaystyle x}$ 的稳定子群，记作 ${\displaystyle G_{x}}$ 或 ${\displaystyle Stab_{G}(x)}$ 。

${\displaystyle G_{x}=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}}$ 。

${\displaystyle G_{x}}$是${\displaystyle \mathrm {G} }$的一个子群，因为根据定义${\displaystyle e\cdot x=x\in G_{x}}$，因此 ${\displaystyle G}$ 的单位元 ${\displaystyle e}$ 在 ${\displaystyle G_{x}}$ 中。如果 ${\displaystyle m\in G_{x}}$ ，那么${\displaystyle m}$的逆元${\displaystyle m^{-1}}$也是${\displaystyle \mathrm {Gx} }$的元素，因为${\displaystyle x=e\cdot x=m^{-1}m\cdot x=m^{-1}\cdot x}$。

轨道－稳定点定理

轨道与稳定子群紧密相关。令群 ${\displaystyle G}$ 作用在 ${\displaystyle X}$ 上，令 ${\displaystyle X}$ 中的 ${\displaystyle x}$ ，考虑映射 ${\displaystyle f:G\rightarrow X}$ ， ${\displaystyle g\mapsto g\cdot x}$ 。该映射的值域等于轨道 ${\displaystyle G\cdot x}$ 。 ${\displaystyle G}$ 中的两元素 ${\displaystyle g}$ 和 ${\displaystyle h}$ 的像 ${\displaystyle f(g)}$ 和 ${\displaystyle f(h)}$ 相同的条件是

${\displaystyle f(g)=f(h)\iff g\cdot x=h\cdot x\iff g^{-1}h\cdot x=x\iff g^{-1}h\in G\cdot x\iff h\in gG\cdot x}$ 。

换言之， ${\displaystyle f(g)=f(h)}$ 当且仅当 ${\displaystyle g}$ 和 ${\displaystyle h}$ 在稳定子群 ${\displaystyle G_{x}}$ 的同一个陪集中。所以所有在轨道 ${\displaystyle G\cdot x}$ 中的元素 ${\displaystyle y}$ 的原像都包含于某个陪集中，每个陪集的像亦为 ${\displaystyle X}$ 的一个单元素集合。因此 ${\displaystyle f}$ 事实上是 ${\displaystyle G_{x}}$ 的所有陪集与 ${\displaystyle X}$ 的元素的一一对应， ${\displaystyle f:G/G_{x}\rightarrow X}$ 是一个双射函数。

这个结论称为轨道-稳定点定理，有

${\displaystyle |G\cdot x|=[G:G_{x}]}$

伯恩赛德引理

参见：伯恩赛德引理

而一个跟轨道-稳定点定理相似的结果就是伯恩赛德引理

${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|}$

其中 ${\displaystyle X^{g}}$ 是 ${\displaystyle X}$ 关于 ${\displaystyle g}$ 的稳定子群。 ${\displaystyle G}$ 和 ${\displaystyle X}$ 都有限时该引理尤其重要，可以被诠释为“群作用的轨道数等于平均每个群元素的不动点的个数”。

西罗定理

主条目：西罗定理

范例

• 任意群G在任意集合X上的平凡的群作用定义为 g⋅x = x 对任意g属于G以及任意x属于X；换句话说，每个群元素对应 X上的恒等置换。^[2]

参考资料

1. Lovett, Stephen. Abstract Algebra: Structures and Applications. CRC. 2015. ISBN 1482248905.
2. Eie & Chang. A Course on Abstract Algebra. 2010: 145.