在群论中,群表示论(英语:Group representation theory)是一个非常重要的理论。它包含了(局部)紧致群、李群、李代数及群概形的表示等种种分支,近来无限维表示理论也渐露头角。表示理论在量子物理与数学的各领域中均有重要应用。
设
为
之子群,
。以下将定义两个函子
(限制)与
(诱导)。
- 若
为G的表示,则ρ限制于H给出H的表示,记为
。
- 若
为H的表示,我们定义
。
以右乘法作用在
上。
仍是有限维,记此表示为
。
诱导表示亦可用矩阵直接计算,或定义为某个主齐性空间的截面;后者可推广至李群与群概形的表示,此时诱导表示的性状与
的几何构造密切相关。
弗罗贝尼乌斯互反定理言明:若
分别为
的表示,则有自然的同构
。换言之:
为一对伴随函子。
若以特征标表之,上述同构化为一个较弱但较具体的等式:
。
- 任意一个群
都自然地作用在其群代数
上,称为正则表现。
- 对称群
以
作用在
上。
以
作用于m次调和多项式上。
- J.L. Alperin, Rowen B. Bell, Groups and Representations (1995), Graduate Texts in Mathematics 162 ,Springer. ISBN 0387945261
- J.C. Jantzen, Representations of Algebraic Groups (2003), American Mathematical Society. ISBN 0821835270
- V.S. Varadarajan, An Introduction to Harmonic Analysis on Semisimple Groups (1989), Cambridge University Press. ISBN 0-521-34156-6