十八面体

在几何学中，十八面体（英语：octadecahedron）是指具有十八个面的多面体。在十八面体当中没有任何一个形状是正多面体，换言之即正十八面体并不存在，但仍有存在一些等面或等角的十八面体，亦有一些十八面体皆由正多边形组成，例如：正八角反棱柱、正十六角柱和正四角帐塔柱等。

十八面体

部分的十八面体
八角帐塔	加长型球状屋顶
十八面体硼烷结构	正八角反棱柱

一般而言，十八面体一词并不代表任何特定的立体。然而，在化学中，十八面体一词通常会指边收缩二十面体，其为一种由18个面构成并具备C_2v对称性的立体，其构成方式是将正二十面体的其中一条边收缩掉。这个立体是十八面体硼烷离子（[B₁₁H₁₁]²⁻）的分子结构。

凸十八面体

所有十八面体中一共有107,854,282,197,058个拓扑不同构的凸十八面体，不包括镜像，并且至少需要包含11个顶点^[1]（如果两个多面体具有本质上不同的面排列、边与顶点的相接方式，则它们是“拓扑不同构”，因为如果两个立体间有不同的面排列、边与顶点的相接方式，则就无法仅透过改变边的长度或边或面之间的角度来将一个多面体形变成另一个。）

常见的十八面体

常见的十八面体中有一些柱体与锥体以及部分的詹森多面体和卡塔兰立体。

十七角锥

十七角锥

十七角锥是一种底面为十七边形的锥体，其具有18个面、34条边和18个顶点，其对偶多面体是自己本身^[2]。正十七角锥是一种底面为正十七边形的十七角锥。底边长为${\displaystyle s}$、高为${\displaystyle h}$的正十七角锥体积${\displaystyle V}$和表面积${\displaystyle S}$为^[2]：

${\displaystyle V={\frac {17hs^{2}\cot {\frac {\pi }{17}}}{12}}\approx 7.5785hs^{2}}$

${\displaystyle S={\frac {17s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{17}}}}+s\cot {\frac {\pi }{17}}\right)}{4}}\approx 4.25s\left({\sqrt {4h^{2}+28.6174s^{2}}}+5.34953s\right)}$

十六角柱

正十六角柱

十六角柱是一种底面为十六边形的柱体，由18个面、48条边和32个顶点组成。正十六角柱代表每个面都是正多边形的十六角柱，其每个顶点都是2个正方形和1个十六边形的公共顶点，顶点图以${\displaystyle 4{.}4{.}16}$表示。正十六角柱在施莱夫利符号中可以用{16}×{}或t{2,16}来表示，在考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以用来表示，在威佐夫符号（英语：Wythoff symbol）中可以利用2 16 | 2来表示，在康威多面体表示法中可以利用P16来表示。底边长为${\displaystyle s}$、高为${\displaystyle h}$的正十六角柱体积${\displaystyle V}$和表面积${\displaystyle S}$为^[3]：

${\displaystyle V=4hs^{2}\cot {\frac {\pi }{16}}\approx 20.1094hs^{2}}$

${\displaystyle S=8s\left(2h+s\cot {\frac {\pi }{16}}\right)\approx 8s\left(2h+5.02734s\right)}$

八角反角柱

正八角反角柱

八角反角柱是一种底面为八边形的反角柱，由18个面、32条边和16个顶点组成。正八角反角柱代表每个面都是正多边形的八角反角柱，其每个顶点都是3个三角形和1个八边形的公共顶点，顶点图以${\displaystyle 3{.}3{.}3{.}8}$表示，在施莱夫利符号中可以用${\displaystyle s\left\{{\begin{matrix}2\\8\end{matrix}}\right\}}$来表示^[4]。边长为单位长的正八角反角柱体积${\displaystyle V}$和表面积${\displaystyle S}$为^[4]：

${\displaystyle V={\frac {2{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}+{\sqrt {146+103{\sqrt {2}}}}\right)}}}{3}}\approx 4.26796}$

${\displaystyle S=4\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}\right)\approx 16.5851}$

双九角锥

双九角锥

双九角锥是一种以九边形为基底的双锥体，是十八面体的一种，其可以视为两个九角锥底面对底面叠合成的立体，由18个面、27条边和11个顶点组成^[5]，对偶多面体为九角柱^[5]。

双九角锥在施莱夫利符号中可以用{ }+{9}来表示，在考克斯特符号中可以用来表示，在康威多面体表示法中可以用dP9来表示。

九方偏方面体

九方偏方面体是一种以九边形为底的偏方面体，由18个全等的筝形组成，为九角反角柱的对偶多面体^[6]，同时也是筝形多面体，是偏方面体系列的第七个成员。所有九方偏方面体都有18个面、36条边和20个顶点^[6]，其中，顶点有两种，分别为9个筝形的公共顶点和3个筝形的公共顶点。

九方偏方面体是一个等面图形，即面可递多面体，其所有面都相等。更具体来说，其不仅所有面都全等，且面与面必须能在其对称性上传递，也就是说，面必须位于同一个对称性轨道内。这种凸多面体是能做成公正的骰子的形状。^[7]

九方偏方面体在施莱夫利符号中可以用{ }⨁{9}来表示，在考克斯特符号中可以用或来表示，在康威多面体表示法中可以用dA9来表示。

在化学中

在苄基三乙基铵盐的晶体结构中发现的十八面体硼烷离子（[B₁₁H₁₁]²⁻）的球棍模型^[8]

在化学中，将十八面体硼烷离子（[B₁₁H₁₁]²⁻）的氢全部去掉后，可以得到一个几何结构，在几何学中，该结构是一个十八面体，并且由18个面、27个边和11个顶点组成，因此它的对偶多面体是一个十一面体，且欧拉示性数为2。该结构又称为边收缩二十面体，是十八面体中的一个特例，其面分布得很均匀，但是比较不像球体，然而具有这种结构在严格的凸多面体中，其边不能等长，因为有的顶点周为有6个面，如果是等边三角形，在这些顶点的将会共面，导致其无法成为严格凸的多面体^[9][10]，而使其不能被视为正三角面多面体。^[9][11]

十八面体硼烷 [B11H11]2−

展开图

十八面体列表

名称	种类	图像	符号	顶点	边	面	χ	面的种类	对称性	展开图
十六角柱	棱柱体		t{2,16} {16}x{}	32	48	18	2	2个十六边形 16个矩形	D16h, [16,2], (*16 2 2)
十七角锥	棱锥体		( )∨{17}	18	34	18	2	1个十七边形 17个三角形	C17v, [17], (*17 17)
双九角锥	双锥体		{ }+{9}	11	27	18	2	18个三角形	D9h, [9,2], (*229), order 36
八角反角柱（英语：Octagonal_antiprism）	反柱体		s{2,16} sr{2,8}	16	32	18	2	16个三角形 2个八边形	D8d, [2+,16], (2*8), order 32
双六角锥柱（英语：Elongated hexagonal bipyramid）	双角锥柱			14	30	18	2	12个三角形 6个正方形	D6h, [6,2], (*226)
八角帐塔	帐塔		{8}||t{8}	24	40	18	2	16个三角形 16个正方形 1个八边形 1个十六边形	C8v, [1,8], (*8 8), order 16
四角帐塔柱	帐塔柱 詹森多面体			20	36	18	2	4个三角形 13个正方形 1个八边形	C4v
同相双四角帐塔	双帐塔（英语：Bicupola_(geometry)） 詹森多面体			16	32	18	2	8个三角形 10个正方形	D4h
异相双四角帐塔	双帐塔 詹森多面体			16	32	18	2	8个三角形 10个正方形	D4d
加长型球状屋顶	詹森多面体			12	28	18	2	16个三角形 2个正方形	C2v
侧锥双新月双罩帐	凹多面体			15	31	18	2	2×4+5个正三角形 2个正方形 3个五边形
边收缩二十面体	凸多面体			11	27	18	2	18个三角形	C2v, [2], (*22), order 4
小斜方立方体	星形均匀多面体			24	48	18	-6	12个正方形 6个正八边形	Oh, [4,3], *432
小十二面半十二面体	星形均匀多面体			30	60	18	-12	12个正五边形 6个正十边形	Ih, [5,3], *532
大斜方立方体	星形均匀多面体			24	48	18	-6	12个正方形 6个正八角星	Oh, [4,3], *432
大十二面半十二面体	星形均匀多面体			30	60	18	-12	12个正五角星 6个正十角星	Ih, [5,3], *532

参考资料

1. Counting polyhedra. numericana.com. [2022-08-27]. （原始内容存档于2016-05-06）.
2. Wolfram, Stephen. "Heptadecagonal pyramid". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
3. Wolfram, Stephen. "Hexadecagonal prism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
4. Wolfram, Stephen. "Octagonal antiprism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
5. David I. McCooey. Simplest Canonical Polyhedron with D9h Symmetry: Enneagonal Dipyramid. [2022-09-14]. （原始内容存档于2022-09-14）.
6. Wolfram, Stephen. "9-trapezohedron". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research （英语）.
7. McLean, K. Robin, Dungeons, dragons, and dice, The Mathematical Gazette, 1990, 74 (469): 243–256, JSTOR 3619822, doi:10.2307/3619822.
8. O. Volkov, W. Dirk, U. Englert, P. Paetzold. Undecaborates M₂[B₁₁H₁₁]: Facile Synthesis, Crystal Structure, and Reactions. Z. Anorg. Allg. Chem. 1999, 625 (7): 1193–1200. doi:10.1002/(SICI)1521-3749(199907)625:7<1193::AID-ZAAC1193>3.0.CO;2-L.
9. Roger Kaufman. The Convex Deltahedra And the Allowance of Coplanar Faces. www.interocitors.com. 2013 [2022-07-28]. （原始内容存档于2022-07-28）.
10. Holleman, Arnold Frederik; Wiberg, Egon, Wiberg, Nils , 编, Inorganic Chemistry, 由Eagleson, Mary; Brewer, William翻译, San Diego/Berlin: Academic Press/De Gruyter: 1165, 2001, ISBN 0-12-352651-5
11. John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. 2008. ISBN 978-1-56881-220-5.(Chapter 26) The Grand Antiprism