十面体

在几何学中，十面体是指由10个面组成的多面体。在拓朴学中，有32300种不同的十面体^[1]，许多对称性高的十面体通常会有五个对称轴^[2]。在几何学上，没有任何十面体是正十面体，也就是说找不到面由正多边形组成且每个面全等、每个角相等的正十面体，但在抽象理论中，存在一种正十面体，半二十面体^[3][4]，其由十个全等的正三角形组成，但其属于抽象多面体^[5]。虽然几何学上没有正十面体，但仍有半正多面体，即虽面未必全部全等，但其面全部都是正多边形且每个角等角的多面体例如正四角反棱柱和八角柱等。

十面体

部分的十面体
正四角帐塔	五方偏方面体
八角柱	双五角锥

常见的十面体

所有面都由正多边形组成且每个角都相等的十面体是半正多面体，所有十面体中仅有八角柱和正四角反棱柱符合，其中八角柱由正方形和正八边形组成、正四角反棱柱由正方形和正三角形组成，但一般不会称正八角柱为半正十面体。

面为正多边形的十面体有：正八角柱、正四角帐塔、双五角锥、侧锥五角柱、侧锥正二十面体欠三侧锥（英语：Augmented tridiminished icosahedron）、正四角反棱柱等^[6]，其中双五角锥是三角面多面体，另外，不规则的十面体有无限多个，其中，朴拓结构有明显差异的十面体共有32300种^[1][7]，其中，拓朴结构有明显差异代表着两种不同的多面体不能透过扭曲面或边来改变成的多面体，例如八角柱和九角锥，但八角柱和八角锥台则没有明显不同的拓朴结构。

詹森多面体

有部分的詹森多面体具有10个面^[8]。

名称	种类	图像	编号	顶点	边	面	面的种类	对称性	展开图
正四角帐塔	帐塔		J4	12	20	10	4个正三角形 5个正方形 1个正八边形	C4v, [4], (*44)
双正五角锥	双锥体		J13	7	15	10	10个正三角形	D5h, [5,2], (*225), order 20
侧锥五角柱	锥体与柱体组合		J52	11	19	10	4个正三角形 4个正方形 2个正五边形	C2v
侧锥正二十面体欠三侧锥	切割的正二十面体 与锥体的组合		J64	10	18	10	7个正三角形 3个正五边形	C3v

八角柱

正八角柱

主条目：八角柱

八角柱是一种底面为八边形的柱体，是十面体的一种，由10个面24条边和16个顶点组成^[9]，对偶多面体为双八角锥^[10]。正八角柱代表每个面都是正多边形的八角柱，其每个顶点都是2个正方形和1个八边形的公共顶点，因此具有每个角等角的性质，可以归类为半正十面体。而顶点都是2个正方形和1个八边形的公共顶点的这种顶角，在顶点图中以${\displaystyle 4{.}4{.}8}$表示。正八角柱在施莱夫利符号中可以利用{8}×{} 或 t{2, 8}来表示；在考克斯特—迪肯符号（英语：Coxeter-Dynkin diagram）中可以利用来表示；在威佐夫符号（英语：Wythoff symbol）中可以利用2 8 | 2来表示；在康威多面体表示法中可以利用P8来表示。若一个正八角柱底边的边长为${\displaystyle s}$、高为${\displaystyle h}$，则其体积${\displaystyle V}$和表面积${\displaystyle S}$为^[11]：

${\displaystyle V=2hs^{2}\cos {\frac {\pi }{8}}\approx 4.82843hs^{2}}$

${\displaystyle A=4s\left(2h+s\cot {\frac {\pi }{8}}\right)\approx 4s\left(2h+2.41421s\right)}$

九角锥

九角锥

九角锥是一种底面为九边形的锥体，是十面体的一种，其由10个面、18条边和10个顶点组成^[12]，对偶多面体是自己本身^[13]。正九角锥是一种底面为正九边形的九角锥。若一个正九角锥底边的边长为${\displaystyle s}$、高为${\displaystyle h}$，则其体积${\displaystyle V}$和表面积${\displaystyle S}$为^[13]：

${\displaystyle V={\frac {3hs^{2}\cot {\frac {\pi }{9}}}{4}}\approx 2.06061hs^{2}}$

${\displaystyle S={\frac {9s\left({\sqrt {4h^{2}+s^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{9}}}}+s\cot {\frac {\pi }{9}}\right)}{4}}\approx 2.25s\left({\sqrt {4h^{2}+7.54863s^{2}}}+2.74748s\right)}$

十面体列表

名称	种类	图像	符号	顶点	边	面	χ	面的种类	对称性	展开图
八角柱	棱柱体		t{2,8} {8}x{}	16	24	10	2	2个八边形 8个矩形	D8h, [8,2], (*822), order 32
九角锥	棱锥体		( )∨{9}	10	18	10	2	1个九边形 9个三角形	C9v, [9], (*99)
双五角锥	双锥体		{ }+{5}	7	15	10	2	10个三角形	D5h, [5,2], (*225), order 20
四角反柱	反棱柱		s{2,4}	8	16	10	2	2个四边形 8个三角形	D4d, [2+,8], (2*4), order 16

参见

• 十胞体：在四维或更高维度的空间中具有十个维面的图形
• 十边形：在二维空间中具有十个维面的图形