分數有各種不同的用法與意義:
- 兩個整數的比例:
,這是兩個數量的比較關係。
- 有理數:可以表達為兩個整數的分數的數稱為有理數。就數系來說,整數分數與有理數是同義詞。
- 整數除法:
,結果會是一個整數、有盡小数或循環小數。
- 等分:
表示將全部分成三等份,然後只取其中的一份。這稱為單位分數 (unit fraction),參見古埃及分數。
也就是
這個整數的倒數。
這些概念在數學裏都是相通的,只是在不同的使用場合中有其實際意義。
- 最簡分數(最簡分數)(Irreducible Fraction)
- 分子是整數,分母是正整數,且分子和分母互質的分數。例如:
![{\displaystyle {\frac {4}{~{}15~{}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5167b85d479e507b51b21457aaaf216d3ea8abdb)
- 真分數(Proper Fraction)
- 除商小於1、大於0的分數,即分子小於分母的分數。當分子一樣大的時候,分母越大則值就越小,當分母一樣的時候,分子越大,數值就越大。例如:
![{\displaystyle {\frac {3}{~{}7~{}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67acd47aeae4a966cae0a4ad253eb7754f4cbec0)
- 假分數(Top-heavy/Improper Fraction)
- 假分數是指除商不小於1的分數,即分子等於或大於分母的分數,可寫成帶分數。例如:
和![{\displaystyle {\frac {8}{~{}8~{}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b78f99913720f81fa15a57a2c9f438779046967)
- 帶分數(mixed numeral、Mixed Fractions、Mixed Numbers[1])
- 一個整數(whole number)加一個真分數,例如
,讀作「a又c分之b」;又例如
,就是一又二分之一。可寫成假分數,與
等價。
- 十進位分數(decimal fraction)
- 分母為
的次方的分數稱為十進位分數,通常使用小數的形式來表達,例如,
一般記為
,也可以百分率簡記為
,或是以
的冪記為
。
- 單位分數
- 分子為1,分母是整數的分數。也可視為該整數的倒數。例如:
![{\displaystyle {\frac {1}{~{}99~{}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64192a0f00fbcb78078e8d5e619ee3b6c9cd0cf5)
- 古埃及分數(Egyptian fraction)
- 將分數表達成單位分數之和。例如:
![{\displaystyle {\frac {19}{~{}20~{}}}={\frac {1}{~{}2~{}}}+{\frac {1}{~{}3~{}}}+{\frac {1}{~{}9~{}}}+{\frac {1}{~{}180~{}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65da845b914cbbf1483789fb7a15aeec5f02be5b)
- 繁分數
- 分子和/或分母包含了分數的分數,例如
。可以用「外乘外、內乘內」的方法簡化,即前面的式子等於
。
- 連分數
- 外觀如
的分數,其中
是整數。若只有有限個
非零,則連分數是一個分數。
分數如自然數般,跟從互聯律、結合律、分配律和反除以零的規則。
一個分數約分後或擴分後,其分數與原來之分數的值相等,稱為等值分數。
「約分」是將一個分數的分子和分母同除以一個比1大的整數(它們的公因數)。
約分後的分數和原來分數的值相等。
前面的數字的分子和分母皆除以三
- 擴分
「擴分」是將一個分數的分子和分母同乘以比1大的數。擴分後的分數和原來分數的值相等。
前面的數字的分子和分母皆乘以二
- 通分
「通分」是利用約分或擴分,將兩個分母不同的分數,分別化為同分母的分數。
筆算分數的加減法時,必須將分母用予倍的方法化成同一數字才能進行同級分數之和或差,這個過程稱為「擴分」、「通分」、「通分母擴分子」等等,為了方便地求得所須分母,計算時一般以加數和被加數的最小公倍數作為新的分母。然後將事先倍大了的分子加上,合成和後再作約簡。例如:
![{\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1+1}{4}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d5d741475f4e60ddfa56d42844605ba62c48b1c)
![{\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {1}{3}}={\frac {3}{15}}+{\frac {5}{15}}={\frac {3+5}{15}}={\frac {8}{15}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e58c9375c48e00b3ef525b3eeb81a831355e4260)
分數乘法最晚在中國秦代即有,里耶秦簡博物館館長彭成剛表示:里耶秦簡秦朝「九九表」每枚木牘上豎寫的數字連起來就是一個乘法運算,更為驚奇的是,中國當時還出現了分數乘法,例如二乘以二分之一等於一。分數的乘除無視分子母的特性,將分子和分母各自處理便可,但是由於整數除法亦容易引起小數,加上不適合出現於分數形式,而且除法也是乘法的逆函數,故此計算時一般將被除數化成其倒數,把除法改為乘法較為方便。例如:
![{\displaystyle \quad {\frac {1}{5}}\div {\frac {7}{11}}=({\frac {1}{5}}\times 11)\div ({\frac {7}{11}}\times 11)=({\frac {1}{5}}\times 11)\div 7=({\frac {1}{5}}\times 11\times {\frac {1}{7}})\div (7\times {\frac {1}{7}})}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f97b548ddd3e8401bf76157aabf208d54e7f1342)
![{\displaystyle ={\frac {1}{5}}\times {\frac {11}{7}}={\frac {1\times 11}{5\times 7}}={\frac {11}{35}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad09b2688fc2eb14539b4c731e77c3f0fcab5cf0)