鳶形二十四面體

在幾何學中，鳶形二十四面體（亦稱為四角化二十四面體^[2]或梯形二十四面體^[3][4]）是一種卡塔蘭立體，由24個鳶形組成，其對偶多面體為小斜方截半立方體^[4]。

鳶形二十四面體

（按這裏觀看旋轉模型）
類別	卡塔蘭立體
對偶多面體	小斜方截半立方體
識別
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	sladid
數學表示法
考克斯特符號 （英語：Coxeter-Dynkin diagram）
康威表示法	oC deC
性質
面	24
邊	48
頂點	26
歐拉特徵數	F=24, E=48, V=26 （χ=2）
二面角	138°07′05″ arccos(−7 + 4√2/17)
組成與佈局
面的種類	鳶形
面的佈局 （英語：Face configuration）	V3.4.4.4
頂點圖	V3.4.4.4
對稱性
對稱群	Oh, BC3, [4,3], *432
旋轉對稱群 （英語：Rotation_groups）	O, [4,3]+, (432)
特性
凸、 面可遞
圖像
V3.4.4.4 （頂點圖） 小斜方截半立方體 （對偶多面體） （展開圖）
閱 論 編

性質

鳶形二十四面體由24個面、48條邊、26個頂點組成^[5]，其中24個面為24個全等的鳶形、48條邊中有24條等長的長邊和24條等長的短邊、26個頂點中有8個頂點是3個鳶形的公共頂點，對應的頂角是三面角；以及6個頂點是4個鳶形的公共頂點，對應的頂角是四面角；剩下的12個頂點也是4個鳶形的公共頂點，對應的頂角也是四面角，但角度與前者不同^[6]。它的對偶多面體是小斜方截半立方體。

面的組成

鳶形二十四面體由24個全等的箏形（亦稱為鳶形）所組成^[7]：

該箏形或鳶形的長短邊長比為1:(2 − 1/√2) ≈ 1:7000129289300000000♠1.292893...^[8]，有3個角等角，其角度分別為(115.26°,81.58°,81.58°,81.58°)^[8]

體積與表面積

一個最短邊邊長為a的鳶形二十四面體，其表面積A、體積是V為^[9]：

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=6{\sqrt {29-2{\sqrt {2}}}}\,a^{2}\\V&={\sqrt {122+71{\sqrt {2}}}}\,a^{3}\end{aligned}}}$

頂點坐標

若其對偶多面體小斜方截半立方體的邊長為單位長，則對應的幾何中心位於原點的鳶形二十四面體，頂點坐標為^[10]：

${\displaystyle \left(0\,,\quad 0\,,\quad \pm {\sqrt {2}}\right)}$

${\displaystyle \left(\pm {\sqrt {2}}\,,\quad 0\,,\quad 0\right)}$

${\displaystyle \left(0\,,\quad \pm {\sqrt {2}}\,,\quad 0\right)}$

${\displaystyle \left(\pm 1\,,\quad 0\,,\quad \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left(\pm 1\,,\quad \pm 1\,,\quad 0\right)}$

${\displaystyle \left(0\,,\quad \pm 1\,,\quad \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left(\pm {\frac {4+{\sqrt {2}}}{7}}\,,\quad \pm {\frac {4+{\sqrt {2}}}{7}}\,,\quad \pm {\frac {4+{\sqrt {2}}}{7}}\right)}$

正交投影

鳶形二十四面體有三種從頂點投影的高對稱性正交投影。後兩者的對偶圖其對稱性對應於B₂和A₂的考克斯特平面（英語：Coxeter plane）^[11][12]。

正交投影

投影對稱性	[2]	[4]	[6]
圖像
對偶圖像

使用

在文化中，鳶形二十四面體出現在部分藝術創作中，例如莫里茲·柯尼利斯·艾雪的藝術創作《星星》以及馬蘭·布洛克（荷蘭語：Maree_Blok）的裝置藝術《永恆的水》。此外，亦有部份24個面的多面體骰子被設計為鳶形二十四面體的外型，其他常見的24面骰子有三角化八面體、四角化六面體、偽鳶形二十四面體（英語：Pseudo-deltoidal icositetrahedron）、偏方二十四面體和五角二十四面體等形狀^[13]。

在化學中，部分物質的結晶形狀是鳶形二十四面體。例如，在自然界中，方沸石和石榴石的晶體結構就是鳶形二十四面體，部分實驗中制備的氧化銦奈米晶體亦是這種形狀^[14]。在礦物學中，這種晶體形狀稱為偏方面體（英語：Trapezohedron）^[15][16][17]，但在幾何學中偏方面體則有其他含意^[18]，表示反柱體的對偶多面體^[19][20]。 此外在某些情況下會結晶出較不規則的鳶形二十四面體，其在結晶學中稱為偏方二十四面體（英語：diplohedron）^[21][16][22]。

• 
  鳶形二十四面體外型的骰子。
• 
  馬蘭·布洛克（荷蘭語：Maree_Blok）《永恆的水》
• 
  白榴石的晶體
• 
  鈣鐵榴石的晶體
• 
  方沸石的晶體
• 
  巴西錳鋁石榴石（英語：Spessartine）的晶體

相關多面體與鑲嵌

投影到球面的鳶形二十四面體

若將鳶形二十四面體投影到球面上，如右圖所示，則其邊會與複合八面體立方體（立方體和其對偶——正八面體在空間中互相重疊組合成的結構）投影到球面上的果共用相同的稜^[23]。

鳶形二十四面體

複合八面體立方體與左圖同一個角度

鳶形二十四面體是小斜方截半立方體的對偶多面體，而小斜方截半立方體可以經由立方體或正八面體透過擴展變換來構造^[24]。其他可以由立方體或正八面體透過康威變換構造的立體及其對偶有：

半正正八面體家族多面體

對稱性: [4,3], (*432)							[4,3]+, (432)	[1+,4,3], (*332)	[4,3+], (3*2)
{4,3}	t0,1{4,3}	t1{4,3}	t1,2{4,3}	{3,4}	t0,2{4,3}	t0,1,2{4,3}	s{4,3}	h{4,3}	h1,2{4,3}
半正多面體的對偶
V4.4.4	V3.8.8	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3	V3.4.4.4	V4.6.8	V3.3.3.3.4	V3.3.3	V3.3.3.3.3

*變異的n42對稱性對偶擴展鑲嵌系列：V3.4.n.4

對稱性 *n32（英語：Orbifold notation） [n,3]（英語：Coxeter notation）	球面鑲嵌（英語：List_of_spherical_symmetry_groups）				歐氏鑲嵌（英語：List_of_planar_symmetry_groups）	緊湊雙曲		仿緊雙曲
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]
圖像 面佈局（英語：Face configuration）	V3.4.2.4	V3.4.3.4	V3.4.4.4	V3.4.5.4	V3.4.6.4	V3.4.7.4（英語：Rhombitriheptagonal tiling）	V3.4.8.4	V3.4.∞.4
對偶 頂點佈局（英語：Vertex configuration）	3.4.2.4	3.4.3.4	3.4.4.4	3.4.5.4	3.4.6.4	3.4.7.4（英語：Rhombitriheptagonal tiling）	3.4.8.4	3.4.∞.4

偏方二十四面體

晶體學中的偏方二十四面體。

偏方二十四面體為鳶形二十四面體的一種變體，其拓樸結構與鳶形二十四面體等價。鳶形二十四面體與偏方二十四面體的拓樸結構皆與立方體每個面的正方形用兩條垂直線分成四個小正方形的結果等價。其可以投影到正八面體上並將每個三角形面分成3個鳶形。 在晶體學中，透過旋轉其三面角所形成的變體稱為dyakis dodecahedron^[25][26]或diploid^[27]，然而這些變體在中文文獻中皆被稱為偏方二十四面體^[22]。

八面體群（英語：Octahedral symmetry）, Oh, 24階		五角十二面體群（英語：Pyritohedral symmetry）, Th, 12階

鳶形二十四面體圖

在圖論的數學領域中，與鳶形二十四面體相關的圖為鳶形二十四面體圖（Disdyakis Dodecahedral Graph），是鳶形二十四面體之邊與頂點的圖（英語：1-skeleton）^[28]，是一個阿基米德對偶圖^[29]。

性質

鳶形二十四面體圖有48條邊和26個頂點，其中度為3的頂點有8個、度為4的頂點有18個。^[28]

其特徵多項式為^[28]：

${\displaystyle x^{8}{\left(x^{2}-14\right)}{\left(x^{2}-8\right)}^{3}{\left(x^{2}-2\right)}^{5}}$

參見

• 鳶形六十面體
• 四角化六面體——另外一個卡塔蘭二十四面體
• 偽鳶形二十四面體（英語：Pseudo-deltoidal icositetrahedron）

參考文獻

1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. (Section 3-9)
2. Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 0730208, doi:10.1017/CBO9780511569371 (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 23, Deltoidal icositetrahedron)

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2. Conway, Symmetries of things^[1], p.284-286
3. Holden, A. Shapes, Space, and Symmetry (Dover Books on Mathematics). Dover Publications. 1971: p. 55. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
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8. Deltoidal icositetrahedron. fillygons.ch. [2019-09-02]. （原始內容存檔於2019-09-02）.
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13. Kybos, Alea. Properties of Dice (PDF). [7 October 2012]. （原始內容 (PDF)存檔於2012-05-28）.
14. Luo, Shaojuan and Yang, Dongning and Zhuang, Jianle and Ng, Ka Ming. Synthesis and characterization of nearly monodisperse deltoidal icositetrahedral In 2 O 3 nanocrystals via one-pot pyrolysis reaction. CrystEngComm (Royal Society of Chemistry). 2013, 15 (40): 8065––8068.
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外部連結

• 埃里克·韋斯坦因, 鳶形二十四面體 （參閱卡塔蘭立體） 於MathWorld（英文）
• Deltoidal (Trapezoidal) Icositetrahedron – Interactive Polyhedron model