在幾何學 中，鳶形二十四面體 （亦稱為四角化二十四面體 [ 2] 梯形二十四面體 [ 3] [ 4] 卡塔蘭立體 ，由24個鳶形 組成，其對偶多面體 為小斜方截半立方體 [ 4]
Quick Facts 類別, 對偶多面體 ...
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鳶形二十四面體 由24個面 、48條邊 、26個頂點 組成[ 5] [ 6] 對偶多面體 是小斜方截半立方體 。
鳶形二十四面體由24個全等 的箏形 （亦稱為鳶形 ）所組成[ 7]
該箏形或鳶形的長短邊長比為1:(2 − 1 / √2 7000129289300000000♠ 1.292893 [ 8] [ 8]
一個最短邊邊長為a的鳶形二十四面體 ，其表面積 A、體積 是V為[ 9]
A
=
6
29
−
2
2
a
2
V
=
122
+
71
2
a
3
{\displaystyle {\begin{aligned}A&=6{\sqrt {29-2{\sqrt {2}}}}\,a^{2}\\V&={\sqrt {122+71{\sqrt {2}}}}\,a^{3}\end{aligned}}}
若其對偶多面體小斜方截半立方體 的邊長為單位長，則對應的幾何中心 位於原點 的鳶形二十四面體，頂點坐標為[ 10]
(
0
,
0
,
±
2
)
{\displaystyle \left(0\,,\quad 0\,,\quad \pm {\sqrt {2}}\right)}
(
±
2
,
0
,
0
)
{\displaystyle \left(\pm {\sqrt {2}}\,,\quad 0\,,\quad 0\right)}
(
0
,
±
2
,
0
)
{\displaystyle \left(0\,,\quad \pm {\sqrt {2}}\,,\quad 0\right)}
(
±
1
,
0
,
±
1
)
{\displaystyle \left(\pm 1\,,\quad 0\,,\quad \pm 1\right)}
(
±
1
,
±
1
,
0
)
{\displaystyle \left(\pm 1\,,\quad \pm 1\,,\quad 0\right)}
(
0
,
±
1
,
±
1
)
{\displaystyle \left(0\,,\quad \pm 1\,,\quad \pm 1\right)}
(
±
4
+
2
7
,
±
4
+
2
7
,
±
4
+
2
7
)
{\displaystyle \left(\pm {\frac {4+{\sqrt {2}}}{7}}\,,\quad \pm {\frac {4+{\sqrt {2}}}{7}}\,,\quad \pm {\frac {4+{\sqrt {2}}}{7}}\right)}
鳶形二十四面體有三種從頂點投影的高對稱性正交投影。後兩者的對偶圖其對稱性對應於B2 和A2 的考克斯特平面 [ 11] [ 12]
在文化中，鳶形二十四面體出現在部分藝術創作中，例如莫里茲·柯尼利斯·艾雪 的藝術創作《星星》以及馬蘭·布洛克 三角化八面體 、四角化六面體 、偽鳶形二十四面體 偏方二十四面體 和五角二十四面體 等形狀[ 13]
化學 中，部分物質的結晶形狀是鳶形二十四面體。例如，在自然界中，方沸石 和石榴石 的晶體結構 就是鳶形二十四面體，部分實驗中制備的氧化銦 奈米晶體亦是這種形狀[ 14] [ 15] [ 16] [ 17] [ 18] 反柱體 的對偶多面體[ 19] [ 20] 偏方二十四面體 （英語：diplohedron）[ 21] [ 16] [ 22]
投影到球面的鳶形二十四面體 若將鳶形二十四面體投影到球面上，如右圖所示，則其邊會與複合八面體立方體 （立方體和其對偶——正八面體在空間中互相重疊組合成的結構）投影到球面上的果共用相同的稜[ 23]
鳶形二十四面體是小斜方截半立方體 的對偶多面體，而小斜方截半立方體可以經由立方體或正八面體透過擴展變換來構造[ 24]
More information 對稱性: [4,3], (*432), [4,3]+, (432) ...
半正正八面體家族多面體
對稱性 : [4,3] , (*432)
[4,3]+ , (432)
[1+ ,4,3], (*332)
[4,3+ ], (3*2)
{4,3}
t0,1 {4,3}
t1 {4,3}
t1,2 {4,3}
{3,4}
t0,2 {4,3}
t0,1,2 {4,3}
s{4,3}
h{4,3}
h1,2 {4,3}
半正多面體的對偶
V4.4.4
V3.8.8
V3.4.3.4
V4.6.6
V3.3.3.3
V3.4.4.4
V4.6.8
V3.3.3.3.4
V3.3.3
V3.3.3.3.3
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More information 球面鑲嵌（英語：List_of_spherical_symmetry_groups）, 歐氏鑲嵌（英語：List_of_planar_symmetry_groups） ...
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晶體學中的偏方二十四面體。 偏方二十四面體為鳶形二十四面體的一種變體，其拓樸結構與鳶形二十四面體等價。鳶形二十四面體與偏方二十四面體的拓樸結構皆與立方體每個面的正方形用兩條垂直線分成四個小正方形的結果等價。其可以投影到正八面體 上並將每個三角形面分成3個鳶形。
在晶體學 中，透過旋轉其三面角所形成的變體稱為dyakis dodecahedron [ 25] [ 26] diploid [ 27] 偏方二十四面體 [ 22]
在圖論 的數學領域中，與鳶形二十四面體相關的圖為鳶形二十四面體圖 （Disdyakis Dodecahedral Graph），是鳶形二十四面體之邊與頂點的圖 [ 28] [ 29]
頂點 ，其中度 為3的頂點有8個、度為4的頂點有18個。[ 28]
其特徵多項式 為[ 28]
x
8
(
x
2
−
14
)
(
x
2
−
8
)
3
(
x
2
−
2
)
5
{\displaystyle x^{8}{\left(x^{2}-14\right)}{\left(x^{2}-8\right)}^{3}{\left(x^{2}-2\right)}^{5}}
Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X (Section 3-9)Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press , 1983, ISBN 978-0-521-54325-5MR 0730208 doi:10.1017/CBO9780511569371 (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 23, Deltoidal icositetrahedron)
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