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在量子力學裏,有限深方形阱,又稱為有限深位勢阱,是無限深方形阱的延伸。有限深方形阱是一個阱內位勢為0,阱外位勢為有限值的位勢阱。關於一個或多個粒子,在這種位勢作用中的量子行為的問題,稱為有限深位勢阱問題。與無限深方形阱問題不同的是,在阱外找到粒子的機率大於0。
在經典力學裏,假若,粒子的能量小於阱壁的位勢,則粒子只能移動於阱內,無法存在於阱外。截然不同地,在量子力學裏,雖然粒子的能量小於阱壁的位勢,在阱外找到粒子的機率大於0。
一維有限深方形阱的阱寬為,左邊阱壁與右邊阱壁的位置分別為與。阱內位勢為0。在阱壁,位勢突然升高為。阱外位勢保持為。這一維阱將整個一維空間分為三個區域:阱左邊,阱內,與阱右邊。在每一個區域內,對應着不同的位勢,描述粒子的量子行為的波函數也不同,標記為:[1]:78-82
這些波函數,都必須滿足,一維不含時間的薛定諤方程式:
在阱內,位勢,方程式簡化為:
設定波數為
代入方程式(2):
這是一個經過頗多研究的二階常微分方程式。一般解本徵函數是正弦函數與餘弦函數的線性組合:
在阱外,位勢,薛定諤方程式為:
視能量是否大於位勢而定,有兩種不同的解答。一種是自由粒子解答,另一種是束縛粒子解答。
假若,粒子的能量小於位勢:,則這粒子束縛於位勢阱內.稱這粒子的量子態為束縛態(bound state)。設定
代入方程式(1):
一般解是指數函數。所以,阱左邊區域與阱右邊區域的波函數分別是
其中,,,,都是常數。
從正確的邊界條件,可以找到常數,,,,,的值。
薛定諤方程式的解答必須具有連續性與連續可微性。這些要求是前面導引出的微分方程式的邊界條件。
總結前面導引出的結果,波函數的形式為:
當趨向負無窮,包含的項目趨向無窮。類似地,當趨向無窮,包含的項目趨向無窮。可是,波函數在任何都必須是有限值。因此,必須設定。阱外區域的波函數變為
在阱左邊,隨着越小,波函數呈指數遞減。而在阱右邊,隨着越大,波函數呈指數遞減。這是合理的。這樣,波函數才能夠歸一化。
假若,波函數是奇函數,則
由於整個波函數必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁,兩個波函數的函數值與導數值都必須相配:
將波函數的公式代入:
方程式(6)除以方程式(5),可以得到:
從方程式(3)與(4),可以求得常數與波數的關係:
所以,波數是離散的,必須遵守以下方程式:
這也造成了離散的能量。
假若,波函數是偶函數,則
由於整個波函數必須滿足連續性與連續可微性。在阱壁,兩個波函數的函數值與導數值都必須相配:
將波函數的公式代入:
方程式(8)除以方程式(7),可以得到:
從方程式(3)與(4),可以求得常數與波數的關係:
所以,波數是離散的,必須遵守以下方程式:
這也造成了離散的能量。
假若,一個粒子的能量大於位勢,,則這粒子不會被束縛於位勢阱內。因此,在這裏,粒子的量子行為主要是由位勢阱造成的散射(scattering)行為。稱這粒子的量子態為散射態。稱這不被束縛的粒子為自由粒子。更強版的定義還要求位勢為常數。假若,一維空間分為幾個區域,只有在每個區域內,位勢為常數;而在區域與區域之間,位勢不相等,則稱此粒子為半自由粒子。自由粒子和半自由粒子的能量大於位勢,,不會被束縛於位勢阱內,能量不是離散能量譜的特殊值,而是大於或等於的任意值。波數,用方程式表達為,也不是離散量。代入方程式(1):
解答形式與阱內區域的解答形式相同:
其中,、、、,都是常數。
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