一矩陣

在數學中，一矩陣又稱為全一矩陣，是指所有元素皆為1的矩陣^[1]，通常以符號${\displaystyle J}$來表示，並以下標符號表示矩陣的維度^[2]，例如：

${\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}};\quad J_{3}={\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{2,5}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\1&1&1&1&1\end{pmatrix}};\quad J_{1,2}={\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}}.\quad }$

此條目的主題是所有元素皆為1的矩陣。關於主對角線元素為1、其餘元素為0的矩陣，請見「單位矩陣」。

部分文獻將之稱為單元矩陣或單位矩陣（英語：unit matrix^[3][2]）。但「單位矩陣」一詞更常代表主對角線為一、其餘為零的單位矩陣^[3][4]:71，兩者是不同的矩陣。

類似地，一向量或全一向量是指只所有元素皆為1的向量，可以視為有一行或只有一列的全一矩陣，其也不應與單位向量混淆。

特別地，${\displaystyle 1\times 1}$的全一矩陣與單位矩陣是等價的，即${\displaystyle I_{1}=J_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}}$。對於所有維度大於或等於2的全一矩陣，若其為方陣，則其行列式為0。^[2]

性質

所有的${\displaystyle n\times n}$的全一方陣（為方陣的全一矩陣）${\displaystyle J_{n}}$有以下性質：

• ${\displaystyle J_{n}}$的跡為${\displaystyle n}$^[5]
• 若${\displaystyle n\geq 2}$，${\displaystyle J_{n}}$的行列式為${\displaystyle \det J_{n}=0}$。對於小於2的情況，行列式為1，即${\displaystyle \det J_{1}=\det {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=1}$。（若也將${\displaystyle n=0}$考慮進來，則若將空矩陣也視為一種全一矩陣，則其行列式也為1^[6]）
• 全一矩陣${\displaystyle J_{n}}$的特徵多項式為${\displaystyle (x-n)x^{n-1}}$
• 全一矩陣${\displaystyle J_{n}}$的極小多項式為${\displaystyle (x-n)x}$
• 全一矩陣${\displaystyle J_{n}}$的秩為1、特徵值為${\displaystyle n}$（代數重數為1）和0（代數重數為${\displaystyle n-1}$）^[7]
• ${\displaystyle J^{k}=n^{k-1}J}$，其中${\displaystyle k=1,2,\ldots .}$^[8]
• 全一矩陣${\displaystyle J}$是阿達瑪乘積的單位元素^[9]

當全一矩陣${\displaystyle J}$在實矩陣運算時，以下附加性質成立：

• 全一矩陣${\displaystyle J}$為半正定矩陣
• ${\displaystyle {\frac {1}{n}}J_{n}}$為冪等矩陣^[8]
• 全一矩陣${\displaystyle J}$的矩陣指數為${\displaystyle \exp(J_{n})=I+{\frac {e^{n}-1}{n}}J_{n}}$

應用

全一矩陣可以應用於數學領域中的組合學，特別是在涉及代數方法的圖論中。舉例來說，如果${\displaystyle A}$是${\displaystyle n}$個頂點無向圖${\displaystyle G}$的鄰接矩陣，且${\displaystyle J}$是與${\displaystyle A}$相同維度的全一矩陣，則若${\displaystyle AJ=JA}$時，${\displaystyle G}$為正則圖，反之亦然。^[10]

參見

• 零矩陣
• 矩陣單元

參考文獻

1. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R., 0.2.8 The all-ones matrix and vector, Matrix Analysis, Cambridge University Press: 8, 2012 [2022-04-24], ISBN 9780521839402, （原始內容存檔於2022-04-24）.
2. Weisstein, Eric W. (編). Unit Matrix. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
3. 簡秋記. 單位矩陣 unit matrix. 力學名詞辭典, 國家教育研究院. 2002年12月 [2022-04-24]. （原始內容存檔於2021-01-19）.
4. Akivis, M. A. and Goldberg, V. V., An Introduction to Linear Algebra and Tensors, New York: Dover, 1972
5. Stanley, Richard P., Algebraic Combinatorics: Walks, Trees, Tableaux, and More, Springer, Lemma 1.4, p. 4, 2013 [2022-04-24], ISBN 9781461469988, （原始內容存檔於2022-05-01）.
6. Faliva, Mario; Zoia, Maria Grazia, Dynamic Model Analysis: Advanced Matrix Methods and Unit-Root Econometrics Representation Theorems 2nd, Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag: 218, 2008, ISBN 9783540859956
7. Stanley (2013); Horn & Johnson (2012), p. 65 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.
8. Timm, Neil H., Applied Multivariate Analysis, Springer texts in statistics, Springer: 30, 2002 [2022-04-24], ISBN 9780387227719, （原始內容存檔於2022-04-24）.
9. Smith, Jonathan D. H., Introduction to Abstract Algebra, CRC Press: 77, 2011 [2022-04-24], ISBN 9781420063721, （原始內容存檔於2022-04-24）.
10. Godsil, Chris, Algebraic Combinatorics, CRC Press, Lemma 4.1, p. 25, 1993 [2022-04-24], ISBN 9780412041310, （原始內容存檔於2022-04-24）.