阿達瑪乘積 (矩陣)

在數學中，阿達瑪乘積 （英語：Hadamard product，又譯哈達瑪乘積），又名舒爾乘積（Schur product）^[1]或逐項乘積（entrywise product）^{[2]:ch. 5}，是一個二元運算，其輸入為兩個相同形狀的矩陣，輸出是具有同樣形狀的、各個位置的元素等於兩個輸入矩陣相同位置元素的乘積的矩陣。此乘積歸功於法國數學家雅克·阿達馬或德國數學家伊賽·舒爾（英語：Issai Schur），並以其命名。

作用在兩個相同形狀的矩陣上的阿達瑪乘積，結果是第三個相同形狀的矩陣。

「逐項積」重新導向至此。關於函數的逐點乘積，請見「逐點乘積」。

定義

若兩個矩陣${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$具有相同的維度${\displaystyle m\times n}$，則它們的阿達瑪乘積${\displaystyle A\circ B}$是一個具有相同維度的矩陣，其元素值為：

${\displaystyle (A\circ B)_{ij}=(A)_{ij}(B)_{ij}.}$

對於維度不相等的矩陣(m × n矩陣和 p × q矩陣，其中m ≠ p 或n ≠ q)，阿達瑪乘積沒有定義。

樣例

${\displaystyle 3\times 3}$矩陣A與${\displaystyle 3\times 3}$矩陣B的阿達瑪乘積為：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}\,b_{11}&a_{12}\,b_{12}&a_{13}\,b_{13}\\a_{21}\,b_{21}&a_{22}\,b_{22}&a_{23}\,b_{23}\\a_{31}\,b_{31}&a_{32}\,b_{32}&a_{33}\,b_{33}\end{bmatrix}}.}$

性質

• 阿達瑪乘積滿足交換律（當其元素屬於交換環時）, 結合律和對加法的分配律：

  ${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {A} \circ \mathbf {B} =\mathbf {B} \circ \mathbf {A} ,\\&\mathbf {A} \circ (\mathbf {B} \circ \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\circ \mathbf {C} ,\\&\mathbf {A} \circ (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {A} \circ \mathbf {B} +\mathbf {A} \circ \mathbf {C} .\end{aligned}}}$

• 在阿達瑪乘積意義下，m × n矩陣的單位元是全部元素均為1的m × n矩陣。這跟普通矩陣乘法的單位元只有主對角線上的元素為1的單位矩陣不同。此外，若且唯若沒有任何元素等於 0 時，矩陣的阿達瑪乘積有逆矩陣。^[3]
• 對於向量x和y，以及以這些向量作為主對角線的對應對角矩陣D_x和D_y，以下恆等式成立：^[2]:479

  ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}({A}\circ {B})\mathbf {y} =\operatorname {tr} \left({D}_{\mathbf {x} }^{*}{A}{D}_{\mathbf {y} }{B}^{\mathsf {T}}\right),}$

  其中x^*指的是x的共軛轉置。特別的，使用全1向量，可以發現阿達瑪乘積的所有元素求和是AB^T（上標T表示矩陣轉置）的跡。對於方陣 A和 B，一個相似的結論是他們的阿達瑪乘積按行求和後得到的向量是AB^T的對角元素組成的向量：^[4]

  ${\displaystyle \sum _{i}(A\circ B)_{ij}=\left(B^{\mathsf {T}}A\right)_{jj}=\left(AB^{\mathsf {T}}\right)_{ii}.}$

  相似地，

  ${\displaystyle \left(\mathbf {y} \mathbf {x} ^{*}\right)\circ {A}={D}_{\mathbf {y} }{A}{D}_{\mathbf {x} }^{*}}$

  此外，阿達瑪乘積矩陣與向量的積可以表示為：

  ${\displaystyle (A\circ B)\mathbf {y} =\operatorname {diag} \left(AD_{\mathbf {y} }B^{\mathsf {T}}\right)}$

  其中${\displaystyle \operatorname {diag} (M)}$ 是M的對角元素組成的向量。
• 阿達瑪乘積是克羅內克乘積的主要子矩陣。
• 阿達瑪乘積滿足秩不等式

  ${\displaystyle \operatorname {rank} ({A}\circ {B})\leq \operatorname {rank} ({A})\operatorname {rank} ({B})}$

• 如果A和B是正定矩陣，那麼下列不等式成立：^[5]

  ${\displaystyle \prod _{i=k}^{n}\lambda _{i}({A}\circ {B})\geq \prod _{i=k}^{n}\lambda _{i}({A}{B}),\quad k=1,\ldots ,n,}$

  其中λ_i(A)是A的第i大的特徵值。
• 如果D與E是對角矩陣，那麼^[6]

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{D}({A}\circ {B}){E}&=({D}{A}{E})\circ {B}=({D}{A})\circ ({B}{E})\\&=({A}{E})\circ ({D}{B})={A}\circ ({D}{B}{E}).\end{aligned}}}$

• 兩個向量${\displaystyle \mathbf {a} }$ 和 ${\displaystyle \mathbf {b} }$的阿達瑪乘積與一個向量和另一個向量對應的對角矩陣做矩陣乘法得到的結果相同：

  ${\displaystyle \mathbf {a} \circ \mathbf {b} =D_{\mathbf {a} }\mathbf {b} =D_{\mathbf {b} }\mathbf {a} }$

• 將向量映射到對角矩陣的${\displaystyle \operatorname {diag} }$ 運算可以用阿達瑪乘積寫為：

  ${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {a} )=(\mathbf {a} \mathbf {1} ^{T})\circ I}$

  其中${\displaystyle \mathbf {1} }$是全${\displaystyle 1}$向量， ${\displaystyle I}$是單位矩陣。

參考資料

1. Davis, Chandler. The norm of the Schur product operation. Numerische Mathematik. 1962, 4 (1): 343–44. doi:10.1007/bf01386329.
2. Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. Matrix analysis. Cambridge University Press. 2012.
3. Million, Elizabeth. The Hadamard Product (PDF). [2 January 2012]. （原始內容 (PDF)存檔於2013-06-12）.
4. Styan, George P. H., Hadamard Products and Multivariate Statistical Analysis, Linear Algebra and Its Applications, 1973, 6: 217–240, doi:10.1016/0024-3795(73)90023-2, hdl:10338.dmlcz/102190 
5. Hiai, Fumio; Lin, Minghua. On an eigenvalue inequality involving the Hadamard product. Linear Algebra and Its Applications. February 2017, 515: 313–320. doi:10.1016/j.laa.2016.11.017 .
6. Project (PDF). buzzard.ups.edu. 2007 [2019-12-18]. （原始內容 (PDF)存檔於2013-06-12）.