在數學 中,指數積分 是函數 的一種,它不能表示為初等函數 。
定義
E1 函數(頂)和Ei函數(底)。
對於實數x ,指數積分Ei(x )可以定義為:
Ei
(
x
)
=
∫
−
∞
x
e
t
t
d
t
.
{\displaystyle {\mbox{Ei}}(x)=\int _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t.\,}
其中
e
t
{\displaystyle e^{t}}
為指數函數 。以上的定義可以用於正數x ,但這個積分必須用柯西主值 的概念來理解。
對於自變量是複數的情形,這個定義就變得模稜兩可了[1] 。為了避免歧義,我們使用以下的記法:
E
1
(
z
)
=
∫
z
∞
e
−
t
t
d
t
,
|
A
r
g
(
z
)
|
<
π
.
{\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{z}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t,\qquad |{\rm {Arg}}(z)|<\pi .}
當自變量的實數部分為正時,可以轉換為:
E
1
(
z
)
=
∫
1
∞
e
−
t
z
t
d
t
,
ℜ
(
z
)
≥
0.
{\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tz}}{t}}\,\mathrm {d} t,\qquad \Re (z)\geq 0.}
Ei與E1 有以下關係:
E
i
(
−
x
±
i
0
)
=
−
E
1
(
x
)
∓
i
π
,
(
x
>
0
)
{\displaystyle {\rm {Ei}}(-x\pm {\rm {i}}0)=-{\rm {E}}_{1}(x)\mp {\rm {i}}\pi ,\quad ~~~~~~~~(x>0)}
−
E
i
(
x
)
=
1
2
E
1
(
−
x
+
i
0
)
+
1
2
E
1
(
−
x
−
i
0
)
,
(
x
>
0
)
.
{\displaystyle -{\rm {Ei}}(x)={\frac {1}{2}}{\rm {E}}_{1}(-x+{\rm {i}}0)+{\frac {1}{2}}{\rm {E}}_{1}(-x-{\rm {i}}0),\qquad ~~~~~~~~(x>0)~.}
性質
收斂級數
指數積分可以用以下的收斂級數來表示:
Ei
(
x
)
=
γ
+
ln
x
+
∑
k
=
1
∞
x
k
k
k
!
,
x
>
0
{\displaystyle {\mbox{Ei}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k\;k!}}\,,~~~~~x>0}
E
1
(
z
)
=
−
γ
−
ln
z
+
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
z
k
k
k
!
,
R
e
(
z
)
>
0
{\displaystyle E_{1}(z)=-\gamma -\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}z^{k}}{k\;k!}}\,,~~~~~~~~{\rm {Re}}(z)>0}
其中
γ
≈
0.5772156649015328606...
{\displaystyle ~\gamma \approx 0.5772156649015328606...~}
是歐拉-馬歇羅尼常數 。這個級數在自變量為任何複數時都是收斂的,但Ei的定義則需要
x
>
0
{\displaystyle ~x\!>\!0~}
。
漸近(發散)級數
截斷和中取
N
{\displaystyle ~N~}
項時,漸近展開式的相對誤差
自變量的值較大時,用以上的收斂級數來計算指數積分是困難的。在這種情況下,我們可以使用發散(或漸近)級數:
E
1
(
z
)
=
exp
(
−
z
)
z
[
∑
n
=
0
N
−
1
n
!
(
−
z
)
n
+
O
(
N
!
z
N
)
]
{\displaystyle E_{1}(z)={\frac {\exp(-z)}{z}}\left[\sum _{n=0}^{N-1}{\frac {n!}{(-z)^{n}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {N!}{z^{N}}}\right)\right]}
這個截斷和可以用來計算
R
e
(
z
)
≫
1
{\displaystyle ~{\rm {Re}}(z)\!\gg \!1~}
時函數的值。級數中的項數越多,自變量的實數部分就應該越大。
圖中描述了以上估計的相對誤差。
指數和對數的表現
E
1
{\displaystyle ~E_{1}~}
在自變量較大時的表現類似指數函數,自變量較小時類似對數函數。
E
1
{\displaystyle ~E_{1}~}
是位於以下兩個函數之間的:
exp
(
−
x
)
2
ln
(
1
+
2
x
)
<
E
1
(
x
)
<
exp
(
−
x
)
ln
(
1
+
1
x
)
x
>
0
{\displaystyle {\frac {\exp(-x)}{2}}\!~\ln \!\left(1+{\frac {2}{x}}\right)<E_{1}(x)<\exp(-x)\!~\ln \!\left(1+{\frac {1}{x}}\right)~~~~~~~~x\!>\!0}
這個不等式的左端在圖中用藍色曲線來表示,中間的黑色曲線是
E
1
(
x
)
{\displaystyle ~{\rm {E}}_{1}(x)~}
,不等式的右端用紅色曲線來表示。
與其它函數的關係
指數積分與對數積分 li(x )有密切的關係:
li(x ) = Ei (ln (x )) 對於所有正實數x ≠ 1。
另外一個有密切關係的函數,具有不同的積分限:
E
1
(
x
)
=
∫
1
∞
e
−
t
x
t
d
t
=
∫
x
∞
e
−
t
t
d
t
.
{\displaystyle {\rm {E}}_{1}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-tx}}{t}}\,\mathrm {d} t=\int _{x}^{\infty }{\frac {e^{-t}}{t}}\,\mathrm {d} t.}
這個函數可以視為把指數積分延伸到負數:
E
i
(
−
x
)
=
−
E
1
(
x
)
.
{\displaystyle {\rm {Ei}}(-x)=-{\rm {E}}_{1}(x).\,}
我們可以把兩個函數都用整函數 來表示:
E
i
n
(
x
)
=
∫
0
x
(
1
−
e
−
t
)
d
t
t
=
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
+
1
x
k
k
k
!
.
{\displaystyle {\rm {Ein}}(x)=\int _{0}^{x}(1-e^{-t})\,{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}x^{k}}{k\;k!}}.}
利用這個函數,我們可以用對數來定義:
E
1
(
z
)
=
−
γ
−
ln
z
+
E
i
n
(
z
)
,
|
A
r
g
(
z
)
|
<
π
{\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)\,=\,-\gamma -\ln z+{\rm {Ein}}(z),~~~~~~|{\rm {Arg}}(z)|<\pi ~}
以及
E
i
(
x
)
=
γ
+
ln
x
−
E
i
n
(
−
x
)
,
x
>
0.
{\displaystyle {\rm {Ei}}(x)\,=\,\gamma +\ln x-{\rm {Ein}}(-x),~~~~~~x>0.}
指數積分還可以推廣為:
E
n
(
x
)
=
∫
1
∞
e
−
x
t
t
n
d
t
,
{\displaystyle {\rm {E}}_{n}(x)=\int _{1}^{\infty }{\frac {e^{-xt}}{t^{n}}}\,\mathrm {d} t,}
它是不完全伽瑪函數 的一個特例:
E
n
(
x
)
=
x
n
−
1
Γ
(
1
−
n
,
x
)
.
{\displaystyle {\rm {E}}_{n}(x)=x^{n-1}\Gamma (1-n,x).\,}
這個推廣的形式有時成為Misra函數
φ
m
(
x
)
{\displaystyle \varphi _{m}(x)}
,定義為:
φ
m
(
x
)
=
E
−
m
(
x
)
.
{\displaystyle \varphi _{m}(x)={\rm {E}}_{-m}(x).\,}
函數
E
n
{\displaystyle ~{\rm {E}}_{n}~}
與
E
1
{\displaystyle ~{\rm {E}}_{1}~}
的導數有以下簡單的關係:
E
n
′
(
z
)
n
−
1
(
z
)
,
(
|
A
r
g
(
z
)
|
<
π
,
n
>
0
)
{\displaystyle {{\rm {E}}_{n}}'(z){n-1}(z),~~~~~~~~(|{\rm {Arg}}(z)|<\pi ,~~~n>0)}
然而,這裏假設了
n
{\displaystyle ~n~}
是整數;複數
n
{\displaystyle ~n~}
的推廣還沒有在文獻中報導,雖然這種推廣是有可能的。在 y=2x 的圖形中,其導函數在任意x值所對應的y值為原函數的0.693倍。
複數變量指數積分
E
1
(
i
x
)
{\displaystyle {\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)}
versus
x
{\displaystyle ~x~}
, real part(black) and imaginary part (red).
從以下的表示法中
E
1
(
z
)
=
∫
1
∞
exp
(
−
z
t
)
t
d
t
,
(
R
e
(
z
)
≥
0
)
{\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}\,{\rm {d}}t,~~~~~~({\rm {Re}}(z)\geq 0)}
可以看出指數積分與正弦積分 (Si)和餘弦積分 (Ci)之間的關係:
E
1
(
i
x
)
=
−
π
2
+
S
i
(
x
)
−
i
⋅
C
i
(
x
)
,
(
x
>
0
)
{\displaystyle {\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)=-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)-{\rm {i}}\cdot {\rm {Ci}}(x),~~~~~~~~~(x>0)}
圖中的黑色和紅色曲線分別描述了
E
1
(
x
)
{\displaystyle ~{\rm {E}}_{1}(x)~}
的實數和虛數部分。
參考文獻
Press, William H. et al. Numerical Recipes (FORTRAN). Cambridge University Press, New York: 1989.
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 5) (頁面存檔備份 ,存於互聯網檔案館 )
R. D. Misra, Proc. Cambridge Phil. Soc. 36, 173 (1940)
S. Chandrasekhar, Radiative transfer, reprinted 1960, Dover
外部連結