三角積分 是含有三角函數 的一種積分 。一些簡單的含有三角函數的積分,可在三角函數積分表 中找到。
正弦積分
Si(x)(紅)和Ci(x)(藍)
有兩種不同的正弦 積分:
S
i
(
x
)
=
∫
0
x
sin
t
t
d
t
{\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt}
s
i
(
x
)
=
−
∫
x
∞
sin
t
t
d
t
{\displaystyle {\rm {si}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt}
S
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {Si}}(x)\,}
是
sin
x
x
{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}\,}
的原函數,當
x
=
0
{\displaystyle x=0\,}
時為零;
s
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {si}}(x)\,}
是
sin
x
x
{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}\,}
的原函數,當
x
=
∞
{\displaystyle x=\infty }
時為零。我們有:
s
i
(
x
)
=
S
i
(
x
)
−
π
2
{\displaystyle {\rm {si}}(x)={\rm {Si}}(x)-{\frac {\pi }{2}}}
注意到
sin
t
t
{\displaystyle {\frac {\sin t}{t}}}
是sinc函數 ,也是第零個球貝索函數 。
餘弦積分
有兩種不同的餘弦 積分:
C
i
(
x
)
=
γ
+
ln
x
+
∫
0
x
cos
t
−
1
t
d
t
{\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt}
c
i
(
x
)
=
−
∫
x
∞
cos
t
t
d
t
{\displaystyle {\rm {ci}}(x)=-\int _{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt}
C
i
n
(
x
)
=
∫
0
x
1
−
cos
t
t
d
t
{\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt}
其中
γ
{\displaystyle \gamma }
是歐拉-馬斯刻若尼常數 .
c
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {ci}}(x)\,}
是
cos
x
x
{\displaystyle {\frac {\cos x}{x}}}
的原函數,當
x
→
∞
{\displaystyle x\to \infty }
時為零。我們有:
c
i
(
x
)
=
C
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {ci}}(x)={\rm {Ci}}(x)\,}
C
i
n
(
x
)
=
γ
+
ln
x
−
C
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ci}}(x)\,}
雙曲正弦積分
S
h
i
(
x
)
=
∫
0
x
sinh
t
t
d
t
=
s
h
i
(
x
)
.
{\displaystyle {\rm {Shi}}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sinh t}{t}}\,dt={\rm {shi}}(x).}
雙曲餘弦積分
C
h
i
(
x
)
=
γ
+
ln
x
+
∫
0
x
cosh
t
−
1
t
d
t
=
c
h
i
(
x
)
{\displaystyle {\rm {Chi}}(x)=\gamma +\ln x+\int _{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt={\rm {chi}}(x)}
展開式
有各種各樣的展開式,可以用於計算三角積分。
漸近展開式
S
i
(
x
)
=
π
2
−
cos
x
x
(
1
−
2
!
x
2
+
.
.
.
)
−
sin
x
x
(
1
x
−
3
!
x
3
+
.
.
.
)
{\displaystyle {\rm {Si}}(x)={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)}
C
i
(
x
)
=
sin
x
x
(
1
−
2
!
x
2
+
.
.
.
)
−
cos
x
x
(
1
x
−
3
!
x
3
+
.
.
.
)
{\displaystyle {\rm {Ci}}(x)={\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)}
這些級數是發散的,但可以用來估計,甚至是精確計算三角積分。
收斂級數
S
i
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
!
=
x
−
x
3
3
!
⋅
3
+
x
5
5
!
⋅
5
−
x
7
7
!
⋅
7
±
⋯
{\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots }
C
i
(
x
)
=
γ
+
ln
x
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
x
2
n
2
n
(
2
n
)
!
=
γ
+
ln
x
−
x
2
2
!
⋅
2
+
x
4
4
!
⋅
4
∓
⋯
{\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots }
這些級數對於任何複數的
x
{\displaystyle ~x~}
都是收斂的,但當
|
x
|
≫
1
{\displaystyle |x|\gg 1}
時,計算非常緩慢,也不是很精確。
與指數積分的關係
函數
E
1
(
z
)
=
∫
1
∞
exp
(
−
z
t
)
t
d
t
,
(
R
e
(
z
)
≥
0
)
{\displaystyle {\rm {E}}_{1}(z)=\int _{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}{\rm {d}}t~~,~~~~({\rm {Re}}(z)\geq 0)}
稱為指數積分 ,與正弦和餘弦積分有以下的關係:
E
1
(
i
x
)
=
i
(
−
π
2
+
S
i
(
x
)
)
−
C
i
(
x
)
=
i
s
i
(
x
)
−
c
i
(
x
)
(
x
>
0
)
{\displaystyle {\rm {E}}_{1}({\rm {i}}\!~x)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)\right)-{\rm {Ci}}(x)=i~{\rm {si}}(x)-{\rm {ci}}(x)\qquad (x>0)}
參見
參考文獻
Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (See Chapter 5) (頁面存檔備份 ,存於互聯網檔案館 )