超運算序列 是數學 中一種二元運算 的序列 ，前三項 分別為加法 、乘法 、冪 ，一般來說，除了序列中第一項的加法運算之外，序列中每一項的運算都是重複的前一項的運算（例如乘法是重複的加法：
a
⋅
b
=
a
+
a
+
a
+
⋯
+
a
⏟
b
{\displaystyle a\cdot b=\underbrace {a+a+a+\cdots +a} _{b}}
a
b
=
a
⋅
a
⋅
a
⋅
…
⋅
a
⏟
b
{\displaystyle a^{b}=\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{b}}
超運算 （或稱為hyper運算符 ）。序列中的第n 項稱為超-n 運算 或第n 級的超運算 ，其符號為[n ] 。英文則由魯賓·古德斯坦 n ≥4時，由n 的希臘語 前綴 加上後綴 -ation組成（例如超-4運算 稱為tetration ，超-5運算 稱為pentation [ 1] n ≥3 時，使用高德納箭號表示法 可將超-n 運算的符號表示為(n -2)個箭頭。
超運算可通過遞歸 進行定義，對於所有正整數 a ，正整數b 和正整數n ：
a
[
1
]
b
=
a
+
b
,
for
n
>
1
,
a
[
n
]
b
=
a
[
n
−
1
]
(
a
[
n
−
1
]
(
a
[
n
−
1
]
⋯
(
a
[
n
−
1
]
(
a
[
n
−
1
]
a
⏟
b
)
)
⋯
)
)
{\displaystyle a[1]b=a+b,\ {\text{for}}\ n>1,\ a[n]b=\underbrace {a[n-1](a[n-1](a[n-1]\cdots (a[n-1](a[n-1]a} _{b}))\cdots ))}
除這一最常見的定義之外，超運算還有其他的變體。（見下文 ）
1914年，阿爾伯特·貝內特（Albert Bennett）最早提出了超運算，他發展出了一套交換超運算（見下文 ）的理論。[ 4] 威廉·阿克曼 定義了函數
ϕ
(
a
,
b
,
n
)
{\displaystyle \phi (a,b,n)}
[ 5] 阿克曼函數 使用了同樣的遞歸法則，但有兩點與現在的超運算不同。一是它定義了
n
=
0
{\displaystyle n=0}
n
=
1
{\displaystyle n=1}
n
=
2
{\displaystyle n=2}
ϕ
{\displaystyle \phi }
ϕ
(
a
,
b
,
3
)
=
a
[
4
]
(
b
+
1
)
{\displaystyle \phi (a,b,3)=a[4](b+1)}
[ 6] [ 7] [ 8]
1947年，魯賓·古德斯坦 [ 1]
G
(
n
,
a
,
b
)
{\displaystyle G(n,a,b)}
a
[
n
]
b
{\displaystyle a[n]b}
下表列出了曾用來表示超運算的各種符號表示法：
More information
名稱
符號表示
註解
高德納箭號表示法
a
↑
n
−
2
b
{\displaystyle a\uparrow ^{n-2}b}
高德納 使用（對於
n
≥
3
{\displaystyle n\geq 3}
[ 9] [ 10] [ 11]
古德斯坦表示法
G
(
n
,
a
,
b
)
{\displaystyle G(n,a,b)}
魯賓·古德斯坦 使用[ 1]
初始阿克曼函數
A
(
a
,
b
,
n
−
1
)
{\displaystyle A(a,b,n-1)}
與超運算並不完全相同
現代阿克曼函數
A
(
n
,
b
−
3
)
+
3
=
2
[
n
]
b
{\displaystyle A(n,b-3)+3=2[n]b}
和以2為底的超運算相同
南比爾表示法
a
⊗
n
−
1
b
{\displaystyle a\otimes ^{n-1}b}
南比爾（K. K. Nambiar）使用（對於
n
≥
1
{\displaystyle n\geq 1}
[ 12]
框表示法
a
n
b
{\displaystyle a{\,{\begin{array}{|c|}\hline {\!n\!}\\\hline \end{array}}\,}b}
魯佐勃夫（C. A. Rubtsov）與羅莫里奧（G. F. Romerio）使用[ 13] [ 2]
上標表示法
a
(
n
)
b
{\displaystyle a{}^{(n)}b}
默納福（Robert Munafo）使用[ 14]
下標表示法
a
(
n
)
b
{\displaystyle a{}_{(n)}b}
默納福用來表示低級超運算[ 14]
方括號表示法
a
[
n
]
b
{\displaystyle a[n]b}
在一些在線論壇中使用，利於ASCII 表示
康威鏈式箭號表示法
a
→
b
→
(
n
−
2
)
{\displaystyle a\to b\to (n-2)}
約翰·何頓·康威 使用（對於
n
≥
3
{\displaystyle n\geq 3}
Close
1928年，威廉·阿克曼 提出了一個三自變量的函數
ϕ
(
a
,
b
,
n
)
{\displaystyle \phi (a,b,n)}
阿克曼函數 。初始的阿克曼函數與現在的超運算之間的區別更大，因為他當時使用了初始條件：對所有
n
>
2
{\displaystyle n>2}
ϕ
(
a
,
0
,
n
)
=
a
{\displaystyle \phi (a,0,n)=a}
n
=
0
{\displaystyle n=0}
n
=
1
{\displaystyle n=1}
n
=
2
{\displaystyle n=2}
More information
n
運算
註釋
0
F
0
(
a
,
b
)
=
a
+
b
{\displaystyle F_{0}(a,b)=a+b}
1
F
1
(
a
,
b
)
=
a
b
{\displaystyle F_{1}(a,b)=ab}
2
F
2
(
a
,
b
)
=
a
b
{\displaystyle F_{2}(a,b)=a^{b}}
3
F
3
(
a
,
b
)
=
a
[
4
]
(
b
+
1
)
{\displaystyle F_{3}(a,b)=a[4](b+1)}
類似超-4運算，但其迭代函數 比普通超-4運算更為複雜
4
F
4
(
a
,
b
)
=
(
x
↦
a
[
4
]
(
x
+
1
)
)
b
(
a
)
{\displaystyle F_{4}(a,b)=(x\mapsto a[4](x+1))^{b}(a)}
不要與超-5運算相混淆
Close
路莎·彼得（Rózsa Péter）還曾用
A
(
0
,
b
)
=
2
b
+
1
{\displaystyle A(0,b)=2b+1}
1984年，C.W.克萊恩肖（C. W. Clenshaw）和F.W.J.奧立弗（F. W. J. Olver）開始討論如何使用超運算以防止計算機浮點數 溢出。[ 15] [ 16] [ 17] [ 18]
F
n
(
a
,
0
)
=
0
{\displaystyle F_{n}(a,0)=0}
More information
n
運算
註釋
1
F
1
(
a
,
b
)
=
a
+
b
{\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}
2
F
2
(
a
,
b
)
=
a
b
=
e
ln
(
a
)
+
ln
(
b
)
{\displaystyle F_{2}(a,b)=ab=e^{\ln(a)+\ln(b)}}
3
F
3
(
a
,
b
)
=
a
b
=
e
b
ln
(
a
)
{\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}=e^{b\ln(a)}}
4
F
4
(
a
,
b
)
=
a
[
4
]
(
b
−
1
)
{\displaystyle F_{4}(a,b)=a[4](b-1)}
類似超-4運算，但其迭代函數 比普通超-4運算更為複雜
5
F
5
(
a
,
b
)
=
(
x
↦
a
[
4
]
(
x
−
1
)
)
b
(
0
)
{\displaystyle F_{5}(a,b)=(x\mapsto a[4](x-1))^{b}(0)}
不要與超-5運算相混淆
Close
1914年阿爾伯特·貝內特 提出了超運算，很可能是關於超運算最早的嘗試。交換超運算通過以下遞歸法則定義：
F
n
+
1
(
a
,
b
)
=
exp
(
F
n
(
ln
(
a
)
,
ln
(
b
)
)
)
{\displaystyle F_{n+1}(a,b)=\exp(F_{n}(\ln(a),\ln(b)))}
由於a和b的對稱性，意味着所有的超運算都是可交換的。但由於序列並不包括冪運算，因此也就不能成為一個超運算等級。
More information
n
運算
註釋
0
F
0
(
a
,
b
)
=
ln
(
e
a
+
e
b
)
{\displaystyle F_{0}(a,b)=\ln(e^{a}+e^{b})}
1
F
1
(
a
,
b
)
=
a
+
b
=
ln
(
e
a
e
b
)
{\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b=\ln(e^{a}e^{b})}
2
F
2
(
a
,
b
)
=
a
b
=
e
ln
(
a
)
+
ln
(
b
)
{\displaystyle F_{2}(a,b)=ab=e^{\ln(a)+\ln(b)}}
由對數 性質而來
3
F
3
(
a
,
b
)
=
e
ln
(
a
)
ln
(
b
)
{\displaystyle F_{3}(a,b)=e^{\ln(a)\ln(b)}}
冪運算的可交換形式
4
F
4
(
a
,
b
)
=
e
e
ln
(
ln
(
a
)
)
ln
(
ln
(
b
)
)
{\displaystyle F_{4}(a,b)=e^{e^{\ln(\ln(a))\ln(\ln(b))}}}
不要與超-4運算相混淆
Close
均衡超運算於1991年首先由克萊門特·弗拉皮耶（Clément Frappier）提出[ 19]
x
x
{\displaystyle x^{x}}
斯坦豪斯-莫澤表示法 （Steinhaus-Moser notation）有關。均衡超運算的遞歸法則是
F
n
+
1
(
a
,
b
)
=
(
x
→
F
n
(
x
,
x
)
)
log
2
(
b
)
(
a
)
{\displaystyle F_{n+1}(a,b)=(x\to F_{n}(x,x))^{\log _{2}(b)}(a)}
還有一種變化形式的特點是從左到右的順序進行求值，即：
a
+
b
=
(
a
+
(
b
−
1
)
)
+
1
{\displaystyle a+b=(a+(b-1))+1}
a
×
b
=
(
a
×
(
b
−
1
)
)
+
a
{\displaystyle a\times b=(a\times (b-1))+a}
a
b
=
(
a
(
b
−
1
)
)
×
a
{\displaystyle a^{b}=(a^{(b-1)})\times a}
令（通過°或下標）
a
(
n
+
1
)
b
=
(
a
(
n
+
1
)
(
b
−
1
)
)
(
n
)
a
{\displaystyle a_{(n+1)}b=(a_{(n+1)}(b-1))_{(n)}a}
a
(
1
)
b
=
a
+
b
,
a
(
2
)
0
=
0
{\displaystyle a_{(1)}b=a+b,a_{(2)}0=0}
n
>
2
{\displaystyle n>2}
a
(
n
)
0
=
1
{\displaystyle a_{(n)}0=1}
這樣所產生的一個問題是，在4階時它就與通常的定義不同：
a
(
4
)
b
=
a
(
a
(
b
−
1
)
)
{\displaystyle a_{(4)}b=a^{(a^{(b-1)})}}
結合律 的對稱性，但這在冪運算上並不成立。由於通過這種超運算所得到的結果在3階以上都比普通的超運算更小，因而把這種超運算稱為低級超運算。
More information
n
運算
註釋
0
a
+
1
{\displaystyle a+1}
後繼函數
1
F
1
(
a
,
b
)
=
a
+
b
{\displaystyle F_{1}(a,b)=a+b}
2
F
2
(
a
,
b
)
=
a
b
{\displaystyle F_{2}(a,b)=ab}
3
F
3
(
a
,
b
)
=
a
b
{\displaystyle F_{3}(a,b)=a^{b}}
冪運算
4
F
4
(
a
,
b
)
=
a
a
(
b
−
1
)
{\displaystyle F_{4}(a,b)=a^{a^{(b-1)}}}
不要與超-4運算相混淆
5
F
5
(
a
,
b
)
=
(
x
→
x
x
(
a
−
1
)
)
b
−
1
(
a
)
{\displaystyle F_{5}(a,b)=(x\to x^{x^{(a-1)}})^{b-1}(a)}
不要與超-5運算相混淆
Close
超運算等級推廣至實數 的可能結果，當
F
n
(
3
,
3
)
{\displaystyle F_{n}(3,3)}
[ 20] 在取不同的初始條件或不同的遞歸法則時，就會產生不同的運算。一些數學家擴展出了超運算的許多變體。
通常，超運算等級（hyperoperation hierarchy）
(
S
,
I
,
F
)
{\displaystyle (S,\,I,\,F)}
I
{\displaystyle I}
索引集 、基於集合
S
{\displaystyle S}
二元運算 族
(
F
n
)
n
∈
I
{\displaystyle (F_{n})_{n\in I}}
i
,
j
,
k
∈
I
{\displaystyle i,j,k\in I}
F
i
(
a
,
b
)
=
a
+
b
{\displaystyle F_{i}(a,b)=a+b}
F
j
(
a
,
b
)
=
a
b
{\displaystyle F_{j}(a,b)=ab}
F
k
(
a
,
b
)
=
a
b
{\displaystyle F_{k}(a,b)=a^{b}}
如果不滿足最後一個條件的話，就能將交換超運算包括在內。當然，也可以明確地定義每一個超運算，但這就超出了我們討論的範圍。大多數的變體形式只包含了對於後繼函數 （即加法）的定義，而乘法則由遞歸法則來進行定義。由於這屬於對超運算等級的定義，而非等級本身的性質，很難給出形式上的定義。
對於超運算，除了古德斯坦給出的定義外，還有很多其他可能性。如果對
F
n
(
a
,
0
)
{\displaystyle F_{n}(a,0)}
F
n
(
a
,
1
)
{\displaystyle F_{n}(a,1)}
n
≥
3
{\displaystyle n\geq 3}
F
n
(
a
,
0
)
=
1
{\displaystyle F_{n}(a,0)=1}
F
n
(
a
,
0
)
=
a
{\displaystyle F_{n}(a,0)=a}
F
n
(
a
,
0
)
=
0
{\displaystyle F_{n}(a,0)=0}
關於超運算的一個未解決問題是超運算等級
(
N
,
N
,
F
)
{\displaystyle (\mathbb {N} ,\mathbb {N} ,F)}
(
R
,
R
,
F
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,\mathbb {R} ,F)}
[ 21] :5 甚至
(
C
,
C
,
F
)
{\displaystyle (\mathbb {C} ,\mathbb {C} ,F)}
(
C
,
F
n
)
{\displaystyle (\mathbb {C} ,F_{n})}
擬群 。
魯賓·古德斯坦 記數系統 [ 1]
Daniel Zwillinger. CRC standard mathematical tables and formulae, 31st Edition. CRC Press. 2002: 4. ISBN 1584882913 Eric W. Weisstein. CRC concise encyclopedia of mathematics, 2nd Edition. CRC Press. 2003: 127–128. ISBN 1584883472
![{\displaystyle a[1]b=a+b,\ {\text{for}}\ n>1,\ a[n]b=\underbrace {a[n-1](a[n-1](a[n-1]\cdots (a[n-1](a[n-1]a} _{b}))\cdots ))}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab0187876acf5f101e651cfd8757d2088900a013)
![{\displaystyle H_{n}(a,b)=a\uparrow ^{n-2}b=a[n]b={\begin{cases}b+1&n=0\\a&n=1\land b=0\\0&n=2\land b=0\\1&n\geq 3\land b=0\\H_{n-1}(a,H_{n}(a,b-1))&{\text{otherwise}}\end{cases}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74b8003ba5e574f2b612b1a0751e9e544c4bb403)
, 
...
![{\displaystyle a[3]b=a^{b}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb03cb6befd4d6109eafaca34e9b723061ed547c)
![{\displaystyle a[4]b={^{b}a}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb3216ea009be2bdab4e49d823b83e8f545a1718)
)\cdots )))} } \atop {b}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d88d4b864677c2555656cf287f19f49c0c7cf30e)
![{\displaystyle a[5]b={_{b}a}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14886ca6408108296951ca6898a107c7188322f2)
)\cdots )))} } \atop {b}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbc1a9d882229d5d68fe532c0d6bdf37efde7324)
![{\displaystyle a[6]b}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/440cac430b226ebceafac2548525b7f1aef2486c)
)\cdots )))} } \atop {b}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45dc0cc7f18e1ba61391c93bec8fec2eddf2f555)
![{\displaystyle a[n]b}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2551ef8c0122ea93c537b613b561246ca3f8724f)
)\cdots )))} } \atop {b}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb9bcffd1974a0ee11815821c9a4d0c6e0636ff)
}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33b1c29f15f97ed15065d81e5360582e4dfc615f)
, 使用（對於 ...
, 使用（對於 ...
![{\displaystyle A(n,b-3)+3=2[n]b}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c217034a163c9994f603b527ce80ab363b608f80)
, 
...
, 
...
}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4cd80f3850f8a52ab3a1b23acba831f7148e692)
)^{b}(a)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f27ed90acc3f9f63d6c22be4366b0f3def9ea920)
, 
...
, 
...
}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/488ccddf037f628486ad2255768e6ddeb327ff23)
)^{b}(0)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f5718f5805143c9fff983509bdab22f4666c394)
, 
...
, 
...
...
...
, 
, 
