迭代冪次

在數學裏面，迭代冪次 （亦作超-4運算或四級運算），或可理解為迭代乘方、冪塔運算和超冪運算等等，是專指冪的下一個超運算級別，用以表示極大的數字。以下列舉了首四個超運算級別，其中迭代冪次為第四級，（後繼函數，例如${\displaystyle a'=a+1}$即將${\displaystyle a}$加上一，可理解為第零級運算，相關解釋參見皮亞諾公理）。範例如下：

1. 加法

   ${\displaystyle a+n=a\!\underbrace {''{}^{\cdots }{}'} _{n}}$

   a 的連續n 次後繼

2. 乘法

   ${\displaystyle a\times n=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}}$

   a 連續加上自己n 次

3. 冪

   ${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}}$

   a 連續乘以自己n 次

4. 迭代冪次

   ${\displaystyle {^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}}$

   a 連續取冪於自己n 次

以上每一個運算級別皆被定義為對上一運算級別的迭代（迭代冪次的下一個運算級別為五級運算（超-5運算））。迭代冪次跟首三個超運算級別的一大不同之處在於首三個超運算級別中的n 可以是任意複數，而n 為任意複數的迭代冪次目前則未有一個概括的定義。另外，迭代冪次不屬於初等函數。

加法(a + n)是最基本的運算級別；乘法(a × n)亦是其中一種初等函數，在自然數的域當中，它可被視為a 的n 次鏈式加法；冪(${\displaystyle a^{n}}$)則可被視為a 的n 次鏈式乘法。如此類推，迭代冪次(${\displaystyle {^{n}a}}$)可被視為a 的n 次鏈式冪。當中，變量a 將會在下文被稱為底數，而變量n 則是此函數的高度值，在下文有時會被稱為上標數（早段提及的上標數皆為整數，而後則會擴展到分數、實數以及複數，如下所示）。

定義

對於任何正實數a (${\displaystyle a>0}$)及非負整數n (${\displaystyle n\geq 0}$)，${\displaystyle \,\!{^{n}a}}$被定義為：

${\displaystyle {^{n}a}:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\a^{\left[^{(n-1)}a\right]}&{\text{if }}n>0\end{cases}}}$

迭代乘方

從上述定義中可見，當計算被表達成冪塔的迭代冪次時，冪運算是先由最深層（以符號來表示，則最高級）的上標數做起。例子如下：

${\displaystyle \,\!\ ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left[2^{\left(2^{2}\right)}\right]}=2^{\left(2^{4}\right)}=2^{16}=65,\!536}$

要注意，冪是不遵從結合律的，因此以其他順序來計算上述表達式將會出現不一樣的答案，例如：

${\displaystyle \,\!2^{2^{2^{2}}}\neq \left[{\left(2^{2}\right)}^{2}\right]^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2}=256}$

因此，冪塔一定要從上而下（或從右至左）來運算。在電腦程式中，此制式稱為右結合律。

當a與n為互質時，我們可以透過歐拉定理來計算${\displaystyle \scriptstyle \underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}}$的最後m個小數位值。

專門用語

迭代冪次在英文裏面稱作tetration，有時亦會被稱為superexponentiation及hyperpower（中文意譯超冪）等，這些詞語也可被用來表示這種運算模式。

迭代冪次有時會跟一些相關的函數及表達式混淆，這是因為在這些函數及表達式當中的大部分專門用語均適用於迭代冪次。以下列舉了一些相關用語：

形式	用語
${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{a}}}}}}$	迭代冪次
${\displaystyle a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}$	迭代指數
${\displaystyle a_{1}^{a_{2}^{\cdot ^{\cdot ^{a_{n}}}}}}$	指數群 （亦作指數塔）
${\displaystyle a_{1}^{a_{2}^{a_{3}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$	無窮指數 （亦作無窮指數塔）

在首兩種表達式當中的a 是底數，而a 出現的數目則是高度值（x 的出現使高度值 加1）。在第三種表達式當中，n 是高度值，但每一個底皆不相同。

要注意的是，迭代指數的形式有時也會被稱為迭代冪次。這是模稜兩可的，因為這可以指迭代乘方或迭代指數。

符號標示法

可以用來表示迭代冪次的符號有很多，當中有一些符號可用來表示更高級的迭代運算（hyper-5、hyper-6 等等）。

名稱	形式	描述
標準符號記法	${\displaystyle \,{}^{n}a,a[4]n}$	Maurer及Goodstein分別於1901年及1947年使用此記法，其後由美國數學家魯迪·拉克於其著作"Infinity and the Mind"中將這個記法普及化。
高德納箭號表示法	${\displaystyle a{\uparrow \uparrow }n}$	允許加上更多箭號，乃至在箭號的右上方標上正整數n（↑n），以作推廣。
康威鏈式箭號表示法	${\displaystyle a\rightarrow n\rightarrow 2}$	允許把2 改成更大的整數以作推廣（同上述推廣法），亦可透過延長鏈式來作出推廣。
阿克曼函數	${\displaystyle {}^{n}2=\operatorname {A} (4,n-3)+3}$	底數為2（${\displaystyle a=2}$）的情況下可寫成阿克曼函數式。
迭代指數表示法	${\displaystyle {}^{n}a=\exp _{a}^{n}(1)}$	迭代指數可以為1以外的數字。
Hooshmand符號記法[1]	${\displaystyle \operatorname {uxp} _{a}n,\,a^{\frac {n}{}}}$
超運算符號	${\displaystyle a^{(4)}n,\,\operatorname {hyper} _{4}(a,n)}$	允許把4改為更大的整數，以表示更高級數的超運算
ASCII符號	a^^n	由於上箭號的用法跟脫字符（^）一樣，迭代冪次運算符可寫成（^^）。同樣允許更多^連續表示；

上述的迭代指數表示法中使用的迭代指數記號，一般被定義成：

${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)=a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}$，當中包含n 個a。

以下是一些用以表示迭代指數的符號：

名稱	形式	描述
標準符號記法	${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)}$	歐拉創造了符號${\displaystyle \exp _{a}(x)}$來表示${\displaystyle a^{x}}$，設${\displaystyle f(x)=\exp _{a}(x)}$，則${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)}$可表示成迭代函數${\displaystyle f^{n}(x)}$。
高德納箭號表示法	${\displaystyle (a{\uparrow })^{n}(x)}$	允許增加箭號的數目用以表示超冪（迭代冪次）和超指數（迭代指數），在大數一條目中常被用到。
Ioannis Galidakis符號記法	${\displaystyle \,{}^{n}(a,x)}$	底數部分可以改成較長的表達式。[2]
ASCII（輔助）	a^^n@x	以迭代指數作為迭代冪次的輔助函數。
ASCII（標準）	exp_a^n(x)	基於標準符號記法。
J符號記法	x^^:(n-1)x	重複冪次。詳見J語言[3]

例子

在下表，大部分數值大得連科學記數法也難以表示，因此使用了迭代指數記號，設底數為10來表示。包含小數點的數值是近似值。

${\displaystyle x}$	${\displaystyle {}^{2}x}$	${\displaystyle {}^{3}x}$	${\displaystyle {}^{4}x}$
1	1	1	1
2	4	16	65,536
3	27	7,625,597,484,987	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(1.09902)}$
4	256	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(2.18788)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(2.18726)}$
5	3,125	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(3.33931)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(3.33928)}$
6	46,656	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(4.55997)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(4.55997)}$
7	823,543	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(5.84259)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(5.84259)}$
8	16,777,216	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(7.18045)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(7.18045)}$
9	387,420,489	${\displaystyle \exp _{10}^{2}(8.56784)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(8.56784)}$
10	10,000,000,000	${\displaystyle \exp _{10}^{3}(1)}$	${\displaystyle \exp _{10}^{4}(1)}$

以較原始的函數來作逼近法

多項式逼近法

線性逼近法

以下是對迭代冪次函數的線性逼近法（以滿足連續函數的需要性，逼近法基於此函數的可微性質）的定義：

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}(^{x+1}a)&x\leq -1\\1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left(^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}$

由此可得：

逼近法	定義域
${\displaystyle \,{}^{x}a\approx x+1}$	for ${\displaystyle -1<x<0}$
${\displaystyle \,{}^{x}a\approx a^{x}}$	for ${\displaystyle 0<x<1}$
${\displaystyle \,{}^{x}a\approx a^{a^{(x-1)}}}$	for ${\displaystyle 1<x<2}$

及其他逼近值。不過，這個函數只是分段可微的；在x為整數的時候，函數的導數要乘以${\displaystyle \ln {a}}$。

例子

${\displaystyle {\begin{aligned}{}^{{\frac {1}{2}}\pi }e&\approx 5.868...,\\{}^{-4.3}0.5&\approx 4.03335...\end{aligned}}}$

Hooshmand的手稿中有一個重要定理^[1]：設${\displaystyle 0<a\neq 1}$。若${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$ 是連續的並滿足以下條件：

• ${\displaystyle f(x)=a^{f(x-1)}\;\;{\mbox{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1}$,
• ${\displaystyle f}$ 於 ${\displaystyle (-1,0)}$ 之上可微；
• ${\displaystyle f^{\prime }}$ 在 ${\displaystyle (-1,0),}$ 之上是一個單調函數；
• ${\displaystyle f^{\prime }(0^{+})=(\ln a)f^{\prime }(0^{-}){\mbox{ or }}f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{-}).}$

由此，${\displaystyle f}$ 可於以下方程式中獨特地定義出來：

${\displaystyle f(x)=\exp _{a}^{[x]}(a^{x})=\exp _{a}^{[x+1]}(x)\quad {\mbox{for all}}\;\;x>-2}$，

當中，${\displaystyle (x)=x-[x]}$ 標示x的分數部分，以及${\displaystyle \exp _{a}^{[x]}}$ 是函數${\displaystyle \exp _{a}}$ 的${\displaystyle [x]}$-迭代函數。

以上四個條件中的第二個條件僅當${\displaystyle f}$ 在[-1, 0]之上是線性函數，由此可作為上述對${\displaystyle f}$ 的定義的證明。

對自然迭代冪次函數${\displaystyle {}^{x}e}$ 的線性逼近法是連續可微的，但其二階導數的輻角並不是整數值。Hooshmand為此導出了以下的這一個獨特定理：

若${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$ 是一個連續函數並滿足以下條件:

• ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;{\mbox{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1}$；
• ${\displaystyle f}$ 於${\displaystyle (-1,0)}$ 之上是凸函數；
• ${\displaystyle f^{\prime }(0^{-})\leq f^{\prime }(0^{+}).}$

那麼${\displaystyle f={\mbox{uxp}}}$。（這裏的${\displaystyle f={\mbox{uxp}}}$ 是Hooshmand給予自然迭代冪次函數的線性逼近法的名稱。）

這個定理的證明跟之前提到的證明法十分相似；遞迴方程式保證了${\displaystyle f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{+}),}$ ，而${\displaystyle f}$ 的凸函數的性質僅當${\displaystyle f}$ 在(-1, 0)之上是線性的。

所以，自然迭代函數的線性逼近法是凸於${\displaystyle (-1,+\infty )}$ 之上的方程式${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;(x>-1)}$ 的唯一解。所有其他充足可微的解在區間(-1, 0)之上必定存在一個拐點。

更高次的逼近法

以下是對a ≠ e的迭代冪次函數的二次逼近法（逼近法基於此函數的可微性質）的定義：

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}({}^{x+1}a)&x\leq -1\\{\frac {-\log(a)\;+\;{\sqrt {x[1\;-\;\log(a)^{2}]\;+\;1}}}{1\;-\;\log(a)}}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}$

這對所有${\displaystyle x>0}$ 可微，但並不二次可微。若${\displaystyle a=e}$，應採用線性逼近法。

有關於三次逼近法，以及一個能歸納出n 次逼近法的方法，詳見：^[4]。

推廣

迭代冪次能被推廣至定義${\displaystyle {^{n}0}}$ 乃至其他定義域。

對底數定義域的推廣

推廣至底數為0

指數${\displaystyle 0^{0}}$ 是不連續定義的。所以，迭代冪次${\displaystyle \,{^{n}0}}$ 於早期提出的公式中亦並不被清晰定義。不過，${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{^{n}}x}$ 是定義良好的，並存在：

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\mbox{ even}}\\0,&n{\mbox{ odd}}\end{cases}}}$

所以我們能連續地定義${\displaystyle {}^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$。這等價於定義${\displaystyle 0^{0}=1}$。

在這推廣之下，${\displaystyle {}^{0}0=1}$，所以最初定義出來的法則${\displaystyle {^{0}a}=1}$ 依然成立。

推廣至複數底

由於複數可以作為指數，迭代冪次的底數可以為${\displaystyle \scriptstyle z\;=\;a+bi}$ 的形式，當中的${\displaystyle \scriptstyle i}$ 是−1的平方根。舉例來說，設${\displaystyle \scriptstyle z\;=\;i}$，對於${\displaystyle \scriptstyle {}^{n}z}$，其迭代冪次可由自然對數中的主枝（英語：Principal branch）來達成，並用歐拉公式得出以下關係：

${\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}$

這表明了${\displaystyle \scriptstyle {}^{(n+1)}i\;=\;a'+b'i}$ 在任何${\displaystyle \scriptstyle {}^{n}i\;=\;a+bi}$ 的情況下的遞迴定義為：

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}$

從而導出以下的逼近值：

${\displaystyle {}^{n}i}$	逼近值
${\displaystyle {}^{1}i=i}$	i
${\displaystyle {}^{2}i=i^{\left({}^{1}i\right)}}$	${\displaystyle 0.2079}$
${\displaystyle {}^{3}i=i^{\left({}^{2}i\right)}}$	${\displaystyle 0.9472+0.3208i}$
${\displaystyle {}^{4}i=i^{\left({}^{3}i\right)}}$	${\displaystyle 0.0501+0.6021i}$
${\displaystyle {}^{5}i=i^{\left({}^{4}i\right)}}$	${\displaystyle 0.3872+0.0305i}$
${\displaystyle {}^{6}i=i^{\left({}^{5}i\right)}}$	${\displaystyle 0.7823+0.5446i}$
${\displaystyle {}^{7}i=i^{\left({}^{6}i\right)}}$	${\displaystyle 0.1426+0.4005i}$
${\displaystyle {}^{8}i=i^{\left({}^{7}i\right)}}$	${\displaystyle 0.5198+0.1184i}$
${\displaystyle {}^{9}i=i^{\left({}^{8}i\right)}}$	${\displaystyle 0.5686+0.6051i}$

根據上一部分對於迭代冪次的逆向關係的定義，可得${\displaystyle \scriptstyle \,{}^{0}i\;=\;1}$ 及${\displaystyle \scriptstyle \,{}^{(-1)}i\;=\;0}$，當中負值的n 在虛數軸上會得出無窮的結果。在複平面當中，整個序列成螺旋形地趨向於極限${\displaystyle 0.4383+0.3606i}$，這個極限可理解為n 為無窮時，函數相對應的值。

這樣的迭代冪次序列由歐拉時期已開始被研究，但是由於序列的雜亂性而難以被理解。歷史上大部分有正式發表的研究皆集中於冪塔函數的收歛性。高運算效率電腦連同計算機代數系統和分形幾何系統的出現大大地促進了近代對於迭代冪次的研究。現時對迭代冪次的研究均建基於複動力學的普遍知識及對指數映射的專門研究。

對高度值定義域的推廣

推廣至無窮高

迭代冪次可被推廣至無窮高（${\displaystyle {}^{n}a}$ 當中的n）。這是因為當底數在一個特定的區間之內而高度值趨向於無窮時，迭代冪次會收歛於一個有限的數值。舉例來說，${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$ 收歛於2，因此可以說是等於2。對2的趨向性可從對以下小型有限冪塔的計算而看出來：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&={\sqrt {2}}^{1.89}\\&=1.93\end{aligned}}}$

一般來說，有限冪塔${\displaystyle x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}$ （定義為當n 趨向於無窮時${\displaystyle {}^{n}x}$ 的極限）收歛於e^−e ≤ x ≤ e^1/e，大約是位於0.066和1.44之間的區間，這是由萊昂哈德·歐拉所證明的。如果存在一個極限，這會是一個對於方程式y = x^y 的正實數解。所以，x = y^1/y。根據這個極限的定義，當x > e^1/e 時，x 的無窮迭代冪次不具收歛性，因為y^1/y 的最大值為e^1/e。

以上特性可以被推廣至複數底z，定義如下：

${\displaystyle {}^{\infty }z=z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}}$

當中的W（z）表示朗伯W函數。

由於極限y = ^∞x （如果存在的話，即當e^−e < x < e^1/e）必定滿足x^y = y，因而得出x ↦ y = ^∞x 是y ↦ x = y^1/y 的反函數（較低枝）。

（有限地）推廣至負高

為了維持原有法則：

${\displaystyle {^{(k+1)}a}=a^{({^{k}a})}}$

當${\displaystyle k}$ 為負值時，必須用到以下的遞迴關係：

${\displaystyle {^{k}a}=\log _{a}\left({^{(k+1)}a}\right)}$

所以：

${\displaystyle {}^{(-1)}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0}$

不過，當高度值為更小的負值時就不能以此方法良好地定義出來了，因為

${\displaystyle {}^{(-2)}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0}$

這是定義不良好的。

更要注意的是，當${\displaystyle a=1}$ 時，任何根據法則對於${\displaystyle \,\!{^{(-1)}1}}$ 的定義都是一致的，因為

${\displaystyle {^{0}1}=1=1^{n}}$ 對於任何 ${\displaystyle \,\!n={^{(-1)}1}}$。

推廣至實高

當前還未有對於推廣迭代冪次至${\displaystyle n}$ 為實數或複數值的共識解。以下提到了兩種不同的逼近法。

一般來說，問題在於對任何實數a > 0，找出一個能滿足以下條件的超冪函數 ${\displaystyle \,f(x)={}^{x}a}$ ，當中${\displaystyle x>-2}$ 並為實數：

• ${\displaystyle \,{}^{(-1)}a=0}$
• ${\displaystyle \,{}^{0}a=1}$
• ${\displaystyle \,{}^{x}a=a^{\left({}^{(x-1)}a\right)}}$ 對所有實數x > -1。
• 第四個條件通常為以下其中一個：

• A的連續性 需要（通常是指在a 和x 皆可變時，${\displaystyle {}^{x}a}$ 為連續，當中${\displaystyle x>0}$）。
• A的可微性 需要（可以是對於x 一次、二次、k 次，或是無窮可微）。
• A的規律性 需要（僅當對於x 二次可微），即是：

${\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)>0\right)}$ 對於所有${\displaystyle x>0}$

對於第四個條件，不同的編者有不同的說法，而且亦視乎於採用何種逼近法。對於把迭代冪次推廣至實高，有兩種主要的逼近法，一種是建基於規律性 需要，另一種則建基於可微性 需要。這兩種逼近法似乎十分相異，皆因它們所得出的結果並不相符。

幸運地，任何在一段長度的區間內滿足到其中一種逼近法的解，皆能被推廣為一個對於所有正實數高度值的迭代冪次的通解。當${\displaystyle \,{}^{x}a}$ 在一段長度的區間內被定義，對任何${\displaystyle x>-2}$，整個函數的後續將能被輕易地定義出來。

其中一個簡單的推廣方式為：

${\displaystyle a[n]b=c}$

若且唯若${\displaystyle c[n]({\frac {1}{b}})=a,n>1}$ ^[5]。可以判斷，當${\displaystyle n=2}$、${\displaystyle n=3}$時，乘法和冪次成立：${\displaystyle a\times b=c}$ 若且唯若${\displaystyle c\times ({\frac {1}{b}})=a}$;${\displaystyle a^{b}=c}$ 若且唯若${\displaystyle c^{\frac {1}{b}}=a}$

舉例，當${\displaystyle n=4}$ 時, 計算 ${\displaystyle {}^{\frac {1}{2}}256}$ 和 ${\displaystyle {}^{\frac {3}{4}}256}$ ： ${\displaystyle {}^{2}4=4^{4}=256}$, 則 ${\displaystyle {}^{\frac {1}{2}}256=4}$。 ${\displaystyle {}^{3}2={2}^{{2}^{2}}=16}$,則${\displaystyle {}^{\frac {1}{3}}16=2}$； 由 256= 16^2 = 16^(16^^(1/3)) = 16^^(1+1/3) = 16^^(4/3) 得 256^^(3/4) = 16。

推廣至複高

以下為有關猜想^[6]：函數F 為方程式F(z+1)=exp(F(z)) 的解並滿足以下附加條件：當z逼近於±i ∞及F 在整個複數z 平面當中為全純函數，F(0)=1 及F(z)逼近於對數的不動點 （大約為 0.31813150520476413531 ± 1.33723570143068940890i）。

相關條目

• 阿克曼函數
• 超運算

參考資料

1. M. H. Hooshmand,. Ultra power and ultra exponential functions. Integral Transforms and Special Functions. 2006, 17 (8): 549–558. doi:10.1080/10652460500422247.
2. Ioannis Galidakis. On Extending hyper4 and Knuth’s Up-arrow Notation to the Reals （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
3. Power Verb. J Vocabulary. J Software. [28 October 2011]. （原始內容存檔於2021-05-06）.
4. Andrew Robbins. Solving for the Analytic Piecewise Extension of Tetration and the Super-logarithm （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
5. 崔雷. 幂指函数的推广及其猜想. 科協論壇. 2011, (1): 96.
6. D. Kouznetsov. Solution of ${\displaystyle F(z+1)=\exp(F(z))}$ in complex ${\displaystyle z}$-plane (PDF). Mathematics of Computation. July 2009, 78 (267): 1647–1670. doi:10.1090/S0025-5718-09-02188-7.

• Daniel Geisler, tetration.org （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Ioannis Galidakis, On extending hyper4 to nonintegers (undated, 2006 or earlier) (A simpler, easier to read review of the next reference)
• Ioannis Galidakis, On Extending hyper4 and Knuth's Up-arrow Notation to the Reals (undated, 2006 or earlier).
• Robert Munafo, Extension of the hyper4 function to reals （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） (An informal discussion about extending tetration to the real numbers.)
• Lode Vandevenne, Tetration of the Square Root of Two （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, (2004). (Attempt to extend tetration to real numbers.)
• Ioannis Galidakis, Mathematics, (Definitive list of references to tetration research. Lots of information on the Lambert W function, Riemann surfaces, and analytic continuation.)
• Galidakis, Ioannis and Weisstein, Eric W. Power Tower （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Joseph MacDonell, Some Critical Points of the Hyperpower Function （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.
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• R. Knobel. "Exponentials Reiterated." American Mathematical Monthly 88, (1981), p. 235-252.
• Hans Maurer. "Über die Funktion ${\displaystyle y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}}$ für ganzzahliges Argument (Abundanzen)." Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4, (1901), p. 33-50. (Reference to usage of ${\displaystyle \ {^{n}a}}$ from Knobel's paper.)
• Marco Ripà, "La strana coda della serie n^n^...^n", Trento (2011). ISBN 9788861787896

外部連結

• Andrew Robbins' site on tetration
• Daniel Geisler's site on tetration （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Tetration Forum （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• tetration at citizendium （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Gottfried Helms' site on tetration （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）