疊代函數

在數學中，疊代函數^[1]是在碎形和動力系統中深入研究的對象。疊代函數是重複的與自身複合的函數，這個過程叫做疊代。

定義

在集合 ${\displaystyle X}$ 上的疊代函數的形式定義為:

設 ${\displaystyle X}$ 是集合和 ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ 是函數。定義 ${\displaystyle f}$ 的 ${\displaystyle n}$ 次疊代 ${\displaystyle f^{n}}$ 為 ${\displaystyle f^{0}=\operatorname {id} _{X}}$ 而 ${\displaystyle f^{n+1}=f\circ f^{n}}$，這裏的 ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$ 是在 ${\displaystyle X}$ 上的恆等函數。

在上述中，${\displaystyle f\circ g}$ 指示函數複合；就是說 ${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))}$。

換句話說，疊代函數也可以表示為以下的形式：

${\displaystyle f^{n}(x)={\underbrace {f(f(f(...f(f} _{n}}(x))...)))}$

${\displaystyle f^{0}(x)}$定義為${\displaystyle x}$。

${\displaystyle f^{-n}(x)}$定義為${\displaystyle f^{n}(x)}$的反函數。（如果${\displaystyle f^{n}(x)}$的反函數不存在，則${\displaystyle f^{-n}(x)}$也不存在）

因此，${\displaystyle f^{1}(x)}$就是${\displaystyle f(x)}$，${\displaystyle f^{2}(x)}$是${\displaystyle f(f(x))}$，${\displaystyle f^{0}(x)}$是恆等函數${\displaystyle x}$，${\displaystyle f^{-1}(x)}$是${\displaystyle f(x)}$的反函數（如果存在的話），而${\displaystyle f^{\frac {1}{2}}(x)}$就是能夠使得合成函數${\displaystyle g(g(x))}$正好是${\displaystyle f(x)}$的函數${\displaystyle g(x)}$。

注意，一般情況下，${\displaystyle f^{n}(x)}$並不等於${\displaystyle (f(x))^{n}}$或${\displaystyle f(x^{n})}$，而例如${\displaystyle \sin ^{-1}(x)}$是${\displaystyle \sin(x)}$的反函數，亦即${\displaystyle \arcsin(x)}$，而不是${\displaystyle {\frac {1}{\sin(x)}}=\csc(x)}$。

例

一些特殊函數的冪次為（其中${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle n}$可為任意複數，亦即${\displaystyle a,b,n\in \mathbb {C} }$）：

${\displaystyle f(x)=a}$，${\displaystyle f^{n}(x)=a{\text{ if }}n\in \mathbb {R} \land n>0,f^{n}(x)=x{\text{ if }}n=0}$（在${\displaystyle n}$是負實數或虛數的時候並沒有定義，就好比${\displaystyle 0^{n}}$在${\displaystyle n}$是負實數或虛數的時候也沒有定義）

${\displaystyle f(x)=x+a}$，${\displaystyle f^{n}(x)=x+na}$

${\displaystyle f(x)=ax}$，${\displaystyle f^{n}(x)=a^{n}x}$

${\displaystyle f(x)=x^{a}}$，${\displaystyle f^{n}(x)=x^{a^{n}}}$（注意疊代冪次要由右往左算）

${\displaystyle f(x)=ax+b}$，${\displaystyle f^{n}(x)=a^{n}x+{\frac {a^{n}-1}{a-1}}b}$（${\displaystyle a\neq 1}$）

${\displaystyle f(x)=bx^{a}}$，${\displaystyle f^{n}(x)=b^{\frac {a^{n}-1}{a-1}}x^{a^{n}}}$（${\displaystyle a\neq 1}$）

（注意任何非零複數的任何複數次方都有定義：${\displaystyle a^{n}=e^{n\ln a}=e^{{\text{Re}}(n\ln a)}(\cos({\text{Im}}(n\ln a)+i\sin({\text{Im}}(n\ln a))}$，當${\displaystyle a}$為負實數或虛數時，${\displaystyle \ln(a)=\ln(|a|)+i{\text{arg}}(a)}$，其中${\displaystyle |a|}$為複數${\displaystyle a}$的絕對值，${\displaystyle {\text{arg}}(a)}$為複數${\displaystyle a}$的主幅角，${\displaystyle {\text{Re}}(a)}$為複數${\displaystyle a}$的實部，${\displaystyle {\text{Im}}(a)}$為複數${\displaystyle a}$的虛部）

函數冪亦有類似指數律的定理，其中${\displaystyle m}$、${\displaystyle n}$可為任意複數，亦即${\displaystyle m,n\in \mathbb {C} }$：

${\displaystyle f^{m}(f^{n}(x))=f^{m+n}(x)}$

${\displaystyle (f^{m})^{n}(x)=f^{mn}(x)}$

注意函數的合成是不可交換的（${\displaystyle gf(x)}$並不一定等於${\displaystyle fg(x)}$）但因為可結合（${\displaystyle h(gf)(x)}$一定等於${\displaystyle (hg)f(x)}$），所以會符合冪結合性，因此這兩條「函數冪的指數律」並沒有任何問題。

這跟例如指數拓展到次方為負整數、分數、無理數、複數，以及階乘運算跟排列組合運算${\displaystyle P_{n}^{m}}$、${\displaystyle C_{n}^{m}}$拓展到非整數和負數時（使用伽瑪函數）一樣，二項式定理也可以用這種方式拓展到負整數、分數、無理數、複數，只是會變成無窮級數而不再是有限級數而已，包括矩陣的${\displaystyle n}$次方以及微分${\displaystyle n}$次（${\displaystyle n}$為負整數時等同於積分${\displaystyle -n}$次），也都可以用這種方式，把${\displaystyle n}$拓展到任意複數，或例如已知「首項」、「公差/公比」、「項數」的等差數列或等比數列要求出全部項的和或乘積的公式，也都可以用這種方式，拓展到項數為負整數、分數、無理數、複數的情況（包括一般的${\displaystyle \sum _{x=m}^{n}f(x)}$與${\displaystyle \prod _{x=m}^{n}f(x)}$中，${\displaystyle f(x)}$為常見的函數如多項式函數、指數函數、對數函數、三角函數的時候，${\displaystyle m}$跟${\displaystyle n}$也能拓展到任意複數，就跟積分式${\displaystyle \int _{m}^{n}f(x)}$一樣），至於超運算${\displaystyle a[n]b}$能不能拓展到分數、無理數或複數，則是數學中未解決的問題之一。

從疊代建立序列

函數 ${\displaystyle f^{n}}$ 的序列叫做 Picard 序列，得名於埃米爾·皮卡。對於一個給定 ${\displaystyle x\in X}$，${\displaystyle f^{n}(x)}$ 的值的序列叫做 ${\displaystyle x}$ 的軌道。

如果對於某個整數 ${\displaystyle m}$ 有 ${\displaystyle f^{n}(x)=f^{n+m}(x)}$，則軌道叫做周期軌道。對於給定 ${\displaystyle x}$ 最小的這種 ${\displaystyle m}$ 值叫做軌道的周期。點 ${\displaystyle x}$ 自身叫周期點。

不動點

如果m=1，就是說如果對於某個X中的x有f(x) = x，則x被稱為疊代序列的不動點。不動點的集合經常指示為Fix（f）。存在一些不動點定理保證在各種情況下不動點的存在性，包括巴拿赫不動點定理和Brouwer不動點定理。

有很多技術通過不動點疊代（英語：Fixed-point iteration）產生了序列收斂加速。例如，應用於一個疊代不動點的Aitken方法叫做Steffensen方法，生成二次收斂。 不動點理論同樣也適用於經濟學領域。

極限行為

通過疊代，可以發現有向一個單一點收縮和會聚的一個集合。在這種情況下，會聚到的這個點叫做吸引不動點。反過來說，疊代也可以表現得從一個單一點發散；這種情況叫不穩定不動點。

當軌道的點會聚於一個或多個極限的時候，軌道的會聚點的集合叫做極限集合或 ω-極限集合。

吸引和排斥的想法類似推廣；依據在疊代下小鄰域行為，可把疊代分類為穩定集合和不穩定集合。

其他極限行為也有可能；比如，遊蕩點是總是移動永不回到甚至接近起點的點。

例子

著名的疊代函數包括曼德博集合和疊代函數系統。

如果 f 是一個群元素在一個集合上的作用，則疊代函數對應於自由群。

參見

• 旋轉數（英語：Rotation number）
• Sarkovskii定理（英語：Sharkovskii's theorem）