拐點

拐點（英語：Inflection point）或稱拐點，是一條連續曲線由凸轉凹，或由凹轉凸的點，或者等價地說，是使切線穿越曲線的點。

提示：此條目頁的主題不是駐點、滯點或臨界點。

y=x³的函數圖形，原點是其拐點

反正切函數的拐點

決定曲線的拐點有助於理解曲線的外形，這在描繪曲線圖形時特別有用。

定義

若曲線圖形在一點由凸轉凹，或由凹轉凸，則稱此點為拐點。直觀地說，拐點是使切線穿越曲線的點。

若該曲線圖形的函數在某點的二階導數為零或不存在，且二階導數在該點兩側符號相反，該點即為函數的拐點。這是尋找拐點時最實用的方法之一。

拐點的必要條件

拐點的必要條件：設${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle (a,b)}$內二階可導，${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$，若${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$是曲線${\displaystyle y=f(x)}$的一個拐點，則${\displaystyle f''(x_{0})=0}$。 比如，${\displaystyle f(x)=x^{4}}$，有${\displaystyle f''(0)=0}$，但是0兩側全是凸，所以0不是函數${\displaystyle f(x)=x^{4}}$的拐點。

拐點的充分條件：設${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle (a,b)}$內二階可導，${\displaystyle f''(x_{0})=0}$，若在${\displaystyle x_{0}}$兩側附近${\displaystyle f''(x)}$異號，則點${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$為曲線的拐點。否則（即${\displaystyle f''(x_{0})}$保持同號），${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$不是拐點。

分類

拐點可以根據${\displaystyle f'(x)}$為零或不為零，進行分類：

• 如果${\displaystyle f'(x)}$為零，此點為拐點的駐點，簡稱為鞍點。
• 如果${\displaystyle f'(x)}$不為零，此點為拐點的非駐點。

例如：${\displaystyle y=x^{3}}$的點${\displaystyle (0,0)}$是一個鞍點，切線為${\displaystyle x}$軸，切線正好將圖像分為兩半。

參數曲線的拐點

平面參數曲線的拐點是使其曲率變號的點，此時曲率中心（居於曲線凹側）從曲線的一側換至另一側。

雙正則點與拐點

雙正則點是使得參數曲線的一階與二階微分（它們是向量）線性無關的點。在雙正則點上，曲線既無拐點亦非直線。在非雙正則點上曲率為零，但是不一定有變號。在尋找參數曲線的拐點時，我們通常先以微分找出非雙正則點，繼之研究其局部性狀，以判定是否為拐點。

註：某些作者偏好將拐點定義為「使一階與二階微分平行的點」，在此定義下，切線不一定在該點穿越曲線本身。

代數曲線的拐點

設${\displaystyle C}$為域${\displaystyle F}$上的平面代數曲線，其拐點定義為一平滑點${\displaystyle P\in C(F)}$，使得該點切線${\displaystyle L_{P}}$與${\displaystyle C}$在${\displaystyle P}$點的相交重數${\displaystyle \geq 3}$。

注意到一條曲線與${\displaystyle C}$在${\displaystyle P}$點相切的充要條件是相交重數${\displaystyle \geq 2}$。當${\displaystyle F=\mathbb {R} }$時，代數曲線的拐點定義等價於上節註記中的廣義定義。

參見

• 駐點
• 鞍點
• 極值

文獻

• Robin Hartshorne (1997). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9.