在經典力學 裏，拉普拉斯-龍格-楞次向量 （Laplace–Runge–Lenz vector；簡稱為LRL向量 ）主要是用來描述，當一個物體環繞着另外一個物體運動時，軌道 的形狀與取向 。典型的例子是行星的環繞着太陽公轉 。在一個物理系統裏，假若兩個物體以萬有引力 相互作用，則LRL向量必定是一個運動常數 ，不管在軌道的任何位置，計算出來的LRL向量都一樣[ 1] 保守量 。更廣義地，在刻卜勒問題 裏，由於兩個物體以連心力 相互作用，而連心力遵守平方反比定律 ，所以，LRL向量是一個保守量[ 2]
本條目中，向量 與純量 分別用粗體 與斜體 顯示。例如，位置向量通常用
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
氫原子 是由兩個帶電粒子構成的。這兩個帶電粒子以遵守庫侖定律 的靜電力 互相作用．靜電力是一個標準的平方反比 連心力 。所以，氫原子 內部的微觀運動是一個刻卜勒問題。在量子力學 的發展初期，薛定諤 還在思索他的薛定諤方程式 的時候，華夫岡·鮑利 使用LRL向量，關鍵性地推導出氫原子的發射光譜 [ 3]
在經典力學 與量子力學 裏，因為物理系統的某一種對稱性 ，會產生 一個或多個對應的保守值。LRL向量也不例外。可是，它相對應的對稱性很特別；在數學裏，刻卜勒問題等價於一個粒子自由地移動於四維空間的三維球面 [ 4] [ 5]
拉普拉斯-龍格-楞次向量是因皮埃爾-西蒙·拉普拉斯 、卡爾·龍格 與威廉·楞次 而命名。它又稱為拉普拉斯向量 ，龍格-楞次向量 ，或楞次向量 。有趣的是，LRL向量並不是這三位先生發現的！這向量曾經被重複地發現過好幾次[ 6] 天體力學 中無因次 的離心率向量 [ 7] 狹義相對論 ，或電磁場 ，甚至於不同類型的連心力 。
在重要的刻卜勒問題中，LRL向量
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
天文軌道 ，例如行星的運動。然而，物理學家對它並不熟悉，這很可能是因為與動量與角動量相比，它的物理內涵比較難以被直覺地理解。因此，在過去三個世紀裏，它曾被重複地發現過許多次[ 6] 雅各布·赫爾曼 最先發表了關於LRL向量的論文。在推導一個軌道方程式的過程中，他計算出LRL向量的大小，
A
{\displaystyle A}
[ 10] 橢圓 軌道離心率 的關係。稍後，赫爾曼把這結果告訴約翰·白努利 ，他的恩師。白努利又更進一步地推導出LRL向量的方向。這樣，LRL向量得到了它的現代形式[ 11]
在那個世紀末尾，皮埃爾-西蒙·拉普拉斯 又重新地發現了LRL向量的保守性；稍微不同地，他的導引使用的是分析方法，而不是幾何方法[ 12] 威廉·哈密頓 推導出全等的離心率向量 [ 7] 速端曲線 顯示出，粒子動量向量的頭部呈圓形移動[ 13] 約西亞·吉布斯 ，應用向量分析 ，推導出同樣的向量[ 14] 卡爾·龍格 將吉布斯的導引，納入自己所寫的一本廣受歡迎的，關於向量的，德文教科書內，成為其中的一個例題[ 15] 威廉·楞次 發表了一篇關於氫原子 的舊量子論 的論文。在這篇論文中，他引用龍格所寫的教科書的例題為參考[ 16] 沃爾夫岡·鮑利 用LRL向量與矩陣力學 ，而不是薛定諤方程式 ，來推導氫 原子 的光譜 [ 3]
角動量
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
L
i
{\displaystyle L_{i}}
帕松括號 是[ 1]
{
L
i
,
L
j
}
=
∑
s
=
1
3
ϵ
i
j
s
L
s
{\displaystyle \{L_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}
其中，指標
i
,
j
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle i,\ j=1,\ 2,\ 3}
直角座標系 的三個座標
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)}
ϵ
i
j
s
{\displaystyle \epsilon _{ijs}}
列維-奇維塔符號 ；在這裏，為了避免與力強度的標記
k
{\displaystyle k}
s
{\displaystyle s}
定義一個與LRL向量成比例的向量
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
D
=
A
2
m
|
E
|
{\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{\sqrt {2m\left|E\right|}}}}
向量
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
[ 27]
{
D
i
,
L
j
}
=
∑
s
=
1
3
ϵ
i
j
s
D
s
{\displaystyle \{D_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}D_{s}}
向量
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
雙曲線 軌道），或負值（在平方反比連心力作用下，產生閉合地橢圓 軌道）有關。假若總能量
E
{\displaystyle E}
{
D
i
,
D
j
}
=
−
∑
s
=
1
3
ϵ
i
j
s
L
s
{\displaystyle \{D_{i},D_{j}\}=-\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}
反之，假若總能量
E
{\displaystyle E}
{
D
i
,
D
j
}
=
∑
s
=
1
3
ϵ
i
j
s
L
s
{\displaystyle \{D_{i},D_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}
由於以下這三個帕松括號方程式，
{
L
i
,
L
j
}
=
∑
s
=
1
3
ϵ
i
j
s
L
s
{\displaystyle \{L_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}
{
D
i
,
L
j
}
=
∑
s
=
1
3
ϵ
i
j
s
D
s
{\displaystyle \{D_{i},L_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}D_{s}}
{
D
i
,
D
j
}
=
∑
s
=
1
3
ϵ
i
j
s
L
s
{\displaystyle \{D_{i},D_{j}\}=\sum _{s=1}^{3}\epsilon _{ijs}L_{s}}
如果總能量
E
{\displaystyle E}
旋轉群 SO(4)。
假若總能量
E
{\displaystyle E}
卡西米爾不變量
C
1
,
C
2
{\displaystyle C_{1},\ C_{2}}
C
1
=
D
⋅
D
+
L
⋅
L
=
m
k
2
2
|
E
|
{\displaystyle C_{1}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} ={\frac {mk^{2}}{2\left|E\right|}}}
C
2
=
D
⋅
L
=
0
{\displaystyle C_{2}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {L} =0}
而且，卡西米爾不變量與
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
{
C
1
,
D
i
}
=
{
C
2
,
D
i
}
=
0
{\displaystyle \{C_{1},D_{i}\}=\{C_{2},D_{i}\}=0}
還有，卡西米爾不變量與
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
{
C
1
,
L
i
}
=
{
C
2
,
L
i
}
=
0
{\displaystyle \{C_{1},L_{i}\}=\{C_{2},L_{i}\}=0}
既然兩個向量
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
C
2
{\displaystyle C_{2}}
C
1
{\displaystyle C_{1}}
m
{\displaystyle m}
k
{\displaystyle k}
E
{\displaystyle E}
C
1
{\displaystyle C_{1}}
D
i
{\displaystyle D_{i}}
L
i
{\displaystyle L_{i}}
C
1
{\displaystyle C_{1}}
量子力學 的正則對易關係 ，就可以推導出類氫原子 的原子能級 ，而不必用到的薛定諤方程式 。
圖6：從LRL向量算符與角動量算符的對易關係，預測出來的氫原子的原子能級。各種實驗都準確地證實這些能級正確無誤。 帕松括號提供了一個簡易的方法來正則量子化 經典系統。兩個量子算符 的對易關係 等於
i
ℏ
{\displaystyle i\hbar }
[ 28] 卡西米爾算符
C
1
{\displaystyle C_{1}}
本徵值 ，沃爾夫岡·包利 成功地推導出類氫原子 的原子能級 （參閱圖6），以及其發射光譜 [ 3] 薛定諤方程式 成立之前[ 29]
LRL向量
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
叉積 必須仔細地加以定義[ 27]
A
k
≡
−
m
e
α
r
^
k
+
1
2
∑
i
=
1
3
∑
j
=
1
3
ϵ
i
j
k
(
p
i
l
j
+
l
j
p
i
)
{\displaystyle A_{k}\equiv -m_{e}\alpha {\hat {r}}_{k}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\epsilon _{ijk}\left(p_{i}l_{j}+l_{j}p_{i}\right)}
其中，
m
e
{\displaystyle m_{e}}
α
=
e
2
4
π
ϵ
0
{\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}}
e
{\displaystyle e}
單位電荷量 ，
ϵ
0
{\displaystyle \epsilon _{0}}
真空電容率 。
這定義有一個特性：指標
i
,
j
{\displaystyle i,\ j}
i
,
j
{\displaystyle i,\ j}
A
k
{\displaystyle A_{k}}
A
=
−
m
e
α
r
^
+
1
2
(
p
×
L
−
L
×
p
)
{\displaystyle \mathbf {A} =-m_{e}\alpha {\hat {r}}+{\frac {1}{2}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} -\mathbf {L} \times \mathbf {p} )}
那麼，其對應的哈密頓算符 是
H
=
p
2
2
m
e
−
α
r
{\displaystyle H={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m_{e}}}-{\frac {\alpha }{r}}}
與
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
D
=
A
−
2
m
e
H
{\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{\sqrt {-2m_{e}H}}}}
請注意，由於哈密頓算符的本徵值是負值，所以公式內的平方根是個實數。
經過一番繁冗的運算，可以求得對易關係：
{
L
i
,
L
j
}
=
i
ℏ
ϵ
i
j
k
L
k
{\displaystyle \{L_{i},\,L_{j}\}=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}
{
L
i
,
D
j
}
=
i
ℏ
ϵ
i
j
k
D
k
{\displaystyle \{L_{i},\,D_{j}\}=i\hbar \epsilon _{ijk}D_{k}}
{
D
i
,
D
j
}
=
i
ℏ
ϵ
i
j
k
L
k
{\displaystyle \{D_{i},\,D_{j}\}=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}
{
H
,
D
i
}
=
0
{\displaystyle \{H,\,D_{i}\}=0}
定義第一階張量 算符 為
J
0
≡
D
3
{\displaystyle J_{0}\equiv D_{3}}
J
±
1
≡
∓
1
2
(
D
1
±
i
D
2
)
{\displaystyle J_{\pm 1}\equiv \mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(D_{1}\pm iD_{2}\right)}
一個歸一化 的第一卡西米爾算符可以同樣地定義為
C
1
≡
D
2
+
L
2
=
m
e
α
2
−
2
H
−
ℏ
2
{\displaystyle C_{1}\equiv \mathbf {D} ^{2}+\mathbf {L} ^{2}={\frac {m_{e}\alpha ^{2}}{-2H}}-\hbar ^{2}}
注意到
J
+
1
{\displaystyle J_{+1}}
J
−
1
{\displaystyle J_{-1}}
{
J
+
1
,
J
−
1
}
=
i
{
D
1
,
D
2
}
=
−
ℏ
L
3
{\displaystyle \{J_{+1},J_{-1}\}=i\{D_{1},\,D_{2}\}=-\hbar L_{3}}
應用維格納-埃卡特定理 （Wigner-Eckart theorem ），
J
0
|
l
,
m
⟩
=
i
l
2
−
m
2
C
l
|
l
−
1
,
m
⟩
−
i
(
l
+
1
)
2
−
m
2
C
l
+
1
|
l
+
1
,
m
⟩
{\displaystyle J_{0}|l,\,m\rangle =i{\sqrt {l^{2}-m^{2}}}\ {\mathfrak {C}}_{l}|l-1,\,m\rangle -i{\sqrt {(l+1)^{2}-m^{2}}}\ {\mathfrak {C}}_{l+1}|l+1,\,m\rangle }
J
+
1
|
l
,
m
⟩
=
−
i
(
l
−
m
)
(
l
−
m
−
1
)
/
2
C
l
|
l
−
1
,
m
+
1
⟩
−
i
(
l
+
m
+
1
)
(
l
+
m
+
2
)
/
2
C
l
+
1
|
l
+
1
,
m
+
1
⟩
{\displaystyle J_{+1}|l,\,m\rangle =-i{\sqrt {(l-m)(l-m-1)/2}}\ {\mathfrak {C}}_{l}|l-1,\,m+1\rangle -i{\sqrt {(l+m+1)(l+m+2)/2}}\ {\mathfrak {C}}_{l+1}|l+1,\,m+1\rangle }
J
−
1
|
l
,
m
⟩
=
−
i
(
l
+
m
)
(
l
+
m
−
1
)
/
2
C
l
|
l
−
1
,
m
−
1
⟩
−
i
(
l
−
m
+
1
)
(
l
−
m
+
2
)
/
2
C
l
+
1
|
l
+
1
,
m
−
1
⟩
{\displaystyle J_{-1}|l,\,m\rangle =-i{\sqrt {(l+m)(l+m-1)/2}}\ {\mathfrak {C}}_{l}|l-1,\,m-1\rangle -i{\sqrt {(l-m+1)(l-m+2)/2}}\ {\mathfrak {C}}_{l+1}|l+1,\,m-1\rangle }
其中，
|
l
,
m
⟩
{\displaystyle |l,\,m\rangle }
角量子數 為
l
{\displaystyle l}
磁量子數 為
l
{\displaystyle l}
本徵態 ，
C
l
{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}}
經過一番運算，
J
+
1
{\displaystyle J_{+1}}
J
−
1
{\displaystyle J_{-1}}
|
l
,
m
⟩
{\displaystyle |l,\,m\rangle }
{
J
+
1
,
J
−
1
}
|
l
,
m
⟩
=
−
m
[
(
2
l
−
1
)
C
l
2
−
(
2
l
+
3
)
C
l
+
1
2
]
|
l
,
m
⟩
=
−
ℏ
L
3
|
l
,
m
⟩
=
−
m
ℏ
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\{J_{+1},\,J_{-1}\}|l,\,m\rangle &=-m[(2l-1){\mathfrak {C}}_{l}^{2}-(2l+3){\mathfrak {C}}_{l+1}^{2}]|l,\,m\rangle \\&=-\hbar L_{3}|l,\,m\rangle =-m\hbar ^{2}\\\end{aligned}}}
。 所以，
C
l
{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}}
遞迴關係 是
(
2
l
−
1
)
C
l
2
−
(
2
l
+
3
)
C
l
+
1
2
=
ℏ
2
{\displaystyle (2l-1){\mathfrak {C}}_{l}^{2}-(2l+3){\mathfrak {C}}_{l+1}^{2}=\hbar ^{2}}
假設
C
l
2
{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}^{2}}
l
>
0
{\displaystyle l>0}
l
{\displaystyle l}
l
m
a
x
{\displaystyle l_{max}}
|
l
m
a
x
+
1
,
⟩
{\displaystyle |l_{max}+1,\,\ \rangle }
C
l
m
a
x
+
1
=
0
{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l_{max}+1}=0}
C
l
m
a
x
=
ℏ
2
2
l
m
a
x
−
1
{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l_{max}}={\frac {\hbar ^{2}}{2l_{max}-1}}}
n
=
l
m
a
x
−
1
{\displaystyle n=l_{max}-1}
C
l
{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}}
C
l
=
n
2
−
l
2
4
l
2
−
1
ℏ
{\displaystyle {\mathfrak {C}}_{l}={\sqrt {\frac {n^{2}-l^{2}}{4l^{2}-1}}}\ \hbar }
這個
n
{\displaystyle n}
主量子數 。先計算
D
2
{\displaystyle D^{2}}
D
2
|
n
,
l
,
m
⟩
=
[
J
+
1
J
−
1
+
J
−
1
J
+
1
+
J
0
2
]
|
n
,
l
,
m
⟩
=
(
n
2
−
l
2
−
l
−
1
)
ℏ
2
|
n
,
l
,
m
⟩
{\displaystyle {\begin{aligned}D^{2}|n,\,l,\,m\rangle &=[J_{+1}J_{-1}+J_{-1}J_{+1}+J_{0}^{2}]|n,\,l,\,m\rangle \\&=(n^{2}-l^{2}-l-1)\hbar ^{2}|n,\,l,\,m\rangle \\\end{aligned}}}
。 所以，第一卡西米爾算符
C
1
{\displaystyle C_{1}}
|
n
,
l
,
m
⟩
{\displaystyle |n,\,l,\,m\rangle }
C
1
|
n
,
l
,
m
⟩
=
(
D
2
+
L
2
)
|
n
,
l
,
m
⟩
=
(
n
2
−
1
)
ℏ
2
|
n
,
l
,
m
⟩
{\displaystyle C_{1}|n,\,l,\,m\rangle =(D^{2}+L^{2})|n,\,l,\,m\rangle =(n^{2}-1)\hbar ^{2}|n,\,l,\,m\rangle }
第一卡西米爾算符
C
1
{\displaystyle C_{1}}
(
n
2
−
1
)
ℏ
2
{\displaystyle (n^{2}-1)\hbar ^{2}}
l
{\displaystyle l}
m
{\displaystyle m}
原子能階 的簡併 [ 27]
E
n
=
−
m
e
α
2
2
ℏ
2
n
2
=
−
m
e
e
4
2
n
2
(
4
π
ϵ
0
)
2
ℏ
2
{\displaystyle E_{n}=-{\frac {m_{e}\alpha ^{2}}{2\hbar ^{2}n^{2}}}=-{\frac {m_{e}e^{4}}{2n^{2}(4\pi \epsilon _{0})^{2}\hbar ^{2}}}}
這就是著名的氫原子 玻爾公式 。
圖8：圖7的動量的速端曲線對應於
η
{\displaystyle \eta }
三維單位球 的大圓線 的球極平面投影 。每一個大圓線都與
η
x
{\displaystyle \eta _{x}}
w
{\displaystyle w}
η
x
{\displaystyle \eta _{x}}
η
x
{\displaystyle \eta _{x}}
α
{\displaystyle \alpha }
離心率
e
=
s
i
n
α
{\displaystyle e=sin\ \alpha }
刻卜勒問題 與四維旋轉對稱性SO(4)的關聯可以很容易地觀察出來[ 31] [ 33] [ 34] 直角座標 為
(
w
,
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (w,\ x,\ y,\ z)}
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
三維單位球 的四維向量
η
{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}
η
=
p
2
−
p
0
2
p
2
+
p
0
2
w
^
+
2
p
0
p
2
+
p
0
2
p
{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}=\displaystyle {\frac {p^{2}-p_{0}^{2}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {2p_{0}}{p^{2}+p_{0}^{2}}}\mathbf {p} }
； 其中，
w
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {w}} }
很簡單地，可以核對
η
{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}
η
=
η
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}={\hat {\boldsymbol {\eta }}}}
從
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
η
^
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}
映射 有一個獨特唯一的逆反；例如，動量
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
p
x
=
p
0
η
x
1
−
η
w
{\displaystyle p_{x}=p_{0}{\frac {\eta _{x}}{1-\eta _{w}}}}
p
y
{\displaystyle p_{y}}
p
z
{\displaystyle p_{z}}
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
η
^
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}}
球極平面投影 ，其比例因子為
p
0
{\displaystyle p_{0}}
選擇一個合適的直角座標，使z-軸與角動量
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
取向 如同圖7，圓心包含於y-軸。這樣，不失廣義性，就可以觀察到這旋轉對稱性。由於粒子的運動包含於一個平面，
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
p
z
=
η
z
=
0
{\displaystyle p_{z}=\eta _{z}=0}
η
^
=
(
η
w
,
η
x
,
η
y
)
{\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\eta }}}=(\eta _{w},\ \eta _{x},\ \eta _{y})}
阿波羅尼奧斯圓 家族對應於在三維單位球
η
{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}
大圓線 家族。每一個大圓線與
η
x
{\displaystyle \eta _{x}}
η
x
=
±
1
{\displaystyle \eta _{x}=\pm 1}
p
x
=
±
p
0
{\displaystyle p_{x}=\pm p_{0}}
η
x
{\displaystyle \eta _{x}}
η
x
{\displaystyle \eta _{x}}
η
x
η
y
{\displaystyle \eta _{x}\eta _{y}}
α
{\displaystyle \alpha }
取任意一個大圓線
η
y
{\displaystyle \eta _{y}}
(
η
w
,
0
,
η
y
,
0
)
{\displaystyle (\eta _{w},\ 0,\ \eta _{y},\ 0)}
p
x
=
0
{\displaystyle p_{x}=0}
p
y
=
p
=
(
A
+
m
k
)
/
L
{\displaystyle p_{y}=p=(A+mk)/L}
η
y
=
cos
(
α
)
=
2
p
0
p
y
p
y
2
+
p
0
2
{\displaystyle \eta _{y}=\cos(\alpha )={\frac {2p_{0}p_{y}}{p_{y}^{2}+p_{0}^{2}}}}
經過一番運算，代入
p
0
{\displaystyle p_{0}}
sin
(
α
)
=
p
y
2
−
p
0
2
p
y
2
+
p
0
2
=
(
A
+
m
k
)
2
−
2
m
|
E
|
L
2
(
A
+
m
k
)
2
+
2
m
|
E
|
L
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha )&={\frac {p_{y}^{2}-p_{0}^{2}}{p_{y}^{2}+p_{0}^{2}}}\\&={\frac {(A+mk)^{2}-2m|E|L^{2}}{(A+mk)^{2}+2m|E|L^{2}}}\\\end{aligned}}}
。 給予一個束縛軌道，能量是負值的：
sin
(
α
)
=
(
A
+
m
k
)
2
+
2
m
E
L
2
(
A
+
m
k
)
2
−
2
m
E
L
2
=
A
m
k
=
e
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha )&={\frac {(A+mk)^{2}+2mEL^{2}}{(A+mk)^{2}-2mEL^{2}}}\\&={\frac {A}{mk}}=e\\\end{aligned}}}
。 所以，離心率
e
=
sin
(
α
)
{\displaystyle e=\sin(\alpha )}
α
{\displaystyle \alpha }
正弦函數 。
由於圖7的動量的速端曲線對應於
η
{\displaystyle \eta }
η
w
{\displaystyle \eta _{w}}
採用橢圓柱坐標
χ
,
ψ
,
ϕ
{\displaystyle \chi ,\ \psi ,\ \phi }
η
{\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}
作用量-角度座標 解答[ 35]
η
w
=
c
n
χ
c
n
ψ
{\displaystyle \eta _{w}=\mathrm {cn} \,\chi \ \mathrm {cn} \,\psi }
η
x
=
s
n
χ
d
n
ψ
cos
ϕ
{\displaystyle \eta _{x}=\mathrm {sn} \,\chi \ \mathrm {dn} \,\psi \ \cos \phi }
η
y
=
s
n
χ
d
n
ψ
sin
ϕ
{\displaystyle \eta _{y}=\mathrm {sn} \,\chi \ \mathrm {dn} \,\psi \ \sin \phi }
η
z
=
d
n
χ
s
n
ψ
{\displaystyle \eta _{z}=\mathrm {dn} \,\chi \ \mathrm {sn} \,\psi }
其中，
s
n
,
c
n
,
d
n
{\displaystyle \mathrm {sn} ,\,\mathrm {cn} ,\,\mathrm {dn} }
雅可比橢圓函數 。
以下幾種導引可以証明，在平方反比連心力下，LRL向量守恆。
LRL向量的保守性與前面所提的旋轉對稱性，兩者之間的關係，可以用諾特定理 來做連結分析。諾特定理也可以用來辨明LRL向量是運動常數 。諾特定理表明[ 37] 廣義坐標
q
i
{\displaystyle q_{i}}
δ
q
i
=
ϵ
g
i
(
q
,
q
˙
,
t
)
{\displaystyle \delta q_{i}=\epsilon g_{i}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {\dot {q}} ,\ t)}
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
拉格朗日量
L
{\displaystyle {\mathcal {L}}}
變分
δ
L
{\displaystyle \delta {\mathcal {L}}}
δ
L
=
ϵ
d
d
t
G
(
q
,
t
)
{\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\epsilon {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}G(\mathbf {q} ,\ t)}
則必存在保守量
Γ
{\displaystyle \Gamma }
Γ
=
−
G
+
∑
i
g
i
(
∂
L
∂
q
˙
i
)
{\displaystyle \Gamma =-G+\sum _{i}g_{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\right)}
其中，
g
i
(
q
,
q
˙
,
t
)
{\displaystyle g_{i}(\mathbf {q} ,\ \mathbf {\dot {q}} ,\ t)}
G
(
q
,
t
)
{\displaystyle G(\mathbf {q} ,\ t)}
更具體地，在一個刻卜勒問題裏，試設定坐標
x
i
{\displaystyle x_{i}}
δ
x
i
=
ϵ
2
[
2
p
i
x
s
−
x
i
p
s
−
(
r
⋅
p
)
δ
i
s
]
{\displaystyle \delta x_{i}={\frac {\epsilon }{2}}\left[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} )\delta _{is}\right]}
其中，
i
=
1
,
2
,
3
{\displaystyle i=1,\ 2,\ 3}
x
i
{\displaystyle x_{i}}
p
i
{\displaystyle p_{i}}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
i
{\displaystyle i}
δ
i
s
{\displaystyle \delta _{is}}
克羅內克爾δ ，
s
{\displaystyle s}
由於刻卜勒問題的拉格朗日量是
L
=
∑
i
(
1
2
m
x
˙
i
x
˙
i
)
+
k
r
{\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{i}\right)+{\frac {k}{r}}}
其運動方程式 為
m
x
¨
i
+
k
x
i
r
3
=
0
{\displaystyle m{\ddot {x}}_{i}+k{\frac {x_{i}}{r^{3}}}=0}
對應於坐標
x
i
{\displaystyle x_{i}}
x
˙
i
{\displaystyle {\dot {x}}_{i}}
δ
x
˙
i
=
ϵ
2
[
2
p
˙
i
x
s
−
x
i
p
˙
s
+
p
i
x
˙
s
−
p
2
m
δ
i
s
−
(
r
⋅
p
˙
)
δ
i
s
]
=
ϵ
2
[
−
k
r
3
x
i
x
s
+
p
i
x
˙
s
−
p
2
m
δ
i
s
+
k
r
δ
i
s
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\dot {x}}_{i}&={\frac {\epsilon }{2}}\left[2{\dot {p}}_{i}x_{s}-x_{i}{\dot {p}}_{s}+p_{i}{\dot {x}}_{s}-{\frac {p^{2}}{m}}\delta _{is}-(\mathbf {r} \cdot {\dot {\mathbf {p} }})\delta _{is}\right]\\&={\frac {\epsilon }{2}}\left[-{\frac {k}{r^{3}}}x_{i}x_{s}+p_{i}{\dot {x}}_{s}-{\frac {p^{2}}{m}}\delta _{is}+{\frac {k}{r}}\delta _{is}\right]\\\end{aligned}}}
。 拉格朗日量取至一階的變分是
δ
L
=
∑
i
(
∂
L
∂
x
i
δ
x
i
+
∂
L
∂
x
˙
i
δ
x
˙
i
)
=
∑
i
(
−
k
x
i
r
3
δ
x
i
+
m
x
˙
i
δ
x
˙
i
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\mathcal {L}}&=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}\delta x_{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}\delta {\dot {x}}_{i}\right)\\&=\sum _{i}\left(-{\frac {kx_{i}}{r^{3}}}\delta x_{i}+m{\dot {x}}_{i}\delta {\dot {x}}_{i}\right)\\\end{aligned}}}
。 代入
δ
x
i
{\displaystyle \delta x_{i}}
δ
x
˙
i
{\displaystyle \delta {\dot {x}}_{i}}
δ
L
=
ϵ
m
k
d
d
t
(
x
s
r
)
{\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=\epsilon mk{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {x_{s}}{r}}\right)}
再代入保守量
Γ
{\displaystyle \Gamma }
Γ
=
p
2
x
s
−
p
s
(
r
⋅
p
)
−
m
k
x
s
r
=
[
p
×
L
−
m
k
r
^
]
s
{\displaystyle \Gamma =p^{2}x_{s}-p_{s}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)-{\frac {mkx_{s}}{r}}=\left[\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk{\hat {\mathbf {r} }}\right]_{s}}
而這正是LRL向量的
s
{\displaystyle s}
A
s
{\displaystyle A_{s}}
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![{\displaystyle {\begin{aligned}\{J_{+1},\,J_{-1}\}|l,\,m\rangle &=-m[(2l-1){\mathfrak {C}}_{l}^{2}-(2l+3){\mathfrak {C}}_{l+1}^{2}]|l,\,m\rangle \\&=-\hbar L_{3}|l,\,m\rangle =-m\hbar ^{2}\\\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/844f6c9eb531cf97779cc113427ad90f87abc09b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}D^{2}|n,\,l,\,m\rangle &=[J_{+1}J_{-1}+J_{-1}J_{+1}+J_{0}^{2}]|n,\,l,\,m\rangle \\&=(n^{2}-l^{2}-l-1)\hbar ^{2}|n,\,l,\,m\rangle \\\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b11aedb31d3da0ceaa1e7beb862334c35c60338)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\times \mathbf {L} =f(\mathbf {r} )\mathbf {\hat {r}} \times \left(\mathbf {r} \times m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)=f(\mathbf {r} ){\frac {m}{r}}\left[\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right)-r^{2}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/936371c73c7d3c5aa64ce9cce60acfa9ad3e0c18)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=-mf(\mathbf {r} )r^{2}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}-{\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}\right]=-mf(\mathbf {r} )r^{2}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4414eb629de2e805e7a71bc5e445f5764d7f3361)
![{\displaystyle \delta x_{i}={\frac {\epsilon }{2}}\left[2p_{i}x_{s}-x_{i}p_{s}-(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} )\delta _{is}\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d576618d8d95e8b107f68fad05752a6f43b469a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\delta {\dot {x}}_{i}&={\frac {\epsilon }{2}}\left[2{\dot {p}}_{i}x_{s}-x_{i}{\dot {p}}_{s}+p_{i}{\dot {x}}_{s}-{\frac {p^{2}}{m}}\delta _{is}-(\mathbf {r} \cdot {\dot {\mathbf {p} }})\delta _{is}\right]\\&={\frac {\epsilon }{2}}\left[-{\frac {k}{r^{3}}}x_{i}x_{s}+p_{i}{\dot {x}}_{s}-{\frac {p^{2}}{m}}\delta _{is}+{\frac {k}{r}}\delta _{is}\right]\\\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/981d787295666d54338a8c532c0ae083c05a11da)
![{\displaystyle \Gamma =p^{2}x_{s}-p_{s}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)-{\frac {mkx_{s}}{r}}=\left[\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk{\hat {\mathbf {r} }}\right]_{s}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6ef928dbc05f2d2e0f957970239c5825369a218)
![{\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {A} +{\frac {mq}{2}}\left[\left(\mathbf {r} \times \mathbf {E} \right)\times \mathbf {r} \right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7580676c243ced8662d593f4ed5501154e3e120c)
![{\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)+\left[\xi -u\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\right]L^{2}\mathbf {\hat {r}} }](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb741e61862a023b299aa91f564340970424eb29)
