鏡射 (數學)

在數學中，鏡射是把一個物體變換成它的鏡像的映射。要鏡射一個平面圖形，需要「鏡子」是一條直線（鏡射軸），對於三維空間中的鏡射就要使用平面作為鏡子。鏡射有時被認為是圓反演的特殊情情況，參考圓有無限半徑。

在針對一個軸的鏡射之後的針對另一個平行於前一個軸的軸的鏡射導致是平移的總和運動

在針對一個軸的鏡射之後的針對不平行於前一個軸的鏡射導致是繞兩個軸的交點的旋轉的一個總和運動

在幾何上說，要找到一個點的鏡射，可從這個點向鏡射軸畫一條垂線。並在另一邊延續相同的距離。要找到一個圖形的鏡射，需要鏡射這個圖形的每個點。

兩次鏡射回到原來的地方。鏡射保持在點之間的距離。鏡射不移動在鏡子上的點，鏡子的維數比發生鏡射的空間的維數要小1。這些觀察允許我們形式化鏡射的定義：鏡射是歐幾里得空間的對合等距同構，它的不動點集合是余維數為1的仿射子空間。

在經歷特定鏡射後不改變的圖形被稱為有鏡射對稱性。

密切關聯於鏡射的是斜鏡射和圓反演。這些變換仍對合於有餘維數1的不動點的集合，但它們不再是等距的。

豪斯霍爾德變換

主條目：豪斯霍爾德變換

給定在歐幾里得空間Rⁿ中的一個向量a，在通過原點的正交於a的超平面中的鏡射的公式是

${\displaystyle \mathrm {Ref} _{a}(v)=v-2{\frac {v\cdot a}{a\cdot a}}a}$

這裏的v·a指示v和a的點積。注意在上面等式中的第二項就是v在a上的投影的兩倍。可以輕易的檢查

• Ref_a(v) = − v，如果v平行於a，
• Ref_a(v) = v，如果v垂直於a。

因為這些鏡射是歐幾里得空間的固定原點的等距同構，它們可以表示為正交矩陣。對應於上面鏡射的正交矩陣是有如下元素的矩陣

${\displaystyle R_{ij}=\delta _{ij}-2{\frac {a_{i}a_{j}}{\|a\|^{2}}}}$

這裏的δ_ij是克羅內克δ。

在仿射超平面${\displaystyle v\cdot a=c}$中的鏡射的公式是

${\displaystyle \mathrm {Ref} _{a,c}(v)=v-2{\frac {v\cdot a-c}{a\cdot a}}a.}$

任何一個Rⁿ中正交變換都能寫成一些鏡射的複合，且映射的個數可以不多於n個，這是嘉當-迪厄多內定理的結論。對於不定空間R^p,q也是成立的。

參見

• 坐標旋轉和鏡射
• 鏡射旋轉
• 旋轉
• 反演
• 平移
• 點反演
• 縮放

外部連結

• Reflection in Line（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at cut-the-knot