當且僅當

當且僅當（英語：if and only if，iff），在數碼邏輯中，邏輯算符反異或閘（英語：Exclusive NOR）是對兩個運算元的一種邏輯分析類型，符號為XNOR或ENOR或${\displaystyle \Leftrightarrow }$。與一般的邏輯或非NOR不同，當兩兩數值相同為是，而數值不同時為否。在數學、哲學、邏輯學以及其他一些技術性領域中被用來表示「在這個條件成立，並且僅在這個條件成立時」之意。當命題${\displaystyle p,q}$滿足「當${\displaystyle p}$則${\displaystyle q}$」且「僅當${\displaystyle p}$則${\displaystyle q}$」時，稱為「當且僅當${\displaystyle p}$則${\displaystyle q}$」，其他等價的說法有「${\displaystyle q}$當且僅當${\displaystyle p}$^{[註 1]}」；「${\displaystyle p}$是${\displaystyle q}$的充分必要條件（充要條件）」；「${\displaystyle p}$等價於${\displaystyle q}$」。

「當且僅當」的各地常用名稱
中國大陸	當且僅當
臺灣	若且唯若
港澳	當且僅當

↔⇔≡
當且僅當的邏輯符號

一般而言，當我們看到「當且僅當${\displaystyle p}$則${\displaystyle q}$」，我們可以知道「如果${\displaystyle p}$成立時，則${\displaystyle q}$一定成立；如果${\displaystyle q}$成立時，則${\displaystyle p}$也一定成立」；「如果${\displaystyle p}$不成立時，則${\displaystyle q}$一定不成立；如果${\displaystyle q}$不成立時，則${\displaystyle p}$也一定不成立」。

當且僅當

標記

與此相對應的邏輯符號是${\displaystyle \leftrightarrow }$和${\displaystyle \Leftrightarrow }$。這兩個通常被當作是相等的。但是，一些數學教科書，特別是那些關於一階邏輯而非命題邏輯對此有所區別，在那裏前者被用來表示邏輯公式，後者表示那些公式的推理（譬如說在元邏輯中）。

證明

設${\displaystyle p}$與${\displaystyle q}$為兩命題，在證明「當且僅當${\displaystyle p}$則${\displaystyle q}$」時，這相當於去同時證明陳述「如果${\displaystyle p}$成立，則${\displaystyle q}$成立」和「如果${\displaystyle q}$成立，則${\displaystyle p}$成立」。另外，也可以證明「如果${\displaystyle p}$成立，則${\displaystyle q}$成立」和「如果${\displaystyle p}$不成立，則${\displaystyle q}$不成立」，後者作為對偶，等價於「如果${\displaystyle q}$成立，則${\displaystyle p}$成立」。

有關英語縮寫iff的開端

在出版物中，英語iff的表示標記最早出現在約翰·L·凱利的《一般拓撲學》中。它的發明通常被認為是歸於數學家保羅·哈爾莫斯，但在哈爾莫斯的自傳中卻聲明該標記另有出處，他只是首先在數學領域使用^[1]。

「當」與「當且僅當」

簡單地，如下的兩個例子可以說明這兩者的不同：

1. 當雪糕是香草口味的，小王會吃。

   換言之：如果雪糕是香草口味的，那麼小王一定會吃。

2. 當且僅當雪糕是香草口味的，小王會吃。

   換言之：如果雪糕是香草口味的，那麼小王一定會吃；且如果小王有吃雪糕，那麼雪糕一定是香草口味的。

第1句指小王一定會吃香草口味的雪糕，但沒有排除他會吃香草口味以外雪糕的可能性，能肯定的是他不會拒絕香草口味的雪糕。

第2句指小王一定吃且只吃香草口味的，他不會吃其它口味的雪糕。

進一步的思考

用「當且僅當」連接兩個句子造成的句子被稱為是「雙條件句」。「當且僅當」把兩個句子結合成新的句子。它不應該跟描述兩個句子之間關係的「邏輯等價」混淆。

雙條件句「當且僅當${\displaystyle p}$則${\displaystyle q}$」，是用${\displaystyle p}$和${\displaystyle q}$來陳述${\displaystyle p}$和${\displaystyle q}$所描述的事件狀況之間的關係。

相對照的，「${\displaystyle p}$邏輯等價於${\displaystyle q}$」則注重兩個句子：它只是陳述兩個句子之間的關係，而不是它們所介紹的什麼事情。

這裏的區別非常容易混淆，已經使得很多哲學家迷惑。當然，在「${\displaystyle p}$邏輯等價於${\displaystyle q}$」時，「當且僅當${\displaystyle p}$則${\displaystyle q}$」為真，但是它的逆並不成立。讓我們重新考慮上面的句子：

• 當且僅當雪糕是香草口味，則小王會吃這個雪糕。

很清楚，對於這個特定的雙條件句，兩個半句之間並沒有邏輯等價。^[2]

在哲學和邏輯學中，「當且僅當」通常用作定義，因為定義被認為是全稱量化的雙條件句。但在數學中，相比起「當且僅當」，如果通常被用於定義。這裏給出一些使用到「當且僅當的」真陳述，也是真雙條件句（第一句是一個定義的例子）：

• 當且僅當一個人是未婚且可結婚的男人，則他是單身男性。
• 當且僅當${\displaystyle x=1}$，則${\displaystyle x+1=2}$。
• 對於任意命題${\displaystyle p,q,r}$，當且僅當${\displaystyle (p\land q)\land r}$，則${\displaystyle p\land (q\land r)}$。

更一般的用法

「當且僅當」在邏輯領域以外，在數學出版物或者普通的談話中也會用到。如同上面所說，它指的是某個陳述是另外一個的充分必要條件。這是一個數學術語的例子。

註解

1. 直譯自q if and only if p，並不符合漢語語法。

參考文獻

1. Nicholas J. Higham. Handbook of writing for the mathematical sciences 2nd. SIAM. 1998: 24 [2012-09-28]. ISBN 978-0-89871-420-3. （原始內容存檔於2013-06-06）.
2. Quine, W. V. 《數理邏輯，第5節》.

參見

• 數學主題
• 技術主題
• 哲學主題
• 語言主題

• 充分必要條件
• 等價關係
• 等價符號