C*-代數

泛函分析中，C^*-代數（或讀作「C星代數」）是配備了滿足伴隨性質的對合的巴拿赫代數。典型例子是滿足以下兩個性質的複希爾伯特空間上連續線性算子的複代數A：

• A是算子範數拓撲中的拓撲閉集。
• A是算子伴隨運算下的閉集。

另一類非常重要的C^*-代數包括X上的復值連續函數代數${\displaystyle C_{0}(X)}$，其中X是局部緊豪斯多夫空間。 一般認為C^*-代數主要是應用在量子力學中可觀察量的模型代數中。這方面的研究始於1933年左右維爾納·海森堡創立的矩陣力學以及帕斯庫爾·約當研究的更接近數學的形式。之後馮·諾依曼在他的一系列關於算子環的論文中嘗試建立更廣泛的架構。這些論文可看做是一類特殊的C^*-代數，現在稱為馮諾依曼代數。

1943年前後，伊斯拉埃爾·蓋爾范德和馬克·奈馬克對C^*-代數建立了不依賴於希爾伯特空間算子的抽象刻畫。

在當代數學研究中，C^*-代數是局部緊群的酉表示理論的重要工具，在量子力學的代數架構中也有應用。另一個活躍的研究領域是對可分單核C^*-代數的分類以及確定分類的詳細可能性。

抽象刻畫

此處給出蓋爾范德和奈馬克1943年給出的定義。

C^*-代數A是複數域上的巴拿赫代數以及映射${\displaystyle {}^{*}:\ A\to A}$的組合。A中元素x關於映射* 的像記作x^*。映射擁有下列性質

• ${\displaystyle \forall x\in A}$，是對合：

${\displaystyle x^{**}=(x^{*})^{*}=x}$

• ${\displaystyle \forall x,\ y\in A:}$

${\displaystyle (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}}$

${\displaystyle (xy)^{*}=y^{*}x^{*}}$

• 對任意複數${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$以及${\displaystyle \forall x\in A}$：

${\displaystyle (\lambda x)^{*}={\overline {\lambda }}x^{*}}$

• ${\displaystyle \forall x\in A}$：

${\displaystyle \|x^{*}x\|=\|x\|\|x^{*}\|.}$

備註 前四條等式表示A是*-代數。最後一條叫做C^*恆等式，等價於

${\displaystyle \|xx^{*}\|=\|x\|^{2}}$ 有時也稱作B^*-恆等式。這是很強的約束，舉例來說，結合譜半徑公式可以推出C^*–範數由以下代數結構唯一確定：

${\displaystyle \|x\|^{2}=\|x^{*}x\|=\sup\{|\lambda |:x^{*}x-\lambda \,1}$不可逆${\displaystyle \}}$

給定的從C^*-代數A到B的有界線性算子 ${\displaystyle \pi :A\to B}$被稱為*-同態，如果

• ${\displaystyle \forall x,\ y\in A}$：

${\displaystyle \pi (xy)=\pi (x)\pi (y)}$

• ${\displaystyle \forall x\in A}$：

${\displaystyle \pi (x^{*})=\pi (x)^{*}}$

在C^*-代數的情形中，任何*-同態都是壓縮，即範數 ≤ 1而有界。此外，C^*-代數之間的單射*-同態都等距。這些都來自C^*恆等式。

雙射*-同態π稱作C*-同構，其中稱A、B'同構。

歷史：B*-代數與C*-代數

B*-代數由C. E. Rickart於1946年引入，用於描述滿足以下條件的巴拿赫*-代數：

• 對給定B*-代數中所有x：${\displaystyle \lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert ^{2}}$（B*-條件）

這條件意味着*-對合等距，即${\displaystyle \lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert }$。於是，${\displaystyle \lVert xx^{*}\rVert =\lVert x\rVert \lVert x^{*}\rVert }$，B*-代數也是C*-代數。反過來看，C*-條件能推出B*-條件。這不是平凡的，但無需用${\displaystyle \lVert x\rVert =\lVert x^{*}\rVert }$即可證明。^[1]於是，B*-代數在目前術語已很少使用，取而代之是C*-代數。

C*-代數由I. E. Segal於1947年引入，用於描述${\displaystyle B(H)}$的在範數拓撲下閉的子代數，即某希爾伯特空間H上有界算子的空間。C代表封閉（Closed）。^[2][3]Segal在論文中將C*-代數定義為「希爾伯特空間上有界算子的一致閉自伴代數」。^[4]

C*-代數的結構

C*-代數有大量技術上很方便的性質，其中一些可通過連續泛函微積分或還原為交換C*-代數來建立。後者時，我們可以利用其結構由蓋爾范德同構決定這一事實。

自伴元

自伴元是滿足${\displaystyle x=x^{*}}$的元素。形式為${\displaystyle x^{*}x}$的C*-代數A的元素集形成閉凸錐，與${\displaystyle xx^{*}}$形式元素相同。錐的元素被稱作非負元（或正元素，與ℝ中元素的術語相衝突）。

C*-代數A的自伴元集自然具有偏序向量空間結構，通常用${\displaystyle \geq }$表示。其中，自伴元素${\displaystyle x\in A}$，若且唯若x的譜非負，若且唯若${\displaystyle s\in A}$，有${\displaystyle x=s^{*}s}$，能滿足${\displaystyle x\geq 0}$。兩自伴元${\displaystyle x,\ y\in A}$若滿足${\displaystyle x-y\geq 0}$，則${\displaystyle x\geq y}$。

這個偏序子空間允許在C*-代數上定義正線性泛函，進而定義C*-代數的態，進而利用GNS構造，構造C*-代數的譜。

商與近似單位

C*-代數A都有近似單位。A有自伴元有向族${\displaystyle \{e_{\lambda }\}_{\lambda \in I}}$使得

${\displaystyle xe_{\lambda }\rightarrow x}$

${\displaystyle 0\leq e_{\lambda }\leq e_{\mu }\leq 1\quad {\mbox{ whenever }}\lambda \leq \mu .}$

A若可分，則有序列近似單位（sequential approximate identity）。更一般地，若且唯若A包含嚴格正元，即正元素h使${\displaystyle hAh}$在A中稠密，A才有序列近似單位。

運用近似單位，可證明C*-代數對具有自然範數的閉緊合雙側理想的代數商仍是C*-代數。

同樣，C*-代數的閉雙側理想也是C*-代數。

譜

C*-代數A的譜記作${\displaystyle {\hat {A}}}$，是A的不可還原*-表示。A在希爾伯特空間H上的*-表示${\displaystyle \pi }$，若且唯若H與${\displaystyle \{0\}}$之外沒有閉子集K（即非平凡閉子集）能在${\displaystyle \forall x\in A,\ \pi (x)}$下不變時，稱${\displaystyle \pi }$是不可還原的。我們隱式地假定，不可還原表示指非空的不可還原表示，從而排除了1維空間上的平凡表示（恆為0）。如下所述，譜${\displaystyle {\hat {A}}}$自然也是拓撲空間，這與環的譜類似。

這概念最重要的應用之一是為局部緊群提供對偶對象的概念。這種對偶對象適用於為I型么模可分局部緊群應用傅里葉變換和普朗歇爾定理，以及為I型可分局部緊群的任意表示提出分解定理。然而由此產生的局部緊群對偶理論比緊拓撲群的淡中–克萊因對偶性或局部緊阿貝爾群的龐特里亞金對偶性更弱，後兩者都是完全不變量。由於任何有限維全矩陣代數${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$的對偶都由一個點組成，因此對偶不是完全不變量也就不難理解了。

主譜

${\displaystyle {\hat {A}}}$的拓撲可有多種等價的定義方式。首先用主譜定義。

A的主譜是A的主理想集${\displaystyle {\rm {Prim}}(A)}$，主理想指非零不可還原*-表示的核。主理想集是具有殼-核拓撲（hull-kernel topology，或雅各布森拓撲）的拓撲空間，定義如下：若X是主理想集，其殼-核閉包是

${\displaystyle {\overline {X}}=\left\{\rho \in \operatorname {Prim} (A):\rho \supseteq \bigcap _{\pi \in X}\pi \right\}.}$

很容易證明殼-核閉包是一種冪等運算，即

${\displaystyle {\overline {\overline {X}}}={\overline {X}},}$

可以證明其滿足庫拉托夫斯基閉包公理，因此可以證明${\displaystyle {\rm {Prim}}(A)}$上有唯一的拓撲${\displaystyle \tau }$，使得關於${\displaystyle \tau }$的集合X的閉包與X的殼-核閉包完全相同。

由於么正等價表示具有相同的核，所以映射${\displaystyle \pi \mapsto {\rm {ker}}{\pi }}$通過滿射

${\displaystyle \operatorname {k} :{\hat {A}}\to \operatorname {Prim} (A).}$

分解。我們用k來定義${\displaystyle {\hat {A}}}$的拓撲：

定義. ${\displaystyle {\hat {A}}}$的開集是${\displaystyle {\rm {Prim}}(A)}$的開子集U的逆像${\displaystyle k^{}-1i(U)}$。這便是拓撲。

殼-核拓撲是交換環的扎里斯基拓撲在非交換環上的類似物。殼-核拓撲誘導的${\displaystyle {\hat {A}}}$上的拓撲還可用'A的態描述。

例子

交換C*-代數

3維交換C*-代數及其理想。8個理想中的每個都對應離散3點空間的一個閉子集（或開補集），主理想對應閉單元集。

交換C*-代數A的譜與A的蓋爾范德對偶（注意不要與巴拿赫空間A的對偶A'混淆）重合。具體來說，設X是緊豪斯多夫空間，則有自然同胚

${\displaystyle \operatorname {I} :X\cong \operatorname {Prim} (\operatorname {C} (X)).}$

此映射的定義是

${\displaystyle \operatorname {I} (x)=\{f\in \operatorname {C} (X):f(x)=0\}.}$

其中${\displaystyle I(x)}$是${\displaystyle C(X)}$中的閉最大理想，也是主理想。對交換C*-代數，

${\displaystyle {\hat {A}}\cong \operatorname {Prim} (A).}$

有界算子的C*-代數

令H維可分無窮維希爾伯特空間。${\displaystyle L(H)}$有兩個對范封閉的*-理想：${\displaystyle I_{0}=\{0\}}$與緊算子的${\displaystyle K=K(H)}$。因此作為集合，${\displaystyle {\rm {Prim}}(L(H))=\{I_{0},\ K\}}$。現在

• ${\displaystyle \{K\}}$是${\displaystyle {\rm {Prim}}(L(H))}$的閉子集。
• ${\displaystyle \{I_{0}\}}$的閉包是${\displaystyle {\rm {Prim}}(L(H))}$。

因此${\displaystyle {\rm {Prim}}(L(H))}$是非豪斯多夫空間。

另一方面，${\displaystyle L(H)}$的譜要大得多。有很多核為${\displaystyle K(H)}$或${\displaystyle \{0\}}$的不等價不可還原表示。

有限維C*-代數

設A 是有限維C*-代數。已知A同構於全矩陣代數的有限直和：

${\displaystyle A\cong \bigoplus _{e\in \operatorname {min} (A)}Ae,}$

其中${\displaystyle {\rm {min}}(A)}$是A的最小中心投影。A的譜與${\displaystyle {\rm {min}}(A)}$在離散拓撲上規範同構。對有限維C*-代數，也有同構

${\displaystyle {\hat {A}}\cong \operatorname {Prim} (A).}$

譜的其他特徵

殼-核拓撲很容易抽象表述，但實際上，對與局部緊拓撲群相關聯的C*-代數，需要用正定函數描述譜上拓撲的其他特徵。實際上，${\displaystyle {\hat {A}}}$上的拓撲與表示的弱包含密切相關，如下：

定理. 令${\displaystyle S\subseteq {\hat {A}}}$。則對不可還原表示${\displaystyle \pi }$，下列條件等價：

1. ${\displaystyle \pi }$在${\displaystyle {\hat {A}}}$中的等價類位於S的閉包中；
2. 與${\displaystyle \pi }$相關的每個態，即形式為

${\displaystyle f_{\xi }(x)=\langle \xi \mid \pi (x)\xi \rangle }$

且${\displaystyle \lVert \xi \rVert =1}$，是與S中的表示相關聯的態的弱極限。

第二個條件意味着${\displaystyle \pi }$弱包含於S中。

GNS構造將C*-代數A的態與A的表示相關聯。據與GNS構造相關的基本定理之一，對態f，若且唯若相關表示${\displaystyle \pi _{f}}$不可約，f才是純的。此外，由${\displaystyle f\mapsto \pi _{f}}$定義的映射${\displaystyle \kappa :\ {\rm {PureState}}(A)\to {\hat {A}}}$是滿射。

根據前面的定理，很容易證明下面的內容：

定理 GNS構造給出的映射

${\displaystyle \kappa :\operatorname {PureState} (A)\to {\hat {A}}}$

是連續開映射。

I r r n ( A ) {\displaystyle {\rm {Irr}}_{n}(A)} 空間

${\displaystyle {\hat {A}}}$上的拓撲還有一種描述，即將表示空間視作具有具有適當點收斂拓撲的拓撲空間。詳細點說，令n是基數，令${\displaystyle H_{n}}$是n維規範希爾伯特空間。 ${\displaystyle {\rm {Irr}}_{n}(A)}$是A在${\displaystyle H_{n}}$中的不可約*-表示空間，具有點弱拓撲。就網的收斂性而言，此拓撲的定義是${\displaystyle \pi _{i}\to \pi }$；若且唯若

${\displaystyle \langle \pi _{i}(x)\xi \mid \eta \rangle \to \langle \pi (x)\xi \mid \eta \rangle \quad \forall \xi ,\eta \in H_{n}\ x\in A.}$

事實證明，${\displaystyle {\rm {Irr}}_{n}(A)}$上的這種拓撲，結構與點強拓撲相同，即若且唯若

${\displaystyle \pi _{i}(x)\xi \to \pi (x)\xi \quad {\mbox{ normwise }}\forall \xi \in H_{n}\ x\in A}$

有${\displaystyle \pi _{i}\to \pi }$。

定理. 令${\displaystyle {\hat {A}}_{n}}$為${\displaystyle {\hat {A}}}$的子集，由底希爾伯特空間是n維的的表示的等價類組成。規範映射${\displaystyle {\rm {Irr}}_{n}(A)\to {\hat {A}}_{n}}$是連續開的。特別是，${\displaystyle {\hat {A}}_{n}}$可視作${\displaystyle {\rm {Irr}}_{n}(A)}$在么正等價下的商拓撲空間。

備註. 將不同的${\displaystyle {\hat {A}}_{n}}$拼湊在一起可能相當複雜。

麥基–博雷爾結構

${\displaystyle {\hat {A}}}$是拓撲空間，因此也可視作博雷爾空間。喬治·麥基（G. Mackey）提出了一個著名猜想：若且唯若博雷爾空間是標準的，即（在博雷爾空間範疇中）與完全可分度量空間的底博雷爾空間同構時，稱可分局部緊群是I型的。麥基稱具有這一性質的博雷爾空間為光滑空間。詹姆斯·格利姆在1961年證明了此猜想。

定義. 可分C*-代數A的非退化*-表示${\displaystyle \pi }$，若且唯若${\displaystyle \pi (A)}$生成的馮諾依曼代數中心是1維時，稱其是因子表示（factor representation）。若且唯若C*-代數A的任意可分因子表示是不可還原因子表示的有限倍或可數倍時，稱其屬於I型。 ${\displaystyle C*(G)}$為I型的可分局部緊群G的例子如連通（實）冪零李群和連通實半單李群。因此，海森堡群都是I型的。緊群和阿貝爾群也都是I型的。

定理. 若A可分，則若且唯若A是I型時，${\displaystyle {\hat {A}}}$光滑。

這個結果對可分I型C*-代數及相應的可分I型局部緊群的表示結構進行了意義深遠的概括。

代數主譜

參見：主譜

由於C*-代數A是環，所以也可考慮A的主理想集。對一個環，若且唯若理想是單模的零化子時，此理想才是主理想。對C*-代數A，若且唯若一個理想是上述定義意義上的主理想時，它才是代數上的主理想。

定理. 令A是C*-代數。A在復向量空間上的不可還原表示，在代數上等價在希爾伯特空間的拓撲上不可還原的*-表示。若且唯若它們么正等價時，希爾伯特空間上的拓撲不可還原*-表示在代數上同構。

若G是局部緊群，則G的群C*-代數${\displaystyle C^{*}(G)}$的對偶空間上的拓撲稱作費爾拓撲，得名於J. M. G. Fell。

例子

有限維C*-代數

${\displaystyle \mathbb {C} }$上n階方陣的代數${\displaystyle M(n,\ \mathbb {C} )}$，若將方陣看做歐氏空間${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$上的算子，並在方陣上使用算子範數||·||，則${\displaystyle M(n,\ \mathbb {C} )}$就變成了C*-代數；對合由共軛轉置給出。更一般地，可以考慮矩陣代數的有限直和。事實上，所有作為向量空間有限維的C*-代數在同構的意義上都是這種形式。自伴要求意味着有限維C*-代數是半單代數，由此可推出下面的阿廷-韋德伯恩定理：

定理 有限維C*-代數A規範地同構於有限直和

${\displaystyle A=\bigoplus _{e\in \min A}Ae}$

其中min A是A的最小非零自伴中心投影集。

C*-代數Ae與全矩陣代數${\displaystyle M({\rm {dim}}(e),\ \mathbb {C} )}$同構（非規範）。${\displaystyle \{{\rm {dim}}(e)\}_{e}}$給出的minA上的有限族索引稱作A的維向量，唯一確定了有限維C*-代數的同構類。用算子K理論的話說，這向量是A的${\displaystyle K_{0}}$群的正錐。

†-代數（更確切地說，†-封閉代數）是物理學中偶爾使用的名稱，指有限維C*-代數。^[5]劍標†在物理學中常用於表示埃爾米特伴隨，且通常不關注與無窮維相關的微妙問題。數學中通常用星號*表示埃爾米特伴隨。†-代數在量子力學，特別是量子信息科學中有重要地位。 有限維C*-代數的一個直接推廣是近似有限維C*-代數。

算子的C*-代數

C*-代數的典型例子是定義在復希爾伯特空間H上的有界（等價於連續）線性算子的代數${\displaystyle B(H)}$，其中x*表示算子${\displaystyle x:\ H\to \ H}$的伴隨算子。事實上，對合適的希爾伯特空間H，所有C*-代數A都*-同構於${\displaystyle B(H)}$的閉范伴隨閉子代數，這就是蓋爾范德-奈馬克定理。

緊算子的C*-代數

設H為可分無窮維希爾伯特空間，則H上緊算子代數${\displaystyle K(H)}$是${\displaystyle B(H)}$的閉范子代數。它在對合下也封閉，因此是C*-代數。

緊算子的具體C*-代數具有類似於Wedderburn有限維C*-代數定理的特徵：

定理 設A是${\displaystyle K(H)}$的C*-子代數，則存在希爾伯特空間${\displaystyle \{H_{i}\}_{i\in I}}$，使

${\displaystyle A\cong \bigoplus _{i\in I}K(H_{i}),}$

其中（C*-）直和包含笛卡兒積${\displaystyle \Pi K(H_{i})}$的元素${\displaystyle (T_{i}),\ ||T_{i}||\to 0}$</math>。

雖然${\displaystyle K(H)}$沒有么元，但可以為${\displaystyle K(H)}$建立一個序列近似單位，具體來說H同構於平方可和序列${\displaystyle I^{2}}$空間；不妨令${\displaystyle H=I^{2}}$。對每個自然數n，令${\displaystyle H_{n}}$為項${\displaystyle k\geq n}$時為零的${\displaystyle I^{2}}$序列的子空間，令${\displaystyle e_{n}}$為到${\displaystyle H_{n}}$的正交投影。則，序列${\displaystyle \{e_{n}\}_{n}}$是${\displaystyle K(H)}$的近似單位。

${\displaystyle K(H)}$是${\displaystyle B(H)}$的雙側閉理想。對可分希爾伯特空間，是唯一理想。商${\displaystyle B(H)/K(H)}$稱作卡爾金代數。

交換C*-代數

令X為局部緊豪斯多夫空間，其上在無窮遠處為零的復值連續函數空間${\displaystyle C_{0}(X)}$在逐點乘與加法下形成交換C*-代數${\displaystyle C_{0}(X)}$。對合是逐點共軛。若且唯若X緊時，${\displaystyle C_{0}(X)}$有乘法單位元。與其他C*-代數一樣，${\displaystyle C_{0}(X)}$有近似單位；對${\displaystyle C_{0}(X)}$這是直接的：考慮X的緊子集直和，對每個緊K，令${\displaystyle f_{K}}$為緊支撐函數， 且在K上等於1。根據適用於局部緊豪斯多夫空間的蒂策擴張定理，這樣的函數是存在的。這樣的函數序列${\displaystyle \{f_{K}\}}$都是近似單位。

蓋爾范德表示指出，交換C*-代數*-同構於代數${\displaystyle C_{0}(X)}$，其中X是具備弱*拓撲的特徵標空間。此外，若${\displaystyle C_{0}(X)}$同構於C*-代數${\displaystyle C_{0}(Y)}$，則X、Y同胚。這一特徵是非交換拓撲與非交換幾何綱領的動機之一。

C*-包絡代數

給定巴拿赫*-代數A，具有近似單位，則有（在C*-同構意義上）唯一的C*-代數${\displaystyle \mathbb {E} (A)}$與萬有的*-態射${\displaystyle \pi :\ A\to \mathbb {E} (A)}$，即其他連續*-態射${\displaystyle \pi :\ A\to B}$因子都唯一地通過π。代數${\displaystyle \mathbb {E} (A)}$稱作巴拿赫*-代數A的C*-包絡代數。

局部緊群G的C*-代數尤為重要，定義為G的群代數的包絡C*-代數。G的C*-代數提供了非阿貝爾情形下的一般調和分析，特別是，局部緊群的對偶定義為群C*-代數的主理想空間。

馮諾依曼代數

馮諾依曼代數在1960年代以前稱作W*-代數，是一類特殊的C*-代數。它們需要在弱算子拓撲下封閉，這比範數拓撲更弱。

謝爾曼–武田定理表明，C*-代數都有泛包絡W*-代數，使到W*-代數的任意同態都通過它。

C*-代數的種類

令A為C*-代數。A是I類，若且唯若對A的所有非退化表示π，${\displaystyle \pi (A)''}$（即${\displaystyle \pi (A)}$的雙交換子）是I類馮諾依曼代數。實際上，只需考慮因子表示，即${\displaystyle \pi (A)''}$是因子的表示。 局部緊群屬於I類，若且唯若其群C*-代數是I類。

不過，若C*-代數具有非I類表示，則根據詹姆斯·格利姆的結果，它也有II類、III類的表示。因此，對C*-代數和局部緊群，只有I類和非I類的說法才有意義。

C*-代數與量子場論

量子力學中，通常用有單位元的C*-代數A描述物理系統；A的自伴元（${\displaystyle \forall x\in A,\ x^{*}=x}$）被視為系統的可觀測值。系統狀態定義為A上的正泛函（${\displaystyle \mathbb {C} }$線性映射${\displaystyle \varphi :\ A\to \mathbb {C} ,\ \forall u\in A,\ \varphi (u^{*}u)\geq 0}$），使得${\displaystyle \varphi (1)=1}$。若系統處於φ狀態，則可觀測值x的期望值為φ(x)。

局部量子場論的Haag-Kastler公理化使用了這C*-代數方法，閔可夫斯基時空的開集都與一個C*-代數相關聯。

另見

• 巴拿赫代數
• 巴拿赫*-代數
• *-代數
• 希爾伯特C*-模
• 算子K理論
• 算子系統，C*-代數的*-封閉含么子空間。
• 蓋爾范德–奈馬克–西格爾構造
• 若爾當算子代數

腳註

1. Doran & Belfi 1986，第5–6頁, Google Books.
2. Doran & Belfi 1986，第6頁, Google Books.
3. Segal 1947
4. Segal 1947，第75頁
5. John A. Holbrook, David W. Kribs, and Raymond Laflamme. "Noiseless Subsystems and the Structure of the Commutant in Quantum Error Correction." Quantum Information Processing. Volume 2, Number 5, pp. 381–419. Oct 2003.

參考文獻

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• Dixmier, Jacques, Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969, ISBN 0-7204-0762-1 含有內容需登入查看的頁面 (link). This is a somewhat dated reference, but is still considered as a high-quality technical exposition. It is available in English from North Holland press.
• Doran, Robert S.; Belfi, Victor A., Characterizations of C*-algebras: The Gelfand-Naimark Theorems, CRC Press, 1986, ISBN 978-0-8247-7569-8.
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• J. Dixmier, C*-Algebras, North-Holland, 1977 (a translation of Les C*-algèbres et leurs représentations)
• J. Dixmier, Les C*-algèbres et leurs représentations, Gauthier-Villars, 1969.
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