在數學 領域中，對偶 一般來說是以一對一的方式，常常（但並不總是）通過某個對合 算子，把一種概念、公理或數學結構轉化為另一種概念、公理或數學結構：如果A 的對偶是B ，那麼B 的對偶是A 。由於對合有時候會存在不動點 ，因此A 的對偶有時候會是A 自身。比如射影幾何 中的笛沙格定理 ，即是在這一意義下的自對偶。
對偶 在數學背景當中具有很多種意義，而且，儘管它是「現代數學中極為普遍且重要的概念（a very pervasive and important concept in (modern) mathematics）」[ 1] [ 2] [ 2]
在兩類對象之間的對偶很多都和配對 （pairing），也就是把一類對象和另一類對象映射到某一族純量上的雙線性函數相對應。例如，線性代數的對偶對應着把線性空間中的向量對雙線性映射到純量上，廣義函數 及其相關的試驗函數 也對應着一個配對且在該配對中可用試驗函數來對廣義函數進行積分，龐加萊對偶 從給定流形的子流形之間的配對的角度看同樣也對應着交數 。[ 3]
一種特別簡單的對偶形式來自於序理論 。偏序關係P = (X , ≤)的對偶是由同一偏序集組成但關係相反的偏序關係Pd 。我們比較熟悉的對偶偏序的例子有：
任何集合簇上的子集和超集關係
⊂
{\displaystyle \subset }
⊃
{\displaystyle \supset }
為某一偏序P 定義的概念會對應到對偶偏序集Pd 的對偶概念 上。例如，P 的極小元 對應於Pd 的極大元 ：極小和極大是序理論中的對偶概念。序理論中的其他對偶概念還包括上界和下界 、上閉集合 和下閉集合 、理想 和濾子 。
一種特殊的序逆對偶存在於某個集合S 的冪集合中：若
A
¯
=
S
∖
A
{\displaystyle {\bar {A}}=S\setminus A}
補集 ，則
A
⊂
B
{\displaystyle A\subset B}
B
¯
⊂
A
¯
{\displaystyle {\bar {B}}\subset {\bar {A}}}
開集 和閉集 是對偶概念：開集的補是閉的，反之亦然。在擬陣 論中，某個給定擬陣的獨立集合的補集簇形成另一個擬陣，稱作對偶擬陣。在邏輯 中，我們可以把非量化公式中變量的成真賦值 表示為對該賦值為真的變量集合。成真賦值滿足該公式若且唯若該成真賦值的補滿足該公式的德摩根定律 。邏輯中的全稱量詞和存在量詞也是類似的對偶。
偏序可以解釋為範疇 ，在該範疇中存在從x 到y 的arrow若且唯若偏序中有x ≤ y 。偏序的序逆對偶可擴展為對偶範疇 的概念，即由給定範疇中所有arrow的逆所組成的範疇。後面將要描述的很多具體的對偶都是在此意義下的範疇的對偶。
The features of the cube and its dual octahedron correspond one-for-one with dimensions reversed. 存在着很多種不同但互相聯繫的在同一類幾何或拓撲對象之間的對偶，不過具有對偶關係的對象在特徵維數上是相反的。這方面的經典例子是正多面體 的對偶，其中立方體和正八面體形成了一個對偶配對，正十二面體和正二十面體形成了另一個對偶配對，而正四面體是自對偶 的。任何一種這類多面體的對偶多面體 可作為主要多面體每一面中心點的凸包 。
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