無理數

不能表示為整數的比率的實數 来自维基百科,自由的百科全书

無理數

無理數(irrational number)是指有理數以外的實數,當中的「理」字來自於拉丁語的rationalis,意思是「理解」,實際是拉丁文對於logos「說明」的翻譯,是指無法用兩整數之比來說明的無理數。

各式各樣的
基本

Thumb

延伸
其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無限大

有理數實數不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式,小數點後有無限多,並且不會循環,即無盡不循環小數(任何有限或無盡循環小數可表示成兩整數的比)。常見無理數有大部分的平方根πe(後兩者同時為超越數)等。無理數另一特徵是無限的連分數表達式

傳說中,無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現,他以幾何方法證明無法用整數分數表示;而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示,不相信無理數存在,後來希伯斯觸犯學派章程,將無理數透露給外人,因而被扔進海中處死,其罪名竟然等同於「瀆神」。另見第一次數學危機

無理數可以通過有理數的分劃的概念來定義。

舉例

  1. 1.73205080…
  2. =0.47712125…
  3. 2.71828182845904523536…
  4. 0.70710678…
  5. 3.141592653589793238462…

性質

  • 無理數加或減無理數不一定得無理數,如
  • 無理數乘不等於0的有理數必得無理數。
  • 無理數的平方根立方根等次方根必得無理數。

不知是否是無理數的數

等,事實上,對於任何非零整數,不知道是否無理數。

無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數,只有π-π=0、等除外。

我們亦不知道歐拉-馬歇羅尼常數卡塔蘭常數費根鮑姆常數是否無理數。

無理數集的特性

無理數集是不可數集(有理數集是可數集而實數集是不可數集)。無理數集是不完備拓撲空間,它與所有正數數列的集拓撲同構,當中的同構映射是無理數的連分數開展,因而貝爾綱定理可應用於無數間的拓撲空間。

無理化作連分數的表達式

選取正實數使

經由遞歸處理

無理數之證

證明是無理數

假設是有理數,且是最簡分數。

兩邊平方,得。將此式改寫為,可見為偶數。

因為平方運算保持奇偶性,所以只能為偶數。設,其中為整數。

代入可得。同理可得亦為偶數。

這與為最簡分數的假設矛盾,所以是有理數的假設不成立。

此結論可進一步推廣,當為正整數但不是完全平方數時,是無理數。一般地,根據有理數根定理,對於方程是整數,,方程的有理數解必須滿足常數項的整數因子以及是首項的整數因子,而其他的解是無理數。

證明是無理數

假設是有理數,且,那麼有

因為是偶數,是奇數,所以得到矛盾,因此是無理數。

參見

外部連結

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