無理數
不能表示為整數的比率的實數 来自维基百科,自由的百科全书
無理數(irrational number)是指有理數以外的實數,當中的「理」字來自於拉丁語的rationalis,意思是「理解」,實際是拉丁文對於logos「說明」的翻譯,是指無法用兩整數之比來說明的無理數。
各式各樣的數 |
基本 |
延伸 |
其他 |
非有理數之實數不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式,小數點後有無限多位,並且不會循環,即無盡不循環小數(任何有限或無盡循環小數可表示成兩整數的比)。常見無理數有大部分的平方根、π和e(後兩者同時為超越數)等。無理數另一特徵是無限的連分數表達式。
傳說中,無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現,他以幾何方法證明無法用整數及分數表示;而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示,不相信無理數存在,後來希伯斯觸犯學派章程,將無理數透露給外人,因而被扔進海中處死,其罪名竟然等同於「瀆神」。另見第一次數學危機。
無理數可以通過有理數的分劃的概念來定義。
舉例
- 1.73205080…
- =0.47712125…
- 2.71828182845904523536…
- 0.70710678…
- 3.141592653589793238462…
性質
不知是否是無理數的數
、等,事實上,對於任何非零整數及,不知道是否無理數。
無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數,只有π-π=0、等除外。
無理數集的特性
無理數集是不可數集(有理數集是可數集而實數集是不可數集)。無理數集是不完備的拓撲空間,它與所有正數數列的集拓撲同構,當中的同構映射是無理數的連分數開展,因而貝爾綱定理可應用於無數間的拓撲空間。
無理化作連分數的表達式
- ,
選取正實數使
- 。
經由遞歸處理
無理數之證
假設是有理數,且,是最簡分數。
兩邊平方,得。將此式改寫為,可見為偶數。
因為平方運算保持奇偶性,所以只能為偶數。設,其中為整數。
代入可得。同理可得亦為偶數。
這與為最簡分數的假設矛盾,所以是有理數的假設不成立。
此結論可進一步推廣,當為正整數但不是完全平方數時,是無理數。一般地,根據有理數根定理,對於方程,是整數,,方程的有理數解必須滿足是常數項的整數因子以及是首項的整數因子,而其他的解是無理數。
假設是有理數,且,那麼有
因為是偶數,是奇數,所以得到矛盾,因此是無理數。
參見
外部連結
- 從畢氏學派到歐氏幾何的誕生,蔡聰明 (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館),有畢氏弄石法的證明
- 是無理數的六個證明,香港大學數學系蕭文強 (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)(Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2)
- 舊題新解—根號2是無理數,張海潮 張鎮華[永久失效連結](數學傳播 第30卷 第4期)
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