無理數（irrational number）是指有理數以外的實數，當中的「理」字來自於拉丁語的rationalis，意思是「理解」，實際是拉丁文對於logos「說明」的翻譯，是指無法用兩整數之比來說明的無理數。 此條目已列出參考文獻，但因為沒有文內引註而使來源仍然不明。 (2021年3月26日) 各式各樣的數 基本 N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R ⊆ C {\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} } 正數 R + {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} 自然數 N {\displaystyle \mathbb {N} } 正整數 Z + {\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}} 小數 有盡小数 無盡小数 循環小數 有理數 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 代數數 A {\displaystyle \mathbb {A} } 實數 R {\displaystyle \mathbb {R} } 複數 C {\displaystyle \mathbb {C} } 高斯整數 Z [ i ] {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} 負數 R − {\displaystyle \mathbb {R} ^{-}} 整數 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } 負整數 Z − {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}} 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 I {\displaystyle \mathbb {I} } 二次無理數 艾森斯坦整數 Z [ ω ] {\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]} 延伸 二元數 四元數 H {\displaystyle \mathbb {H} } 八元數 O {\displaystyle \mathbb {O} } 十六元數 S {\displaystyle \mathbb {S} } 超實數 ∗ R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} } 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數 其他 質數 P {\displaystyle \mathbb {P} } 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 π = 3.14159265 {\displaystyle \pi =3.14159265} … 自然對數的底 e = 2.718281828 {\displaystyle e=2.718281828} … 虛數單位 i = − 1 {\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}} 無限大 ∞ {\displaystyle \infty } 閱論編 非有理數之實數不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點後有無限多位，並且不會循環，即無盡不循環小數（任何有限或無盡循環小數可表示成兩整數的比）。常見無理數有大部分的平方根、π和e（後兩者同時為超越數）等。無理數另一特徵是無限的連分數表達式。 傳說中，無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現，他以幾何方法證明 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 無法用整數及分數表示；而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示，不相信無理數存在，後來希伯斯觸犯學派章程，將無理數透露給外人，因而被扔進海中處死，其罪名竟然等同於「瀆神」。另見第一次數學危機。 無理數可以通過有理數的分劃的概念來定義。 舉例 3 = {\displaystyle {\sqrt {3}}=} 1.73205080… log 10 3 = {\displaystyle \log _{10}3=} ＝0.47712125… e = {\displaystyle e=} 2.71828182845904523536… sin 45 ∘ = 2 2 = {\textstyle \sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}=} 0.70710678… π = {\displaystyle \pi =} 3.141592653589793238462… 性質 無理數加或減無理數不一定得無理數，如 log 10 2 + log 10 5 = log 10 10 = 1 {\displaystyle \log _{10}2+\log _{10}5=\log _{10}10=1} 。 無理數乘不等於0的有理數必得無理數。 無理數的平方根、立方根等次方根必得無理數。 不知是否是無理數的數 π + e {\displaystyle \pi +e} 、 π − e {\displaystyle \pi -e} 等，事實上，對於任何非零整數 m {\displaystyle m\,} 及 n {\displaystyle n\,} ，不知道 m π + n e {\displaystyle m\pi +ne\,} 是否無理數。 無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數，只有π－π＝0、 2 + 3 {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}} 等除外。 我們亦不知道 2 e {\displaystyle 2^{e}\,} 、 π e {\displaystyle \pi ^{e}\,} 、 π 2 {\displaystyle \pi ^{\sqrt {2}}} 、歐拉－馬歇羅尼常數 γ {\displaystyle \gamma \,} 、卡塔蘭常數 G {\displaystyle G} 和費根鮑姆常數是否無理數。 無理數集的特性 無理數集是不可數集（有理數集是可數集而實數集是不可數集）。無理數集是不完備的拓撲空間，它與所有正數數列的集拓撲同構，當中的同構映射是無理數的連分數開展，因而貝爾綱定理可應用於無數間的拓撲空間。 無理化作連分數的表達式 x 2 = c ( c > 0 ) {\displaystyle x^{2}=c\qquad (c>0)} ， 選取正實數 ρ {\displaystyle \rho \,} 使 ρ 2 < c {\displaystyle \rho ^{2}<c\!} 。 經由遞歸處理 x 2 − ρ 2 = c − ρ 2 ( x − ρ ) ( x + ρ ) = c − ρ 2 x − ρ = c − ρ 2 ρ + x x = ρ + c − ρ 2 ρ + x = ρ + c − ρ 2 ρ + ( ρ + c − ρ 2 ρ + x ) = ρ + c − ρ 2 2 ρ + c − ρ 2 2 ρ + c − ρ 2 ⋱ = c {\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}\ -\!\rho ^{2}&=c\ -\!\rho ^{2}\\(x\ -\!\rho )(x\ +\!\rho )&=c\ -\!\rho ^{2}\\x\ -\!\rho &={\frac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!x}}\\x&=\rho \ +\!{\frac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!x}}\\&=\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!\left(\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{\rho \ +\!x}}\right)}}\\&=\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{2\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{2\rho \ +\!{\cfrac {c\ -\!\rho ^{2}}{\ddots \,}}}}}}={\sqrt {c}}\,\end{aligned}}} 無理數之證 證明 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是無理數 假設 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是有理數，且 2 = p q {\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {p}{q}}} ， p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} 是最簡分數。 兩邊平方，得 2 = p 2 q 2 {\displaystyle 2={\frac {p^{2}}{q^{2}}}} 。將此式改寫為 2 q 2 = p 2 {\displaystyle 2q^{2}=p^{2}} ，可見 p 2 {\displaystyle p^{2}} 為偶數。 因為平方運算保持奇偶性，所以 p {\displaystyle p} 只能為偶數。設 p = 2 p 1 {\displaystyle p=2p_{1}} ，其中 p 1 {\displaystyle p_{1}} 為整數。 代入可得 q 2 = 2 p 1 2 {\displaystyle q^{2}=2p_{1}^{2}} 。同理可得 q {\displaystyle q} 亦為偶數。 這與 p q {\displaystyle {\frac {p}{q}}} 為最簡分數的假設矛盾，所以 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是有理數的假設不成立。 證明 2 + 3 {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}} 是無理數 假設 2 + 3 = p {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=p} 是有理數，兩邊平方得 5 + 2 6 = p 2 ⇒ 6 = p 2 − 5 2 {\displaystyle 5+2{\sqrt {6}}=p^{2}\Rightarrow {\sqrt {6}}={\frac {p^{2}-5}{2}}} 其中因為 p {\displaystyle p} 是有理數，所以 p 2 − 5 2 {\displaystyle {\frac {p^{2}-5}{2}}} 也是有理數。 透過證明 a {\displaystyle {\sqrt {a}}} 為無理數的方法，其中 a {\displaystyle {a}} 為一非完全平方數 可以證明 6 {\displaystyle {\sqrt {6}}} 是無理數 同樣也推出 p 2 − 5 2 {\displaystyle {\frac {p^{2}-5}{2}}} 是無理數 但這又和 p 2 − 5 2 {\displaystyle {\frac {p^{2}-5}{2}}} 是有理數互相矛盾 所以 2 + 3 {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}} 是一無理數 證明 2 + 3 + 5 {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}} 是無理數 證一 同樣，假設 2 + 3 + 5 = p {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}=p} 是有理數，兩邊平方得 10 + 2 6 + 2 10 + 2 15 = p 2 ⇒ 6 + 10 + 15 = p 2 − 10 2 {\displaystyle 10+2{\sqrt {6}}+2{\sqrt {10}}+2{\sqrt {15}}=p^{2}\Rightarrow {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}={\frac {p^{2}-10}{2}}} ， 於是 6 + 10 + 15 {\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}} 是有理數。兩邊再次平方，得： 31 + 10 6 + 6 10 + 4 15 = ( p 2 − 10 ) 2 4 {\displaystyle 31+10{\sqrt {6}}+6{\sqrt {10}}+4{\sqrt {15}}={\frac {(p^{2}-10)^{2}}{4}}} ， 於是 5 6 + 3 10 + 2 15 = ( p 2 − 10 ) 2 8 − 31 2 {\displaystyle 5{\sqrt {6}}+3{\sqrt {10}}+2{\sqrt {15}}={\frac {{\frac {(p^{2}-10)^{2}}{8}}-31}{2}}} 由於 6 + 10 + 15 {\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}} 是有理數，所以 3 6 + 10 + 2 ( 6 + 10 + 15 ) = ( p 2 − 10 ) 2 4 − 31 2 {\displaystyle 3{\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+2({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}})={\frac {{\frac {(p^{2}-10)^{2}}{4}}-31}{2}}} ⇒ 3 6 + 10 = ( p 2 − 10 ) 2 4 − 31 2 − 2 ( 6 + 10 + 15 ) {\displaystyle \Rightarrow 3{\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}={\frac {{\frac {(p^{2}-10)^{2}}{4}}-31}{2}}-2({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}})} 透過證明形如 a + b {\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}} 的數是無理數的方法，得出 3 6 + 10 {\displaystyle 3{\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}} 也是一無理數 但這結果明顯和 ( p 2 − 10 ) 2 8 − 31 2 {\displaystyle {\frac {{\frac {(p^{2}-10)^{2}}{8}}-31}{2}}} 與 2 ( 6 + 10 + 15 ) {\displaystyle 2({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}})} 皆為有理數出現矛盾，故 2 + 3 + 5 {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}} 為無理數 證二 同樣假設 2 + 3 + 5 = p {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}=p} 是有理數， 2 + 3 + 5 = p {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}=p} ⇒ 2 + 3 = p − 5 {\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}=p-{\sqrt {5}}} ，兩邊平方： ⇒ ( 2 + 3 ) 2 = ( p − 5 ) 2 {\displaystyle \Rightarrow ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}=(p-{\sqrt {5}})^{2}} ⇒ 5 + 2 6 = p 2 + 5 − 2 p 5 {\displaystyle \Rightarrow 5+2{\sqrt {6}}=p^{2}+5-2p{\sqrt {5}}} ⇒ 2 ( 6 + p 5 ) = p 2 {\displaystyle \Rightarrow 2({\sqrt {6}}+p{\sqrt {5}})=p^{2}} 證明 a + b {\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}} 形式的數是無理數的方法，得出 6 + p 5 {\displaystyle {\sqrt {6}}+p{\sqrt {5}}} 是無理數 也是矛盾的。 證明 2 + 3 + 5 + 7 {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}} 是無理數 2 + 3 + 5 + 7 = p {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}=p} ⇒ 2 + 3 + 5 = p − 7 {\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}=p-{\sqrt {7}}} ，兩邊平方得 ⇒ 10 + 2 6 + 2 10 + 2 15 = p 2 + 7 − 2 p 7 {\displaystyle \Rightarrow 10+2{\sqrt {6}}+2{\sqrt {10}}+2{\sqrt {15}}=p^{2}+7-2p{\sqrt {7}}} ⇒ 6 + 10 + 15 + p 7 = p 2 2 − 3 2 {\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}+p{\sqrt {7}}={\frac {p^{2}}{2}}-{\frac {3}{2}}} ，得到 6 + 10 + 15 + p 7 {\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}+p{\sqrt {7}}} 為一有理數 ⇒ 6 + 10 + 15 = p 2 2 − 3 2 − p 7 {\displaystyle \Rightarrow {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}={\frac {p^{2}}{2}}-{\frac {3}{2}}-p{\sqrt {7}}} ，兩邊繼續平方： ⇒ ( 6 + 10 + 15 ) 2 = ( p 2 − 3 2 − p 7 ) 2 {\displaystyle \Rightarrow \left({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}\right)^{2}=\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}-p{\sqrt {7}}\right)^{2}} ⇒ ( 6 + 10 + 15 ) 2 = [ ( p 2 − 3 2 ) − p 7 ] 2 {\displaystyle \Rightarrow \left({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}\right)^{2}=\left[\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)-p{\sqrt {7}}\right]^{2}} ⇒ 31 + 2 60 + 2 90 + 2 150 = ( p 2 − 3 2 ) 2 + ( − p 7 ) 2 − 2 × p 7 × ( p 2 − 3 2 ) {\displaystyle \Rightarrow 31+2{\sqrt {60}}+2{\sqrt {90}}+2{\sqrt {150}}=\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)^{2}+(-p{\sqrt {7}})^{2}-2\times {p}{\sqrt {7}}\times \left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)} ⇒ 31 + 4 15 + 6 10 + 10 6 = ( p 2 − 3 2 ) 2 + 7 p 2 − p ( 2 p 2 − 3 ) 7 {\displaystyle \Rightarrow 31+4{\sqrt {15}}+6{\sqrt {10}}+10{\sqrt {6}}=\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)^{2}+7p^{2}-p(2p^{2}-3){\sqrt {7}}} ⇒ 2 10 + 6 6 + p ( 2 p 2 − 3 ) 7 = ( p 2 − 3 2 ) 2 + 7 p 2 − 4 ( 6 + 10 + 15 + p 7 ) − 31 {\displaystyle \Rightarrow 2{\sqrt {10}}+6{\sqrt {6}}+p(2p^{2}-3){\sqrt {7}}=\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)^{2}+7p^{2}-4\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}+p{\sqrt {7}}\right)-31} 由於 6 + 10 + 15 + p 7 {\displaystyle {\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}+p{\sqrt {7}}} ， p {\displaystyle p} 皆為有理數 設 10 + 6 6 + p ( 2 p 2 − 3 ) 7 = q = ( p 2 − 3 2 ) 2 + 7 p 2 − 4 ( 6 + 10 + 15 + p 7 ) − 31 {\displaystyle {\sqrt {10}}+6{\sqrt {6}}+p(2p^{2}-3){\sqrt {7}}=q=\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)^{2}+7p^{2}-4\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}+p{\sqrt {7}}\right)-31} ， q {\displaystyle q} 亦為有理數 證明 a + b + c {\displaystyle {\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}} 形式的數是無理數的方法可知 10 + 6 6 + p ( 2 p 2 − 3 ) 7 {\displaystyle {\sqrt {10}}+6{\sqrt {6}}+p(2p^{2}-3){\sqrt {7}}} 為無理數 這和 q {\displaystyle q} 是有理數衝突 所以得證 2 + 3 + 5 + 7 {\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt {7}}} 為無理數 參見 分劃 丟番圖逼近 3的主平方根 5的主平方根 超越數 第一次數學危機 正規數 外部連結 從畢氏學派到歐氏幾何的誕生，蔡聰明 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館），有畢氏弄石法的證明 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 是無理數的六個證明，香港大學數學系蕭文強 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）（Mathematical Excalibur Vol.3 No.1 Page 2） 舊題新解—根號2是無理數，張海潮 張鎮華[永久失效連結]（數學傳播 第30卷 第4期） Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. 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，兩邊平方得
，得到
為一有理數
，兩邊繼續平方：
![{\displaystyle \Rightarrow \left({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}\right)^{2}=\left[\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)-p{\sqrt {7}}\right]^{2}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/908ddcae4876aa0183c6675eee3658f9106185db)
，
皆為有理數
，
亦為有理數
形式的數是無理數的方法可知
為無理數
是有理數衝突
為無理數
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae955a9a0d0f342fc73aaafe28af604d23267f7)
![{\displaystyle \Rightarrow \left({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}\right)^{2}=\left[\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)-p{\sqrt {7}}\right]^{2}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/908ddcae4876aa0183c6675eee3658f9106185db)
