立方根

如果一個數${\displaystyle x}$的立方等於${\displaystyle a}$，那麼這個數${\displaystyle x}$就是${\displaystyle a}$的立方根，其中${\displaystyle a}$稱為被開方數，而${\displaystyle x}$可以是正數、0、負數或虛數。例如3的立方為27，那麼這個數3就是27的一個立方根（在實數範圍內）。若${\displaystyle x}$是正實數，這個乘積相當於一個邊長為${\displaystyle x}$的立方體的體積。

${\displaystyle y={\sqrt[{3}]{x}}\quad (x\geq 0)}$的圖像

符號

在實數系中，實數${\displaystyle a}$的立方根通常用${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}}$表示，可讀作「${\displaystyle a}$的立方根」，「立方根${\displaystyle a}$」或「根號${\displaystyle a}$開三次方」。

值得注意的是，某個實數${\displaystyle a}$的立方根在複數系中可能有1個，或者2個，或者3個^{[查證請求]}，但在實數系中有且僅有1個。即在實數系中，實數${\displaystyle a}$的立方根唯一確定。習慣上，三次根號${\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}}$僅用來表示實數解。例如：${\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}}$僅表示實數1，而不表示複數${\displaystyle {\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}$，與${\displaystyle {\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}}$。

1的立方根

即解${\displaystyle x^{3}=1}$，解法如下：

${\displaystyle \Rightarrow x^{3}-1=0}$

${\displaystyle \Rightarrow (x-1)(x^{2}+x+1)=0}$（立方差）

${\displaystyle \Rightarrow x-1=0}$或${\displaystyle x^{2}+x+1=0}$

${\displaystyle \Rightarrow x=1}$或${\displaystyle x={\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}}$（公式解）

令${\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}$，則${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}}$；反之，令${\displaystyle \omega ={\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}}$，則${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}$。由以上的式子可看出${\displaystyle \omega }$的特性有：

• ${\displaystyle {{{{\omega }^{2}}+{\omega }}+{1}}=0}$
• ${\displaystyle {{\omega }^{3}}=1}$（將${\displaystyle \omega }$代回${\displaystyle x^{3}=1}$求得）

故${\displaystyle \omega }$可代表${\displaystyle {\frac {-1\pm {\sqrt {3}}i}{2}}}$中的任何一數，即${\displaystyle \omega }$為1的立方虛根。

數值方法

• 牛頓法：${\displaystyle x_{i+1}={\frac {1}{3}}\left({\frac {a}{x_{i}^{2}}}+2x_{i}\right)}$
• 哈雷法（英語：Halley's method）：${\displaystyle x_{i+1}=x_{i}\left({\frac {x_{i}^{3}+2a}{2x_{i}^{3}+a}}\right)}$

符號史

1220年意大利人斐波那契第一次使用${\displaystyle \operatorname {R} x}$來表達立方根，${\displaystyle \operatorname {R} }$源於拉丁文radix的首字母，意思為「根、方根」。

十七世紀初時，法國數學家笛卡爾（1596－1650）在他的著作幾何學中第一次使用不連續的「√」及「￣」表示根號，其中「√」為小寫r的變形。到了18世紀中葉，數學家盧貝（Loubere）將前面的方根符號與線括號一筆寫成，並將根指數寫在根號的左上角，以表示高次方根（根指數為2時，省略不寫）。從而，形成了我們現在所用的開方符號${\displaystyle {\sqrt {\color {white}x}}}$。

參見

• 方根

外部連結

• 數學主題

• 埃里克·韋斯坦因. 立方根. MathWorld.