卡塔蘭常數

卡塔蘭常數 G，是一個偶爾出現在組合數學中的常數，定義為：

${\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots }$

卡塔蘭常數

識別
符號	${\displaystyle G}$
位數數列編號	A006752
性質
定義	${\displaystyle G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}}$
表示方式
值	0.915965594
二進制	0.111010100111110010111000…
八進制	0.724762704764023272042441…
十進制	0.915965594177219015054603…
十六進制	0.EA7CB89F409AE845215822E3…
閱 論 編

其中β是狄利克雷β函數（英語：Dirichlet_beta_function）。它的值大約為：^[1]

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

目前還不知道G是有理數還是無理數。

積分恆等式

一些恆等式包括：

${\displaystyle G=-\int _{0}^{1}{\frac {\ln(t)}{1+t^{2}}}{\rm {d}}t}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}y^{2}}}{\rm {d}}x{\rm {d}}y}$

${\displaystyle G=\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}{\frac {t}{\sin t\cos t}}{\rm {d}}t}$

還有

${\displaystyle G={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{1}\mathrm {K} (k)\,{\rm {d}}x}$

其中${\displaystyle K(x)\,}$是第一類完全橢圓積分，

${\displaystyle G=\int _{0}^{1}{\frac {\arctan x}{x}}{\rm {d}}x}$

應用

G出現在組合數學中，也出現在第二多伽瑪函數（也稱為三伽瑪函數）的值中。

${\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G}$

${\displaystyle \psi _{1}\left({\frac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G}$

Simon Plouffe給出了無窮多個含有三伽瑪函數、${\displaystyle \pi ^{2}}$和卡塔蘭常數的恆等式。

快速收斂級數

以下兩個級數收斂得很快，可以用於計算卡塔蘭常數的值：

${\displaystyle G=\,}$	${\displaystyle 3\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{4n}}}\left(-{\frac {1}{2(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{3}(8n+5)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{4}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2(8n+1)^{2}}}\right)-}$
	${\displaystyle 2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{12n}}}\left({\frac {1}{2^{4}(8n+2)^{2}}}+{\frac {1}{2^{6}(8n+3)^{2}}}-{\frac {1}{2^{9}(8n+5)^{2}}}-{\frac {1}{2^{10}(8n+6)^{2}}}-{\frac {1}{2^{12}(8n+7)^{2}}}+{\frac {1}{2^{3}(8n+1)^{2}}}\right)}$

以及

${\displaystyle G={\frac {\pi }{8}}\log({\sqrt {3}}+2)+{\tfrac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(n!)^{2}}{(2n)!(2n+1)^{2}}}.}$

已知的位數

已知的位數

日期	位數	計算者
2009年4月16日	31,026,000,000	Alexander J. Yee & Raymond Chan[2]
2009年1月31日	15,510,000,000	Alexander J. Yee & Raymond Chan[2]
2008年8月	10,000,000,000	Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[3]
2006年10月	5,000,000,000	Shigeru Kondo[4]
2002年	201,000,000	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
2001年	100,000,500	Xavier Gourdon & Pascal Sebah
1998年1月4日	12,500,000	Xavier Gourdon
1997年	3,379,957	Patrick Demichel
1996年	1,500,000	Thomas Papanikolaou
1996年9月29日	300,000	Thomas Papanikolaou
1996年8月14日	100,000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
1996年	50,000	Greg J. Fee
1990年	20,000	Greg J. Fee
1913年	32	James W. L. Glaisher
1877年	20	James W. L. Glaisher

參考文獻

1. Sconosciuto. Catalan's Constant to 1,500,000 Places. CAIMAN. （原始內容存檔於2009-09-24）.
2. Large Computations. [2009-08-17]. （原始內容存檔於2009-12-09）.
3. Constants and Records of Computation. [2009-08-17]. （原始內容存檔於2011-01-15）.
4. Shigeru Kondo的网站. [2008-07-08]. （原始內容存檔於2008-02-11）.

• Victor Adamchik, 卡塔蘭常數的33種表示法（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• Simon Plouffe, 一些與卡塔蘭常數有關的恆等式（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, (1993) （有超過一百個不同的恆等式）
• 埃里克·韋斯坦因. Catalan's Constant. MathWorld.