循環小數

循環小數，也稱為無盡循環小數，是從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字，依次不斷地重複出現的小數。

循環小數

	1
	7

=0.142857142857…

各式各樣的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小數 有盡小数 無盡小数 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 負數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 負整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

閱 論 編

定義

循環小數都為有理數的小數表示形式，例：

${\displaystyle {5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots =1.25{\overline {0}}=1.24999999\cdots =1.24{\overline {9}}}$

${\displaystyle {1 \over 3}=0.3333333\cdots =0.{\overline {3}}}$

${\displaystyle {1 \over 7}=0.{\color {red}142857}{\color {blue}142857}\cdots =0.{\overline {142857}}}$

性質

• 一個分母為n的循環小數的循環節位數最多不超過n-1位。若該數為質數，循環節位數一定是N-1的因數（參見：費馬偽質數）。為了證明這點，可用反證法。假設${\displaystyle n}$的循環節為m，令m>n。將1/n乘以10，循環往復操作，會得到不同的餘數。根據餘數定義，餘數的個數等於分母本身。又因為當餘數為0的時候是整數而非循環小數，所以只有n-1種循環節。若長度為m位，則必有(m-n+1)種循環節無法輪替，所以一個分母為n的循環小數的循環節位數最多不超過n-1位。
• 根據分數${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$的情況分開討論

1.除數a為${\displaystyle 2^{m}\times 5^{n}\times K}$的倍數時，${\displaystyle b\div a}$有max(m,n)個不循環位數，其中${\displaystyle b}$為任意自然數，${\displaystyle K}$為非${\displaystyle 2^{m},5^{n}}$之其他數。

2.如果${\displaystyle 1\leqslant b<a}$，a不是2或5的倍數，並且a與b互質，那麼存在一個正整數e，e為${\displaystyle b\div a}$的循環節位數，而e=${\displaystyle \operatorname {min} \left\{e\in \mathbb {N} :10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}\right\}}$。^[1]

${\displaystyle 10^{e}\equiv 1{\pmod {a}}}$表示${\displaystyle 10^{e}-1}$可以整除a，或稱${\displaystyle 10^{e}}$與1同餘）

事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子:${\displaystyle {\frac {10^{d}\times b}{a}}=q+{\frac {b}{a}}}$來看，${\displaystyle b>a}$也成立，例如${\displaystyle {\frac {2}{7}}}$與${\displaystyle {\frac {9}{7}}}$，兩者循環小數一致，因為${\displaystyle {\frac {8}{7}}=1+{\frac {1}{7}}}$，只差別在商，餘數皆為1(同餘)故成立。

3.承接以上兩點，當除數a可以質因數標準分解式表示成${\displaystyle (2^{m}\times 5^{n})\times (P1^{S1}\times P2^{S2}\times }$⋯${\displaystyle \times Pn^{Sn})}$時，會有max(m,n)個不循環位數，和${\displaystyle E}$個循環節位數。

其中，${\displaystyle P1^{S1}}$, ${\displaystyle P2^{S2}}$,⋯,${\displaystyle Pn^{Sn}}$分別各有e₁,e₂,...,e_n個循環節位數，存在一個最小公倍數${\displaystyle E=[}$e₁,e₂,...,e_n${\displaystyle ]}$。

例：${\displaystyle {\frac {11}{2^{2}\times 3^{2}\times 5^{3}\times 7\times 17}}}$的循環節個數？

答：前三位不循環（2 和 5 的最高次方為 3），循環節個數是 48（因為${\displaystyle 3^{2}}$的循環節位數為1，7的循環節位數為6，17的循環節位數為16，[1,6,16]=48）^[2]

化為分數的方法

0.xxx...=x/((10^(上取(log(x))))-1) (可能未約至最簡)

(⬇另一方法)

1. 先看有幾位「非循環節位數（${\displaystyle {\color {blue}n\,\!}}$）」和「循環節位數（${\displaystyle {\color {red}m\,\!}}$）」，算出後，將${\displaystyle {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}}$擺於「分母」。
2. 「分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字，將其減去「非循環節部分」，即${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}}$，詳細公式如下。
3. 公式：${\displaystyle 0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{\color {blue}n\,\!}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{\color {red}m\,\!}}}={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\{\color {red}m\,\!}\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\{\color {blue}n\,\!}\end{matrix}}}}}$
4. 原理：
   1. 令${\displaystyle x=0.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}}$。
   2. 則${\displaystyle 10^{n}x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}.{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}}$──①式。
   3. ${\displaystyle 10^{n+m}x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}.{\overline {b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}}}}$──②式。
   4. ②－①⇒${\displaystyle \left(10^{n+m}-10^{n}\right)x=a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}}$。
   5. ${\displaystyle {\begin{aligned}x&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {10^{n+m}-10^{n}}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {10^{n}\left(10^{m}-1\right)}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {\begin{matrix}\underbrace {1000\cdots 0} \\n\end{matrix}}\times {\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\m\end{matrix}}}\\&={{a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}b_{1}b_{2}b_{3}\cdots b_{m}-a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}} \over {{\begin{matrix}\underbrace {999\cdots 9} \\m\end{matrix}}{\begin{matrix}\underbrace {000\cdots 0} \\n\end{matrix}}}}\\\end{aligned}}}$。
5. 範例：${\displaystyle 0.1{\overline {23}}={\frac {123-1}{990}}={\frac {61}{495}}}$。
   1. 令${\displaystyle x=0.1{\overline {23}}}$
   2. 則${\displaystyle 10x=1.{\overline {23}}}$、${\displaystyle 1000x=123.{\overline {23}}}$
   3. 兩式相減得${\displaystyle \left(1000-10\right)x=123-1}$，${\displaystyle 990x=122\,\!}$
   4. ∴${\displaystyle x={\frac {61}{495}}}$。

計算方法

利用短除法可以將分數(有理數，${\displaystyle \mathbb {Q} }$)轉化為循環小數。

例如${\displaystyle {\frac {3}{7}}}$可以用短除法計算如下：

7|3.00000000000000000
  0.42857142857142857...

表示方法

在不同的國家地區對循環小數有不同的表示習慣。

• 使用「上橫線」表示，如：

${\displaystyle {1 \over 70}=0.0{\overline {142857}}}$

• 使用「上點」表示，如：

${\displaystyle {1 \over 70}=0.0{\dot {1}}4285{\dot {7}}}$

• 使用「大括號」表示，如：

${\displaystyle {1 \over 70}=0.0\{142857\}}$

缺點

不唯一性

使用循環小數表示有理數的缺點在於表示方式的不唯一性，例如${\displaystyle 1.000000\cdots =1.{\overline {0}}=0.{\overline {9}}=0.999999\cdots }$

與進位制系統密切相關

由於循環小數與進位制系統密切相關，使得一些簡單的有理數在循環小數表示法中的表示形式相當複雜。如：${\displaystyle {1 \over 17}=0.{\color {red}0588235294117647}{\color {blue}0588235294117647}\cdots =0.{\overline {0588235294117647}}}$

但在某些進位制當中反而因為循環節較短，使得看起來相當簡單。如${\displaystyle {1 \over 17}={1 \over 11}_{(16)}=0.{\color {red}0F}{\color {blue}0F}\cdots _{(16)}=0.{\overline {0F}}_{(16)}}$

又或${\displaystyle {1 \over 17}={1 \over 10}_{(17)}=0.1_{(17)}}$

參考資料

1. 康明昌. 循環小數 (PDF). 數學傳播. 2001年9月, 25 (3) [2014-12-28]. （原始內容 (PDF)存檔於2021-11-04）.
2. 質數循環節的位數 (PDF). [2008-08-18]. （原始內容 (PDF)存檔於2017-01-12）.

參見

• 0.999…
• Midy定理

外部連結