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圓周率是一個數學常數，通常以字母π表示。在歐幾里得幾何中，它表示任何一個圓的周長與直徑之比。π是一個無理數，因此它的小數展開式永遠不會循環或窮盡。π也是一個超越數，即它不是任何整係數代數方程的根。在十進制中，圓周率的近似值約為：

${\displaystyle \pi =3.1415926\ldots }$

當圓的直徑為1時，其周長便是π

數學家威廉·瓊斯首先在1707年從希臘文「周長」（περίμετρος）一詞中提取出字母π，用來表示圓周率。隨後萊昂哈德·歐拉於1737年將其推廣^[1]。π是數學和物理學中最重要的常數之一，大量的科學和工程學公式中都用到了π。縱觀數學歷史，曾經有大量的數學家為精確計算π，或了解其本質做出了貢獻。圓周率本身的魅力也因此延伸到了非數學的文化領域中。

基本特徵

定義

周長=π× 直徑

在歐幾里得幾何中，圓周率被定義為一個圓的周長與直徑的比值^[2]。這是一個與直徑大小無關的常數，即對於任何一個圓，總有下述成立：

${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}.}$

同樣，圓周率也可以定義為一個圓的面積與半徑平方的比值，即：

${\displaystyle \pi ={\frac {S}{r^{2}}}.}$

上述定義僅限於歐幾里得幾何。因為在非歐幾何中，圓周率可能會大於或小於通常值。例如，在轉盤圓周率佯謬中，得到了周長與直徑之比大於π的結果^[3]。由於這些問題，數學家有時更願意使用脫離幾何學的定義方式。例如在分析學里，π可以嚴格地定義為滿足sin(x) = 0的最小正實數x^[4]。這一定義與上述方式是等價的。

無理性與超越性

化圓為方：求作一正方形，使其面積等於一給定圓的面積。1882年林德曼證明了此命題無法用尺規作圖完成。

π是一個無理數，即它不能被寫成兩個整數之比。這一性質最早由九世紀的阿拉伯數學家花剌子密提出^[5]。這一命題的證明由約翰·海因里希·蘭伯特在1768年完成^[6]。到了20世紀，數學家們找到了更多只需積分知識即可完成的證明。其中伊萬·尼雲提出的一個證法廣為流傳^[7][8]。

π也是一個超越數，即它不是任何一個整係數代數方程的根^[9]。它的證明由德國數學家費迪南·馮·林德曼於1882年給出。由此可以推出一個重要的結果：π不是規矩數。這意味着使用尺規作圖完成化圓為方的過程是不可能的。此後，德國數學家果爾丹在1893年將這一證明化簡為了初等證明^[10]。

小數表示

歷史

^[11][12][13]

各式各樣的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小數 有限小數 無限小數 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 負數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 負整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

閱 論 編

相關內容

• The Feynman point, a sequence of six 9s that appears at the 762nd through 767th decimal places of π
• Indiana Pi Bill
• List of topics related to π
• Mathematical constants: e and φ
• Pi Day
• Proof that 22/7 exceeds π
• Software for calculating π on personal computers

參考文獻

1. 圆周率的来历.
2. 圆周率、圆的面积. 楊老師在線.
3. 劉宇暉. 转盘佯谬分析 (PDF).
4. （英文）Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis 3e. McGraw-Hill. 1976: 183 [1953]. ISBN 0-07-054235-X.
5. （英文）Glimpses in the history of a great number: Pi in Arabic mathematicsby Mustafa Mawaldi
6. （英文）Lambert, Johann Heinrich, Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques, Histoire de l'Académie, XVII (Berlin), 1761, XVII: 265–322 (1768) 請檢查|publication-date=中的日期值 (幫助)
7. （英文）Niven, Ivan. A simple proof that π is irrational (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 1947, 53 (6): 509 [2007-11-04]. doi:10.1090/S0002-9904-1947-08821-2.
8. （英文）Richter, Helmut. Pi Is Irrational. Leibniz Rechenzentrum. 1999-07-28 [2007-11-04].
9. （英文）Mayer, Steve. The Transcendence of π. [2007-11-04].
10. 陳仁政. 4.3 超越数时期对π的认识. 《说不尽的π》. 科學出版社. ISBN 978-7-03-014635-9. 在Mathematische Annalen, 1893, Vol43上
11. （英文）The Number Pi in the Bible.
12. 圆周率π的计算历程. 中國科學院自動化研究所.
13. 陳仁政. 第二章：圆周率的名称. 《说不尽的π》. 科學出版社. ISBN 978-7-03-014635-9.

外部連結

• 開放目錄專案中的「Digits of Pi」
• A000796 Decimal expansions of Pi and related links at the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Formulas for π at MathWorld
• Representations of Pi at Wolfram Alpha
• Pi at PlanetMath
• Determination of π at Cut-the-knot
• Statistical Distribution Information on PI based on 1.2 trillion digits of PI