正方形

在平面幾何學中，正方形是四邊相等且四個角是直角的四邊形^[1]。正方形是正多邊形的一種：正四邊形。四個頂點為ABCD的正方形可以記為正方形 ABCD。

正方形
一個正四邊形
類型	正多邊形
對偶	正四邊形（本身）
邊	4
頂點	4
對角線	2
施萊夫利符號	{4} t{2}
考克斯特符號（英語：Coxeter–Dynkin diagram）
鮑爾斯縮寫 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	square
對稱群	二面體群 (D4), order 2×4
面積	${\displaystyle {\frac {4}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{4}}}$ ${\displaystyle \approx 1a^{2}}$
內角（度）	90°
內角和	360°
特性	凸、圓內接多邊形、等邊多邊形、等角多邊形、等邊圖形
閱 論 編

正方形是二維的超方形，也是二維的正軸形。

性質

正方形是正四邊形，是特殊的矩形、對稱四邊形、平行四邊形。其四個內角為直角。除了四邊四角相等的性質，正方形還有以下性質：

• 所有對邊平行；
• 所有內角為直角（${\displaystyle 90^{\circ }}$）；
• 對角線相等且互相垂直平分；
• 一組對角線平分一組對角；
• 正方形是圓內接四邊形。

面積和周長

正方形的面積是其邊長的平方

正方形的周長是它的邊長的4倍。如果邊長為a，那麼周長${\displaystyle P=4a}$。正方形的面積是其邊長的平方。如果邊長為a，那麼面積${\displaystyle A=a^{2}}$。如果我們知道正方形的對角線長d，那麼我們也可以之計算面積${\displaystyle A={\frac {d^{2}}{2}}}$，如果正方形邊心距為r，外接圓半徑是R，那麼${\displaystyle A=4r^{2}}$。，${\displaystyle A=2R^{2}}$。

若正方形的邊長為整數，其面積就是一個完全平方數。在周長固定時，正方形的面積一定大於其他非正方形的四邊形的面積。

對稱性

正方形是一種高度對稱的平面圖形，它關於兩條對角線的交點中心對稱（這個點又被稱作正方形的中心）。它的對稱軸有四條，分別是對邊中點的連線以及兩條對角線。保持正方形不變的轉換有8種，包括全等轉換，以正方形中心為中心、角度為90度、180度和270度的旋轉，以及關於四條對稱軸的反射。這八個轉換組成了一個群，是二面體群中的一個，記作D₄。

全等轉換，四個頂點都不變	r1（順時針90°旋轉）	r2（180°旋轉）	r3（順時針270°旋轉）
fv垂直反射	fh水平反射	fd沿主對角線（左上至右下）反射	fc沿副對角線（右上至左下）反射
二面體群D4

正方形與無理數

公元前五世紀時，畢達哥拉斯學派最早證明了正方形的對角線長度與邊長長度的比例：${\displaystyle {\sqrt {2}}}$，是無法表示為兩個自然數的公比的。

使用圓規與直尺建構出正方形。

平面鑲嵌

用同一種多邊形不重疊地將平面「鋪滿」，稱為平面的正鑲嵌圖。正方形是能夠組成平面的正鑲嵌圖的三種正多邊形之一（另外兩種分別是正三角形和正六邊形）。

參考文獻

1. Euclid's Elements, Book I. mathcs.clarku.edu. [2017-10-21]. （原始內容存檔於2017-09-18）.

參見

• 幾何學主題

• 立方體
• 根號2
• 四維超正方體
• 垂直
• 圓規四等分圓
• 幻方
• 完美正方形
• 格點