無理數(irrational number)是指有理數以外的實數,當中的「理」字來自於拉丁語的rationalis,意思是「理解」,實際是拉丁文對於logos「說明」的翻譯,是指無法用兩整數之比來說明的無理數。
非有理數之實數不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式,小數點後有無限多位,並且不會循環,即無限不循環小數(任何有限或無限循環小數可表示成兩整數的比)。常見無理數有大部分的平方根、π和e(後兩者同時為超越數)等。無理數另一特徵是無限的連分數表達式。
傳說中,無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現,他以幾何方法證明
無法用整數及分數表示;而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示,不相信無理數存在,後來希伯斯觸犯學派章程,將無理數透露給外人,因而被扔進海中處死,其罪名竟然等同於「瀆神」。另見第一次數學危機。
無理數可以通過有理數的分劃的概念來定義。
=1.73205080…
3=0.47712125…
- e=2.71828182845904523536…
- sin 45°=
=0.70710678…
- π=3.141592653589793238462…
- 無理數加或減無理數不一定得無理數,如
。
- 無理數乘不等於0的有理數必得無理數。
- 無理數的平方根、立方根等次方根必得無理數。
無理數集是不可數集(有理數集是可數集而實數集是不可數集)。無理數集是不完備的拓撲空間,它與所有正數數列的集拓撲同構,當中的同構映射是無理數的連分數開展,因而貝爾綱定理可應用於無數間的拓撲空間。
假設
是有理數,兩邊平方得
其中因為
是有理數,所以
也是有理數。
透過證明
為無理數的方法,其中
為一非完全平方數
可以證明
是無理數
同樣也推出
是無理數
但這又和
是有理數互相矛盾
所以
是一無理數
證一
同樣,假設
是有理數,兩邊平方得
,
於是
是有理數。兩邊再次平方,得:
,
於是
由於
是有理數,所以
透過證明形如
的數是無理數的方法,得出
也是一無理數
但這結果明顯和
與
皆為有理數出現矛盾,故
為無理數
證二
同樣假設
是有理數,
,兩邊平方:
證明
形式的數是無理數的方法,得出
是無理數
也是矛盾的。
,兩邊平方得
,得到
為一有理數
,兩邊繼續平方:
由於
,
皆為有理數
設
,
亦為有理數
證明
形式的數是無理數的方法可知
為無理數
這和
是有理數衝突
所以得證
為無理數