齊性空間

在數學上，特別是李群、代數群與拓撲群的理論中，群G的齊性空間（homogeneous space）是指一個非空流形或拓撲空間X，G傳遞地作用在X上，G中的元素稱之為X的對稱。一個特例是空間X的自同構群，這裡自同構群可以是等距同構群、微分同胚群或是同胚群。在這些例子中，如果在直觀上將X的任意局部視作相同，則X是齊性的。像是等距同構（剛體幾何）、微分同胚（微分幾何）或是同胚（拓撲）。一些作者要求G的作用是有效的（或忠實），不過本文並不要求這樣。從而X上存在可以想象為保持X上相同「幾何結構」的一個群作用，使X成為一個單G-軌道。

正式定義

設X是一個非空集合，G是一個群。如果存在G在X上一個作用，則X稱為一個G-空間^[1]。注意G通過自同構自動作用在這個集合上。如果X還額外屬於某一個範疇，則要求G中元素的作用是這個範疇中的自同構。從而由G在X上產生的映射保持結構。一個齊性空間是一個G作用傳遞的G空間。

簡明地說，如果X是範疇C中一個對象，則一個G-空間結構是G到範疇C中對象X的自同構群一個同態：

${\displaystyle \rho :G\to \mathrm {Aut} _{\mathbf {C} }(X).}$

若ρ(G)是承載集合X的一個傳遞的、對稱群，則二元組 (X,ρ)定義了一個齊性空間。

例子

例如，若X是一個拓撲空間，則要求群元素在X上的作用是自同胚。G-空間的結構是到X自同胚群的一個群同態ρ : G → Homeo(X)。

類似地，如果X是一個微分流形，則群元素是微分同胚。G-空間結構是到X微分同胚群的一個群同態ρ : G → Diffeo(X)。

幾何

從埃爾朗根綱領的觀點，可以理解在X的幾何中「所有點是一樣的」。十九世紀中葉黎曼幾何提出之前的所有幾何本質上都是如此。

例如歐幾里得空間、仿射空間和射影空間都自然是相應對稱群的齊性空間。這對常曲率非歐幾里得幾何模型，比如雙曲空間，同樣成立。

一個深一點的經典例子是三維射影空間裡線組成的空間（等價於，四維向量空間中的二維子空間）。用簡單的線性代數可以證明GL₄傳遞作用在這個空間上。我們可用「線坐標」將其參數化：存在2×4矩陣的2×2 子式使得其列向量是子空間的兩個基向量。所得空間的幾何是尤里烏斯·普呂克（英語：Julius Plücker）的線幾何。

作為陪集的齊性空間

一般地，如果X是一個齊性空間，而H_o是X中某一給定點o的穩定子（選取一個原點），X中的點對應於左陪集G/H_o。

選取不同的原點o一般將得到G商去一個不同子群H_o′，它與H_o相差一個G的內自同構。準確地，

${\displaystyle H_{o'}=gH_{o}g^{-1}}$    (1)

這裡g是G中任何元素使得go = o′。注意內自同構 (1)與g的選取無關，只取決與g模去H_o。

如果G在X上的作用連續，則H是G的一個閉子群。特別地，如果G是一個李群，則由嘉當定理H是一個閉李子群。從而G/H是一個光滑流形，並且X帶有與這個群作用相容惟一的光滑結構。

如果H是恆同子群{e}，則X是一個主齊性空間。

例子

對線幾何之例子，我們可將H等同於16-維一般線性群

GL₄

的一個12-維子群，由如下矩陣元素的條件定義

h₁₃ = h₁₄ = h₂₃ = h₂₄ = 0,

通過尋找前兩個標準基向量生成的子空間的穩定子。這便證明了X的維數是4。

因為由子式給出的齊次坐標有6個，這意味着後者不是互相獨立的。事實上這六個子式間有一個二次關係，已為十九世紀的幾何學家知道。

這個例子是比射影空間更早發現的第一個格拉斯曼流形。在數學的通常使用中有許多更深入的典型線性群的齊性空間。

准齊性向量空間

准齊性向量空間概念由佐藤幹夫提出。

它是帶有一個代數群G作用的有限維向量空間X，使得存在G的一個軌道在扎里斯基拓撲下是開集（從而稠密）。一個例子是GL₁作用在一維空間空間上。

這個定義比它最初出現時更加嚴格：這樣的空間具有不尋常的性質，不可約准齊性向量空間在相差一個稱之為「castling」的轉換下存在一個分類。

物理中的齊性空間

凡用到廣義相對論的宇宙學都會使用比安基分類系統。相對論中的齊性空間代表某種宇宙模型的背景度量的空間部分；例如弗里德曼-勒梅特-羅伯遜-沃爾克度量的三個案例可以用比安基I（平坦），V（開），VII（平坦或開）與IX（閉）型子集來代表，而Mixmaster universe（英語：Mixmaster universe）代表一個比安基IX型宇宙的各向異性例子^[2]。

一個N維齊性空間允許一個由N(N-1)/2 基靈向量場組成的集合^[3]。三維時，總共給出了六個線性無關的基靈向量場；齊性3-空間可以使用這些向量場的線性組合，來尋找在任何地方都非零的基靈向量場${\displaystyle \xi _{i}^{(a)}}$，

${\displaystyle \xi _{[i;k]}^{(a)}=C_{\ bc}^{a}\xi _{i}^{(b)}\xi _{k}^{(c)},}$

這裡${\displaystyle C_{\ bc}^{a}}$為「結構常數」，是一個常秩-3張量，兩個下指標反對稱，${\displaystyle ;}$表示共變微分算子。在一個平坦各向同性宇宙情形，可能有${\displaystyle C_{\ bc}^{a}=0}$（I型），但在閉FLRW宇宙情形，${\displaystyle C_{\ bc}^{a}=\varepsilon _{\ bc}^{a}}$這裡${\displaystyle \varepsilon _{\ bc}^{a}}$是列維-奇維塔符號。

參考文獻

1. 我們假設這個作用在左邊。這個區別只在X作為一個陪集的描述時才重要。
2. 列夫·朗道and Evgeny Lifshitz, Course of Theoretical Physics vol. 2: The Classical Theory of Fields, Butterworth-Heinemann, 1980, ISBN 978-0750627689
3. Steven Weinberg, Gravitation and Cosmology, John Wiley and Sons, 1972

參見

• 埃爾朗根綱領
• 克萊因幾何（英語：Klein geometry）