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仿射空間 (英文: Affine space),又稱線性流形,是數學中的幾何結構,這種結構是歐式空間的仿射特性的推廣。在仿射空間中,點與點之間做差可以得到向量,點與向量做加法將得到另一個點,但是點與點之間不可以做加法。
仿射空間中沒有特定的原點,因此不能將空間中的每一點和特定的向量對應起來。仿射空間中只有從一個點到另一個點的位移向量,或稱平移向量。如果是仿射空間,,那麼從到的位移向量為。雖然無法做點與點之間的加法, 但是可以通過仿射組合(係數和為1的線性組合)的方式進行點的變化,仿射組合的係數構成了一個重心坐標 。 所有向量空間都可看作仿射空間。若是向量空間,是向量子空間,, 則是仿射空間。這裡的也稱為平移向量。若向量空間的維度是,那麼的仿射子空間也可看作一組非齊次線性方程的解;對應的(去掉平移向量的)齊次方程的解是線性子空間,因為齊次方程的解永遠包含零解。維度為的仿射空間也叫做仿射超平面。
下面的非正式描述可能比正式的定義更容易理解。仿射空間像是沒有原點的向量空間,其中向量只有方向和大小。假設有甲乙兩人,其中甲知道一個空間中真正的原點,但是乙認為另一個點才是原點。現在求兩個向量和的和。乙畫出到和到的箭頭,然後用平行四邊形找到他認為的向量。但是甲認為乙畫出的是向量。同樣的,甲和乙可以計算向量和的線性組合,通常情況下他們會得到不同的結果。然而,請注意:如果線性組合係數的和為1,那麼甲和乙將得到同樣的結果!
如果乙從他的原點向方向行走, 則從甲的角度來看,乙的行程為.
仿射空間就是這樣產生的:定義仿射組合為係數和為1的線性組合;甲知道空間的「線性結構」,但是甲和乙都知道空間的「仿射結構」,也就是空間中所有仿射組合的值。 那麼對於所有滿足的係數,即使甲乙從不同的原點開始,他們將以同樣的線性組合描述同樣的點。
稱集合 是仿射空間,是指其滿足如下性質:
從定義中不難得出集合 還具有如下性質:
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