微分結構

在數學中，集合M上的一個n-維微分結構（differential structure）或可微結構（differentiable structure）是一個帶有附加結構（使得我們可以在該流形上做微積分）的拓撲流形，使其成為一個n-維微分流形。如果M已經是一個拓撲流形，我們要求新拓撲與原來已有的拓撲相同。

定義

對一個自然數n與可能為非負整數或無窮的某個k，一個n-維C^k微分結構是用一個C^k-圖冊定義的，這是在M的一些子集（其併集是整個M）與n維向量空間的一些開子集之間的雙射集合（稱為坐標卡）。

${\displaystyle \varphi _{i}:M\supset W_{i}\rightarrow U_{i}\subset \mathbb {R} ^{n}}$。

它們是 C^k-相容的（在下面定義的意義下）：

每個這樣的映射提供了將流形的某些子集可視為${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$中的開子集的一種方式，但此想法的有效性取決於當兩個這樣的映射的定義域重合時它們相同的程度。

考慮兩個坐標卡：

${\displaystyle \varphi _{i}:W_{i}\rightarrow U_{i}}$，

${\displaystyle \varphi _{j}:W_{j}\rightarrow U_{j}}$。

這兩個函數定義域的交集是：

${\displaystyle W_{ij}=W_{i}\cap W_{j}\;}$

通過兩個坐標卡映射映到兩個像

${\displaystyle U_{ij}=\varphi _{i}\left(W_{ij}\right)}$，

${\displaystyle U_{ji}=\varphi _{j}\left(W_{ij}\right)}$

兩個坐標卡之間的轉移映射是此交集在兩個坐標卡映射下的兩個像之間的映射。

${\displaystyle \varphi _{ij}:U_{ij}\rightarrow U_{ji}}$

${\displaystyle \varphi _{ij}(x)=\varphi _{j}\left(\varphi _{i}^{-1}\left(x\right)\right)}$。

兩個坐標卡${\displaystyle \varphi _{i},\,\varphi _{j}}$是C^k-相容的，如果

${\displaystyle U_{ij},\,U_{ji}}$

是開集，且轉移映射

${\displaystyle \varphi _{ij},\,\varphi _{ji}}$

有k階連續導數。如果k = 0，我們只要求轉移映射是連續的，故一個C⁰-圖冊只不過是定義拓撲流形的另一個方法。如果k = ∞，所有階導數都必須連續。覆蓋了整個流形的一族C^k-相容坐標卡是定義了一個C^k微分流形的C^k-圖冊。兩個圖冊是 C^k-等價的如果他們坐標卡集合的併集組成一個C^k-圖冊。特別的，一個C^k-圖冊與定義拓撲流形的一個C⁰-圖冊C⁰-相容，則說在此拓撲流形上定義了一個C^k微分結構。這樣圖冊的C^k 等價類是此流形不同的C^k微分結構。每個不同的微分結構由惟一一個極大圖冊確定，即此等價類中所有圖冊的併集。

存在性與惟一性定義

對k>0，有C^k結構的任何流形上，存在惟一C^k-相容的C^∞-結構，這是惠特尼的一個定理。另一方面，存在拓撲流形沒有任何微分結構，參見唐納森定理（與希爾伯特第五問題比較）。

當人們數一個流形上微分結構的多少時，往往模去保定向同胚。維數小於4的任何緊緻流形上只有惟一一個微分結構。對維數大於4的所有流形上存在有限個微分結構。在${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$上只有一個微分結構，除非${\displaystyle n=4}$的情形，有不可數多個。

維數從1到18的球面上微分結構

下表列出了維數到18的${\displaystyle n}$-維球面上（光滑）微分結構（模去保持定向的微分同胚）數目。球面帶有與通常的不同的微分結構稱為怪球面。

維數	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
結構	1	1	1	?	1	1	28	2	8	6	992	1	3	2	16256	2	16	16

除了至少有一個，目前仍不知道在4-維球面上有多少微分結構。可能是一個，有限個或無限個。只有一個的斷言稱為光滑龐加萊猜想。大多數數學家相信這個猜想是錯的，即在4-維球面上不止一個微分結構。這個問題與開4-維球體上不止一個微分結構有關。

拓撲流形上的微分結構

上已提到，在維數小於4的拓撲流形上，只有一個微分結構。對維數為1和2，由約翰·拉東證明；在維數為3是由埃德溫·莫伊澤（英語：Edwin E. Moise）證明的。利用阻礙理論，羅比恩·卡比與Laurent Siebenmann證明了大於4維的緊拓撲流形上的PL結構（英語：Piecewise linear manifold）數目是有限的。約翰·米爾諾、Michel Kervaire（英語：Michel Kervaire）以及Morris Hirsch證明了一個緊PL流形上的光滑結構數目是有限的且與同樣維數球面上光滑結構的數目相等（參見Asselmeyer-Maluga, Brans chapter 7）。將這些結論合起來，維數不等於4的緊拓撲流形上的光滑結構數目是有限的。

4維複雜得多。對緊流形，結論取決於由第二個貝蒂數${\displaystyle b_{2}}$衡量的流形複雜性。對大貝蒂數${\displaystyle b_{2}>18}$，在一個單連通4-維流形中，可以利用沿着一個結或鏈環的一個割補產生一個新的微分結構。這樣可以製造可數無窮多個微分結構。但即使是像${\displaystyle S^{4},S^{2}\times S^{2},{\mathbb {C} }P^{2},..}$。之類的簡單空間，仍然不知道其它微分結構的構造。對非緊4-維流形有許多例子比如${\displaystyle {\mathbb {R} }^{4},S^{3}\times {\mathbb {R} },M^{3}\setminus \{*\},..}$。有不可數多個微分結構。

進一步閱讀

• Hirsch, Morris, Differential Topology, Springer (1997), ISBN 0-387-90148-5.對微分結構的一般性數學說明。
• Kirby, Robion C. and Siebenmann, Laurence C., Foundational Essays on Topological Manifolds. Smoothings, and Triangulations. Princeton, New Jersey: Princeton University Press (1977), ISBN 0-691-08190-5.
• Asselmeyer-Maluga, T. and Brans, C.H., Exotic Smoothness in Physics. World Scientific Singapore, 2007（更多信息參見網頁http://loyno.edu/~cbta）^{[永久失效連結]}, ISBN 978-981-02-4195-7

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