黎曼幾何

微分幾何中，黎曼幾何（英語：Riemannian geometry）研究具有黎曼度量的光滑流形，即流形切空間上二次形式的選擇。它特別關注於角度、弧線長度及體積。把每個微小部分加起來而得出整體的數量。

19世紀，波恩哈德·黎曼把這個概念加以推廣。^[1]

任意平滑流形容許黎曼度量及這個額外結構幫助解決微分拓撲問題。它成為偽黎曼流形複雜結構的入門。其中大部分都是廣義相對論的四維研究對象。

黎曼幾何古典理論

伯恩哈德·黎曼

一般理論

1. 高斯-博內定理：緊緻二維黎曼流形上高斯曲率的積分等於${\displaystyle 2\pi \chi (M)}$，這裡的${\displaystyle \chi (M)}$記作M的歐拉示性數。
2. 納什嵌入定理：（兩個）被稱為黎曼幾何的基礎理論。他們表明每個黎曼流形可以是嵌入歐幾里得空間Rⁿ。

理論

所有給出的定理中，都將用空間的局部行為（通常用曲率假設表述）來推出空間的整體結構的一些信息，包括流形的拓撲類型和"足夠大"距離的點間的關係。

受限截面曲率

1. 1/4-受限 球定理：若M是完備n-維黎曼流形，其截面曲率嚴格限制於1和4之間，則M同胚於n-球。

1. Cheeger's有限定理：給定常數C和D，只有有限個（微分同胚的流形算作一個）緊n-維黎曼流形，其截面曲率${\displaystyle |K|\leq C}$並且直徑${\displaystyle \leq D}$。

1. Gromov的幾乎平坦流形：存在一個${\displaystyle \epsilon _{n}>0}$使得如果一個n-維黎曼流形其度量的截面曲率${\displaystyle |K|\leq \epsilon _{n}}$且直徑${\displaystyle \leq 1}$，則其有限覆蓋微分同胚於一個零流形.

正曲率

正截面曲率

1. 靈魂定理：若M是一個不緊的完備正曲率n-維黎曼流形，則它微分同胚於Rⁿ.
2. Gromov的貝蒂數定理：有一個常數C=C(n)使得若M是一個由正截面曲率的緊連通n-維黎曼流形，則它的貝蒂數之和不超過C.

正里奇曲率

1. Myers定理：若一個緊黎曼流形有正Ricci曲率則它的基本群有限。

1. 分裂定理：若一個完備的n-維黎曼流形有非負Ricci曲率和一條直線（在任何區間上的距離都極小的測地線）則它等度同胚於一條實直線和一個有非負Ricci曲率的完備(n-1)-維黎曼流形的直積。

1. Bishop's不等式：半徑為r的球在一個有正Ricci曲率的完備n-維黎曼流形中的體積不超過歐幾里得空間中同樣半徑的球的體積。

1. Gromov's緊緻性定理：所有正Ricci曲率且直徑不超過D的黎曼流形在Gromov-Hausdorff度量下是仿緊的。

數量曲率

1. n-維環不存在有正數量曲率的度量。

1. 若一個緊n-維黎曼流形的單射半徑${\displaystyle \geq \pi }$，則數量曲率的平均值不超過n（n-1）。

負曲率

負截面曲率

1. 任何有非正截面曲率的單連通黎曼流形的兩點有唯一的測地線連接。

1. 若M是一個有負截面曲率的完備黎曼流形，則基本群的任何可交換子群同構於整數群Z。

1. 設V^*是一${\displaystyle \mathbb {R} }$-rank${\displaystyle \geq }$2的緊緻不可約局部對稱空間，設V是一截面曲率${\displaystyle K\leq 0}$的緊緻${\displaystyle C^{\infty }}$黎曼流形，若${\displaystyle vol(V)=vol(V^{*})}$，且${\displaystyle \pi _{1}(V)=\pi _{1}(V^{*})}$，則${\displaystyle V}$與${\displaystyle V^{*}}$等距。

負里奇曲率

1. 任何有負里奇曲率的緊黎曼流形有一個離散的等距同胚群。
2. 任何光滑流形可以加入有負里奇曲率的黎曼度量。

參見

• 度量張量
• 黎曼流形
• 列維-奇維塔聯絡
• 曲率
• 曲率張量
• 微分幾何主題列表
• 黎曼及度量幾何詞表

參考文獻

1. maths.tcd.ie

• Marcel Berger, Riemannian Geometry During the Second Half of the Twentieth Century, (2000) University Lecture Series vol. 17, American Mathematical Society, Rhode Island, ISBN 0-8218-2052-4. (Provides a historical review and survey, including hundreds of references.)
• Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2 (Provides a formal introduction, written at the grad-student level.)
• Peter Peterson, Riemannian Geometry, (1998) Springer-Verlag, Berlin ISBN 0-387-98212-4. (Provides an introduction, presented at an undergrad level.)