分數

分數（英語：fraction）是用分式（分數式）表達成${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$的數（${\displaystyle a,b\in Z,b\neq 0}$）。在上式之中，${\displaystyle b}$稱為分母（denominator）而${\displaystyle a}$稱為分子（numerator）^[1]，可視為某件事物平均分成${\displaystyle b}$份中佔${\displaystyle a}$份，讀作「${\displaystyle b}$分之${\displaystyle a}$」。中間的線稱為分線或分數線。有時人們會用${\displaystyle a/b}$來表示分數。

此條目介紹的是數學概念的分數。關於其他領域的分數，請見「得分」。

各式各樣的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小數 有限小數 無限小數 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 負數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 負整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

閱 論 編

取出四份之一蛋糕。圖中顯示剩餘的蛋糕是四份之三。蛋糕上的虛線表示可以把蛋糕進行切割分成相等的部份。每一個蛋糕被表示為分數¼。

用法

分數有各種不同的用法與意義：

• 兩個整數的比例：${\displaystyle {\frac {a}{b}}\equiv a:b\ (a,b\in \mathbb {Z} ,a,b\neq 0)}$，這是兩個數量的比較關係。
• 有理數：可以表達為兩個整數的分數的數稱為有理數。就數系來說，整數分數與有理數是同義詞。
• 整數除法：${\displaystyle {\frac {a}{b}}\equiv a\div b\ (a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0)}$，結果會是一個整數、有限小數或循環小數。
• 等分：${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$表示將全部分成三等份，然後只取其中的一份。這稱為單位分數（unit fraction），參見古埃及分數。${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$也就是${\displaystyle 3}$這個整數的倒數。

這些概念在數學裡都是相通的，只是在不同的使用場合中有其實際意義。

分類

最簡分數（既約分數）（irreducible fraction）

分子是整數，分母是正整數，且分子和分母互質的分數。例如：${\displaystyle {\frac {4}{~{}15~{}}}}$

真分數（proper fraction）

除商小於1、大於0的分數，即分子小於分母的分數。當分子一樣大的時候，分母越大則值就越小，當分母一樣的時候，分子越大，數值就越大。例如：${\displaystyle {\frac {3}{~{}7~{}}}}$

假分數（top-heavy/improper fraction）

假分數是指除商不小於1的分數，即分子等於或大於分母的分數，可寫成帶分數。例如：${\displaystyle {\frac {5}{~{}3~{}}}}$和${\displaystyle {\frac {8}{~{}8~{}}}}$

帶分數（mixed numeral、mixed fraction、mixed number^[1]）

一個整數（whole number）加一個真分數，例如${\displaystyle a{\frac {b}{c}}}$，讀作「a又c分之b」；又例如${\displaystyle 1{\frac {1}{~{}2~{}}}}$，就是一又二分之一。可寫成假分數，與${\displaystyle {\frac {~{}(a\times c)+b~{}}{c}}}$等價。

十進位分數（decimal fraction）

分母為${\displaystyle 10}$的次方的分數稱為十進位分數，通常使用小數的形式來表達，例如，${\displaystyle {\frac {1}{100}}}$一般記為${\displaystyle 0.01}$，也可以百分率簡記為${\displaystyle 1\%}$，或是以${\displaystyle 10}$的冪記為${\displaystyle 10^{-2}}$。

單位分數

分子為1，分母是整數的分數。也可視為該整數的倒數。例如：${\displaystyle {\frac {1}{~{}99~{}}}}$

古埃及分數（Egyptian fraction）

將分數表達成單位分數之和。例如：${\displaystyle {\frac {19}{~{}20~{}}}={\frac {1}{~{}2~{}}}+{\frac {1}{~{}3~{}}}+{\frac {1}{~{}9~{}}}+{\frac {1}{~{}180~{}}}}$

繁分數

分子和/或分母包含了分數的分數，例如${\displaystyle {\frac {~{}{\frac {a}{~{}b~{}}}~{}}{\frac {c}{~{}d~{}}}}}$。可以用「外乘外、內乘內」的方法簡化，即前面的式子等於${\displaystyle {\frac {ad}{~{}bc~{}}}}$。

連分數

外觀如${\displaystyle x=a_{0}+{\frac {1}{~{}a_{1}+{\frac {1}{~{}a_{2}+{\frac {1}{~{}a_{3}+\dots }}}}}}}$的分數，其中${\displaystyle a_{i}}$是整數。若只有有限個${\displaystyle a_{i}}$非零，則連分數是一個分數。

分數運算

分數如自然數般，跟從互聯律、結合律、分配律和反除以零的規則。

約分、擴分及通分

一個分數約分後或擴分後，其分數與原來之分數的值相等，稱為等值分數。

約分

「約分」是將一個分數的分子和分母同除以一個比1大的整數（它們的公因數）。 約分後的分數和原來分數的值相等。${\displaystyle {\frac {3}{6}}={\frac {1}{2}}}$

前面的數字的分子和分母皆除以三

擴分

「擴分」是將一個分數的分子和分母同乘以比1大的數。擴分後的分數和原來分數的值相等。${\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {2}{4}}}$

前面的數字的分子和分母皆乘以二

通分

「通分」是利用約分或擴分，將兩個分母不同的分數，分別化為同分母的分數。

加法及減法

筆算分數的加減法時，必須將分母用予倍的方法化成同一數字才能進行同級分數之和或差，這個過程稱為「擴分」、「通分」、「通分母擴分子」等等，為了方便地求得所須分母，計算時一般以加數和被加數的最小公倍數作為新的分母。然後將事先倍大了的分子加上，合成和後再作約簡。例如：

• ${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}={\frac {1+1}{4}}={\frac {2}{4}}={\frac {1}{2}}}$

• ${\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {1}{3}}={\frac {3}{15}}+{\frac {5}{15}}={\frac {3+5}{15}}={\frac {8}{15}}}$

乘法及除法

分數乘法最晚在中國秦代即有，里耶秦簡博物館館長彭成剛表示：里耶秦簡秦朝「九九表」每枚木牘上豎寫的數字連起來就是一個乘法運算，更為驚奇的是，中國當時還出現了分數乘法，例如二乘以二分之一等於一。分數的乘除無視分子母的特性，將分子和分母各自處理便可，但是由於整數除法亦容易引起小數，加上不適合出現於分數形式，而且除法也是乘法的逆函數，故此計算時一般將被除數化成其倒數，把除法改為乘法較為方便。例如：

${\displaystyle \quad {\frac {1}{5}}\div {\frac {7}{11}}=({\frac {1}{5}}\times 11)\div ({\frac {7}{11}}\times 11)=({\frac {1}{5}}\times 11)\div 7=({\frac {1}{5}}\times 11\times {\frac {1}{7}})\div (7\times {\frac {1}{7}})}$

${\displaystyle ={\frac {1}{5}}\times {\frac {11}{7}}={\frac {1\times 11}{5\times 7}}={\frac {11}{35}}}$

相關話題

• 有理數
• 倒數
• 除以零
• 法里數列
• 連分數
• 分母有理化
• 偶然對消

參考文獻

1. Mixed Fractions. www.mathsisfun.com. [2019-07-10]. （原始內容存檔於2020-11-27）.

外部連結

• Fraction, arithmetical. The Online Encyclopaedia of Mathematics. [2015-06-03]. （原始內容存檔於2014-10-21）.
• 埃里克·韋斯坦因. Fraction. MathWorld.
• Fraction. Encyclopedia Britannica. [2015-06-03]. （原始內容存檔於2015-04-26）.
• Fraction (mathematics). Citizendium. [2015-06-03]. （原始內容存檔於2020-11-07）.
• Fraction. PlanetMath. [2015-06-03]. （原始內容存檔於2011-10-11）.
• Online program for exact conversion between fractions and decimals
• Online Fractions Calculator with detailed solution
• Fraction Practice （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） endless numbers of Fraction problems with various levels of difficulties.