拉普拉斯分布

在概率論與統計學中，拉普拉斯分布 (Laplace distribution) 是以皮埃爾-西蒙·拉普拉斯的名字命名的一種連續概率分布。由於它可看作兩平移指數分布背靠背拼接在一起，因此又稱雙指數分布 (Double exponential distribution)。兩個相互獨立同概率分布指數隨機變量之間的差別是按照指數分布的隨機時間布朗運動，所以它遵循拉普拉斯分布。

拉普拉斯分布

機率密度函數
累積分布函數
參數	${\displaystyle \mu \,}$ 位置參數（實數） ${\displaystyle b>0\,}$ 尺度參數（實數）
值域	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\,}$
機率密度函數	${\displaystyle {\frac {1}{2\,b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,}$
累積分布函數	參見正文部分
期望值	${\displaystyle \mu \,}$
中位數	${\displaystyle \mu \,}$
眾數	${\displaystyle \mu \,}$
變異數	${\displaystyle 2\,b^{2}}$
偏度	${\displaystyle 0\,}$
峰度	${\displaystyle 3\,}$
熵	${\displaystyle 1+\ln(2\,b)}$
動差母函數	${\displaystyle {\frac {\exp(\mu \,t)}{1-b^{2}\,t^{2}}}\,\!}$ for ${\displaystyle |t|<1/b\,}$
特徵函數	${\displaystyle {\frac {\exp(\mu \,i\,t)}{1+b^{2}\,t^{2}}}\,\!}$

概率分布、概率密度以及分位數函數

如果隨機變量的概率密度函數分布為

${\displaystyle f(x|\mu ,b)={\frac {1}{2b}}\exp \left(-{\frac {|x-\mu |}{b}}\right)\,\!}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2b}}\left\{{\begin{matrix}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\[8pt]\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.}$

那麼它就是拉普拉斯分布。其中，μ 是位置參數，b > 0 是尺度參數。如果 μ = 0，b=1, 那麼，正半部分恰好是1/2倍 λ = 1的指數分布。

拉普拉斯分布的概率密度函數讓我們聯想到正態分布，但是，正態分布是用相對於 μ 平均值的差的平方來表示，而拉普拉斯概率密度用相對於平均值的差的絕對值來表示。因此，拉普拉斯分布的尾部比正態分布更加平坦。

根據絕對值函數，如果將一個拉普拉斯分布分成兩個對稱的情形，那麼很容易對拉普拉斯分布進行積分。它的累積分布函數為：

${\displaystyle F(x)\,}$	${\displaystyle =\int _{-\infty }^{x}\!\!f(u)\,\mathrm {d} u}$
	${\displaystyle =\left\{{\begin{matrix}&{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {\mu -x}{b}}\right)&{\mbox{if }}x<\mu \\[8pt]1-\!\!\!\!&{\frac {1}{2}}\exp \left(-{\frac {x-\mu }{b}}\right)&{\mbox{if }}x\geq \mu \end{matrix}}\right.}$
	${\displaystyle =0.5\,[1+\operatorname {sgn}(x-\mu )\,(1-\exp(-|x-\mu |/b))]}$

逆累積分布函數為

${\displaystyle F^{-1}(p)=\mu -b\,\operatorname {sgn}(p-0.5)\,\ln(1-2|p-0.5|)}$

生成拉普拉斯變量

已知區間 (-1/2, 1/2] 中均勻分布上的隨機變量 U，隨機變量

${\displaystyle X=\mu -b\,\operatorname {sgn}(U)\,\ln(1-2|U|)}$

為參數 μ 與 b 的拉普拉斯分布。根據上面的逆累計分布函數可以得到這樣的結果。

當兩個相互獨立同分布指數(1/b)變化的時候也可以得到 Laplace(0, b) 變量。同樣，當兩個相互獨立同分布一致變量的比值變化的時候也可以得到 Laplace(0, 1) 變量。

相關分布

• 如果 ${\displaystyle Y=|X-\mu |}$ 並且 ${\displaystyle X\sim \mathrm {Laplace} }$，則 ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Exponential} }$ 是指數分布。
• 如果 ${\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}}$ 與 ${\displaystyle X_{1},\,X_{2}\sim \mathrm {Exponential} }$，則 ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Laplace} }$。

統計推斷

參數估計

給定N個獨立同分布的樣本${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{N}}$，${\displaystyle \mu }$的極大似然估計${\displaystyle {\hat {\mu }}}$為樣本的中位數，${\displaystyle b}$的極大似然估計${\displaystyle {\hat {b}}}$為樣本與樣本中位數${\displaystyle {\hat {\mu }}}$的平均絕對偏差，即

${\displaystyle {\hat {b}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\left\vert x_{i}-{\hat {\mu }}\right\vert }$

（揭示了拉普拉斯分布和最小絕對偏差（LAD）之間的聯繫）。

在回歸分析中，如果誤差具有拉普拉斯分布，則最小絕對偏差估計（LADE）將作為最大似然估計（MLE）出現。