在機率論和統計學中,指數分布(英語:Exponential distribution)是一種連續機率分佈。指數分布可以用來建模平均發生率恆定、連續、獨立的事件發生的間隔,比如旅客進入機場的時間間隔、電話打進客服中心的時間間隔、中文維基百科新條目出現的時間間隔、機器的壽命等。
Quick Facts 參數, 值域 ...
指數分配
機率密度函數 ![Thumb](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b1/Exponential_distribution_pdf.png/325px-Exponential_distribution_pdf.png) |
累積分布函數 ![Thumb](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/77/Exponential_distribution_cdf.png/325px-Exponential_distribution_cdf.png) |
參數 |
率 |
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值域 |
![{\displaystyle x\in [0;\infty )\!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b770270fcd90aefecf3d8de17377fdd3793f7caf) |
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機率密度函數 |
![{\displaystyle \,\lambda e^{-\lambda x}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5850c40b0083ac6dd72426732542be38db29ae5) |
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累積分布函數 |
![{\displaystyle 1-e^{-\lambda x}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cc79b9dcb7538bec33cfc1dcd3c45b770ca2386) |
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期望值 |
![{\displaystyle \lambda ^{-1}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/162831b7536acf1dddd80d4fd2b27049e1d79caa) |
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中位數 |
![{\displaystyle \ln(2)/\lambda \,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38ba2c9487f56f5377193489ef62dc03a96e3227) |
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眾數 |
![{\displaystyle 0\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4b06f9315849466a0502680377e30a9da8a1b5) |
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變異數 |
![{\displaystyle \lambda ^{-2}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c52e8b23e0ea904366fd640cfe5696b4e2e2fce4) |
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偏度 |
![{\displaystyle 2\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53f0585b3d3c0d207a91af7a41e4173b58f309ae) |
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峰度 |
![{\displaystyle 6\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dca0db566c9e90713748dead32fb465222f816f) |
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熵 |
![{\displaystyle 1-\ln(\lambda )\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d774b8d69d00a39df8bddbf7d77f1ad41c786e9) |
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動差母函數 |
![{\displaystyle \left(1-{\frac {t}{\lambda }}\right)^{-1}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4786ed8076c32ec43b7a7c5b7652e67d28d5f9a3) |
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特徵函數 |
![{\displaystyle \left(1-{\frac {it}{\lambda }}\right)^{-1}\,}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ade7616ee2a83f3f29193ad7b15c7d43d9fc0245) |
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Close
指數分布即形狀母數α為1的伽瑪分布。
若隨機變數
服從母數為
或
的指數分布,則記作
或
兩者意義相同,只是
與
互為倒數關係。只要將以下式子做
的替換即可,即,指數分布之機率密度函數為:
![{\displaystyle f(x;{\color {Red}\lambda })=\left\{{\begin{matrix}{\color {Red}\lambda }e^{-{\color {Red}\lambda }x}&x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edc0408f2d9b83ec739bdd40ef2eb8a75f109710)
或
![{\displaystyle f(x;{\color {Red}\beta })=\left\{{\begin{matrix}{\color {Red}{\frac {1}{\beta }}}e^{-{\color {Red}{\frac {1}{\beta }}}x}&x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f928c8e904ee6887018f8e856be1e5fdcbc0de)
累積分布函數為:
![{\displaystyle F(x;{\color {Red}\lambda })=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-\color {Red}{\lambda }x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1c0a96778ee69ef990f8d9255907dbe9f51611)
或
![{\displaystyle F(x;{\color {Red}\beta })=\left\{{\begin{matrix}1-e^{-{\color {Red}{\frac {1}{\beta }}}x}&,\;x\geq 0,\\0&,\;x<0.\end{matrix}}\right.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fada5a0cf952b8d8866392cb541162e7332694cf)
其中λ > 0是分布的母數,即每單位時間發生該事件的次數; β 為比例母數,即該事件在每單位時間內的發生率。兩者常被稱為率參數(rate parameter)。指數分布的區間是[0,∞)。
隨機變量X (X 的母數為λ或β) 的期望值是:
![{\displaystyle \mathbf {E} (X)={\frac {1}{\color {Red}{\lambda }}}={\color {Red}\beta }}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cc39332df2e4f08ccdd87b87591098ff9aaed36)
例如:如果你平均每個小時接到2次電話,那麼你預期等待每一次電話的時間是半個小時。
X 的方差是:
![{\displaystyle \mathbf {Var} (X)={\frac {1}{\color {Red}{\lambda ^{2}}}}={\color {Red}\beta ^{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bea24a811d78ddca9c6e8029e75f227f2c783f7)
X 的偏態係數是:
V[X] = 1
指數函數的一個重要特徵是無記憶性(Memoryless Property,又稱遺失記憶性)。這表示如果一個隨機變量呈指數分布,它的條件概率遵循:
![{\displaystyle P(T>s+t\;|\;T>t)=P(T>s)\;\;{\hbox{for all}}\ s,t\geq 0.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4feaa9bb553cd36b26136c69a38d2dce464596fd)
泊松過程是一種重要的隨機過程。泊松過程中,第k次隨機事件與第k+1次隨機事件出現的時間間隔服從指數分布。而根據泊松過程的定義,長度為t的時間段內沒有隨機事件出現的概率等於
,
長度為t的時間段內隨機事件發生一次的概率等於
,
所以第k次隨機事件之後長度為t的時間段內,第k+n次 (n=1, 2, 3,...)隨機事件出現的概率等於
。這是指數分布。這還表明了泊松過程的無記憶性。
給定獨立同分布樣本x = (x1, ..., xn),λ的似然函數(Likelihood function)是:
![{\displaystyle L(\lambda )=\prod _{i=1}^{n}\lambda \,\exp(-\lambda x_{i})=\lambda ^{n}\,\exp \!\left(\!-\lambda \sum _{i=1}^{n}x_{i}\right)=\lambda ^{n}\exp \left(-\lambda n{\overline {x}}\right)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd8935d7e578e2ddabfc5a47e93755fd83a3279)
其中:
是樣本期望値。
似然函數對數的導數是:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\ln L(\lambda )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\left(n\ln(\lambda )-\lambda n{\overline {x}}\right)={n \over \lambda }-n{\overline {x}}\ \left\{{\begin{matrix}>0&{\mbox{if}}\ 0<\lambda <1/{\overline {x}},\\\\=0&{\mbox{if}}\ \lambda =1/{\overline {x}},\\\\<0&{\mbox{if}}\ \lambda >1/{\overline {x}}.\end{matrix}}\right.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47ab9a02c19b94aab66c9e81eb25809d69a4991e)
參數λ的最大概似估計(Maximum likelihood)值是:
![{\displaystyle {\widehat {\lambda }}={\frac {1}{\overline {x}}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8de65d42c8c02bc14d9b87e4beca46f021ee54b4)
- Donald E. Knuth (1998). The Art of Computer Programming, volume 2: Seminumerical Algorithms, 3rd edn. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-89684-2. pp. 133
- Luc Devroye (1986). Non-Uniform Random Variate Generation. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96305-7. pp. 392–401