伽瑪分布（英語：Gamma distribution）是統計學的一種連續機率分布。伽瑪分佈中的母數α，稱為形狀參數，β稱為尺度參數。 事实速览 參數, 值域 ...Gamma 機率密度函數 累積分布函數參數 k > 0 {\displaystyle k>0\,} 形狀參數 (實數) θ > 0 {\displaystyle \theta >0\,} 尺度參數 (實數)值域 x ∈ ( 0 ; ∞ ) {\displaystyle x\in (0;\infty )\!} 機率密度函數 x k − 1 exp ( − x / θ ) Γ ( k ) θ k {\displaystyle x^{k-1}{\frac {\exp {\left(-x/\theta \right)}}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}\,\!} 累積分布函數 γ ( k , x / θ ) Γ ( k ) {\displaystyle {\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}\,\!} 期望值 k θ {\displaystyle k\theta \,\!} 中位數 no simple closed form眾數 ( k − 1 ) θ {\displaystyle (k-1)\theta \,\!} for k ≥ 1 {\displaystyle k\geq 1\,\!} 變異數 k θ 2 {\displaystyle k\theta ^{2}\,\!} 偏度 2 k {\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}\,\!} 峰度 6 k {\displaystyle {\frac {6}{k}}\,\!} 熵 k + ln θ + ln Γ ( k ) {\displaystyle k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\!} + ( 1 − k ) ψ ( k ) {\displaystyle +(1-k)\psi (k)\!} 動差母函數 ( 1 − θ t ) − k {\displaystyle (1-\theta \,t)^{-k}\,\!} for t < 1 / θ {\displaystyle t<1/\theta \,\!} 特徵函數 ( 1 − θ i t ) − k {\displaystyle (1-\theta \,i\,t)^{-k}\,\!} 关闭 實驗定義與觀念 假設X1, X2, ... Xn 為連續發生事件的等候時間，且這n次等候時間為獨立的，那麼這n次等候時間之和Y (Y=X1+X2+...+Xn)服從伽瑪分布，即 Y~Gamma(α , β)，亦可記作Y~Gamma(α , λ)，其中α = n，而 β 與λ互為倒數關係，λ 表單位時間內事件的發生率。 指數分布為α = 1的伽瑪分布。 記號 有兩種表記方法： X ∼ Γ ( α , β ) {\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )} 或 X ∼ Γ ( α , λ ) {\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )} 兩者所表達意義相同，只要將以下式子做 λ = 1 β {\displaystyle {\color {Red}\lambda ={\frac {1}{\beta }}}} 的替換即可，即，其機率密度函數為： f ( x ) = x ( α − 1 ) λ α e ( − λ x ) Γ ( α ) = x ( α − 1 ) e ( − 1 β x ) β α Γ ( α ) {\displaystyle f\left(x\right)={\frac {x^{\left(\alpha -1\right)}{\color {Red}\lambda }^{\alpha }e^{\left(-{\color {Red}\lambda }x\right)}}{\Gamma \left(\alpha \right)}}={\frac {x^{\left(\alpha -1\right)}e^{\left(-{\color {Red}{\frac {1}{\beta }}}x\right)}}{{\color {Red}\beta }^{\alpha }\Gamma \left(\alpha \right)}}} ，x > 0 其中Gamma函數之特徵為： { Γ ( α ) = ( α − 1 ) ! if α is Z + Γ ( α ) = ( α − 1 ) Γ ( α − 1 ) if α is R + Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle {\begin{cases}\Gamma (\alpha )=(\alpha -1)!&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is }}\mathbb {Z} ^{+}\\\Gamma (\alpha )=(\alpha -1)\Gamma (\alpha -1)&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is }}\mathbb {R} ^{+}\\\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}\end{cases}}} 特性 母函數、期望值、變異數 Gamma分配的矩母函數（m.g.f） M x ( t ) = E ( e x t ) = λ α Γ ( α ) ∫ 0 ∞ e x t x α − 1 e − λ x d x = ( λ λ − t ) α = ( 1 − β t ) − α {\displaystyle M_{x}\left(t\right)=E\left(e^{xt}\right)={\frac {\lambda ^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}}\int _{0}^{\infty }e^{xt}x^{\alpha -1}e^{-\lambda x}dx=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{\alpha }=\left(1-{\beta }{t}\right)^{-\alpha }} 概率母函數（p.g.f） K x ( t ) = ln M x ( t ) = α [ ln λ − ln ( λ − t ) ] {\displaystyle K_{x}\left(t\right)=\ln M_{x}\left(t\right)=\alpha \left[\ln \lambda -\ln \left(\lambda -t\right)\right]} 期望值 d K x ( t ) d t = α λ − t , w h e n ( t = 0 ) , E ( X ) = α λ = α β {\displaystyle {\frac {dK_{x}\left(t\right)}{dt}}={\frac {\alpha }{\lambda -t}},\quad when(t=0),E\left(X\right)={\frac {\alpha }{\color {Red}\lambda }}=\alpha {\color {Red}\beta }} 方差 d 2 K x ( t ) d t 2 = α ( λ − t ) 2 , w h e n ( t = 0 ) , σ 2 ( X ) = α λ 2 = α β 2 {\displaystyle {\frac {d^{2}K_{x}\left(t\right)}{dt^{2}}}={\frac {\alpha }{\left(\lambda -t\right)^{2}}},\quad when(t=0),\sigma ^{2}\left(X\right)={\frac {\alpha }{\color {Red}{\lambda ^{2}}}}=\alpha {\color {Red}{\beta ^{2}}}} Gamma的可加性 當兩隨機變數服從Gamma分布，且相互獨立，且母數（ λ {\displaystyle \lambda } 或 β {\displaystyle \beta } ）相同時，Gamma分布具有可加性。 ∐ { r . v . X ∼ Γ ( α 1 , λ ) r . v . Y ∼ Γ ( α 2 , λ ) ⟹ X + Y ∼ Γ ( α 1 + α 2 , λ ) {\displaystyle \coprod {\begin{cases}r.v.X\sim \Gamma \left({\color {green}\alpha _{1}},\lambda \right)\\r.v.Y\sim \Gamma \left({\color {green}\alpha _{2}},\lambda \right)\end{cases}}\Longrightarrow X+Y\sim \Gamma \left({\color {green}\alpha _{1}+\alpha _{2}},\lambda \right)} 外部連結 LDA-math-神奇的Gamma函數（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 分布計算器（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（英文） Wikiwand - on Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
或
的替換即可，即，其機率密度函數為：
，x > 0
![{\displaystyle K_{x}\left(t\right)=\ln M_{x}\left(t\right)=\alpha \left[\ln \lambda -\ln \left(\lambda -t\right)\right]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f3c9932ee15d43b2588004f15ca6294b05b4462)
