連續型均勻分布

連續型均勻分布（英語：continuous uniform distribution）或矩形分布（rectangular distribution）的隨機變量${\displaystyle {\mathit {X}}}$，在其值域之內的每個等長區間上取值的概率皆相等。其概率密度函數在該變量的值域內為常數。若${\displaystyle X}$服從${\displaystyle [a,b]}$上的均勻分布，則記作${\displaystyle X\sim U[a,b]}$。

連續型均勻分布

機率密度函數
累積分布函數
參數	${\displaystyle a,b\in (-\infty ,\infty )\,\!}$
值域	${\displaystyle a\leq x\leq b\,\!}$
機率密度函數	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&{\mbox{for }}a\leq x\leq b\\\\0&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b\end{matrix}}\,\!}$
累積分布函數	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{for }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&~~~~~{\mbox{for }}a\leq x<b\\1&{\mbox{for }}x\geq b\end{matrix}}\,\!}$
期望值	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\,\!}$
中位數	${\displaystyle {\frac {a+b}{2}}\,\!}$
眾數	任何${\displaystyle [a,b]\,\!}$內的值
變異數	${\displaystyle {\frac {(b-a)^{2}}{12}}\,\!}$
偏度	${\displaystyle 0\,\!}$
峰度	${\displaystyle -{\frac {6}{5}}\,\!}$
熵	${\displaystyle \ln(b-a)\,\!}$
動差母函數	${\displaystyle {\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}\,\!}$
特徵函數	${\displaystyle {\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}\,\!}$

定義

一個均勻分布在區間[a,b]上的連續型隨機變量${\displaystyle X}$可給出如下函數：

概率密度函數：

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{for }}a\leq x\leq b\\0&{\mbox{elsewhere}}\end{matrix}}\right.}$

累積分布函數：

${\displaystyle F(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{for }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{for }}a\leq x<b\\1&{\mbox{for }}x\geq b\end{matrix}}\right.}$

MGF：

${\displaystyle M_{X}(t)=E(e^{tx})={\frac {e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}}}$

公式

期望值和中值： 是指連續型均勻分布函數的期望值和中值等於區間[a,b]上的中間點。

${\displaystyle E[X]={\frac {a+b}{2}}}$

方差：

${\displaystyle VAR[X]={\frac {(b-a)^{2}}{12}}}$

均勻分布具有下屬意義的等可能性。若${\displaystyle X\sim U[a,b]}$,則X落在[a,b]內任一子區間[c,d]上的概率：

${\displaystyle P(c\leq x\leq d)=F(d)-F(c)=\int _{c}^{d}{\frac {1}{b-a}}\,dx={\frac {d-c}{b-a}}}$

只與區間[c,d]的長度有關，而與它的位置無關。