對稱矩陣

在線性代數中，對稱矩陣（英語：symmetric matrix）指轉置矩陣和自身相等方形矩陣。

${\displaystyle A=A^{\textrm {T}}\ \!}$

線性代數
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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閱 論 編

對稱矩陣中的右上至左下方向元素以主對角線（左上至右下）為軸進行對稱。若將其寫作${\displaystyle A=(a_{ij})}$，則對所有的i和j，

${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}\ \!}$

下列是3×3的對稱矩陣：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\2&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}}$

例子

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\b&d&e\\c&e&f\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&5\\5&7\end{bmatrix}},}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&0\\3&1&6\\0&6&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}a&b\\b&c\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}2\end{bmatrix}}}$

性質

• 對於任何方形矩陣${\displaystyle X}$，${\displaystyle X+X^{T}}$是對稱矩陣。
• ${\displaystyle A}$為方形矩陣是${\displaystyle A}$為對稱矩陣的必要條件，即對稱矩陣行數必等於列數。
• 對角矩陣都是對稱矩陣。
• 若且唯若兩者的乘法可交換（即${\displaystyle AB=BA}$）時，兩個對稱矩陣的積（${\displaystyle AB}$）是對稱矩陣。兩個實對稱矩陣乘法可交換若且唯若兩者的特徵空間相同。^{[來源請求]}
• 任何方形矩陣${\displaystyle X}$，如果它的元素屬於一個特徵不為2的域（例如實數），可以用剛好一種方法寫成一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和：

${\displaystyle X={\frac {1}{2}}(X+X^{T})+{\frac {1}{2}}(X-X^{T})}$

• 每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積，每個複方形矩陣都可寫作兩個複對稱矩陣的積。
• 若對稱矩陣${\displaystyle A}$的每個元素均為實數，${\displaystyle A}$是實對稱矩陣。
• 一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣若且唯若所有元素都是零。
• 如果X是對稱矩陣，那麼 ${\displaystyle AXA^{\textrm {T}}}$ 也是對稱矩陣.

分解

利用若爾當標準形，我們可以證明每一個實方陣都可以寫成兩個實對稱矩陣的乘積，而每一個複方陣都可以寫成兩個復對稱矩陣的乘積。^[1]

每一個實非奇異矩陣都可以唯一分解成一個正交矩陣和一個對稱正定矩陣的乘積，這稱為極分解。奇異矩陣也可以分解，但不是唯一的。

Cholesky分解說明每一個實正定對稱矩陣都是一個上三角矩陣和它的轉置的乘積。

實對稱矩陣

實對稱矩陣是一個元素都為實數的對稱矩陣，用<,>表示${\displaystyle R^{n}}$上的內積。${\displaystyle n\times n}$的實矩陣${\displaystyle A}$是對稱的，若且唯若對於所有${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}}$，

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$。

實對稱矩陣有以下的性質：

• 實對稱矩陣A的不同特徵值所對應的特徵向量是正交的。
• 實對稱矩陣A的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。
• n階實對稱矩陣A必可對角化。
• 可用正交矩陣對角化。
• K重特徵值必有K個線性無關的特徵向量，或者說必有秩r(λE-A)=n-k。

黑塞矩陣

主條目：Hessian矩陣

實對稱n × n矩陣出現在二階連續可微的n元函數的黑塞矩陣之中。

Rⁿ上的每一個二次型q都可以唯一寫成q(x) = x^TAx的形式，其中A是對稱的n × n矩陣。於是，根據譜定理，可以說每一個二次型，不考慮Rⁿ的正交基的選擇，「看起來像」：

${\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}^{2}}$

其中λ_i是實數。這大大簡化了二次型的研究，以及水平集{x : q(x) = 1}的研究，它們是圓錐曲線的推廣。

這是很重要的，部分是由於每一個光滑的多元函數的二階表現，都由屬於該函數的黑塞矩陣的二次型描述；這是泰勒定理的一個結果。

可對稱化矩陣

矩陣A稱為可對稱化的，如果存在一個可逆對角矩陣D和一個對稱矩陣S，使得：

A = DS.

可對稱化矩陣的轉置也是可對稱化的，因為${\displaystyle (DS)^{T}=SD=D^{-1}DSD}$，而${\displaystyle DSD}$是對稱的。

當且僅當${\displaystyle A=[a_{jk}]}$滿足以下的條件時，矩陣可對稱化：

1. 如果${\displaystyle a_{ij}=0}$，那麼${\displaystyle a_{ji}=0}$；
2. 對於任何有限序列${\displaystyle i_{1},i_{2},...,i_{k}}$，都有${\displaystyle a_{i_{1}i_{2}}a_{i_{2}i_{3}}...a_{i_{k}i_{1}}=a_{i_{2}i_{1}}a_{i_{3}i_{2}}...a_{i_{1}i_{k}}}$。

與不等式的關係

對稱陣 Z 分解為3行3列:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{12}^{T}&Z_{22}&Z_{23}\\Z_{13}^{T}&Z_{23}^{T}&Z_{33}\end{bmatrix}}}$

當且僅當

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}\\Z_{12}^{T}&Z_{22}\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{13}\\Z_{13}^{T}&Z_{33}\end{bmatrix}}}$

時, 存在 ${\displaystyle X=Z_{13}^{T}Z_{11}^{-1}Z_{12}-Z_{23}^{T}}$, 使得

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Z_{11}&Z_{12}&Z_{13}\\Z_{12}^{T}&Z_{22}&Z_{23}+X^{T}\\Z_{13}^{T}&Z_{23}^{T}+X&Z_{33}\end{bmatrix}}<0}$

成立。

參見

• 反對稱陣
• 循環矩陣
• 漢克爾矩陣
• 特普利茨矩陣
• 中心對稱矩陣
• 希爾伯特矩陣
• 考克斯特矩陣
• 協方差矩陣

參考文獻

1. A. J. Bosch. The factorization of a square matrix into two symmetric matrices. American Mathematical Monthly. 1986, 93: 462–464. doi:10.2307/2323471.